考点26 平面向量的概念、平面向量的基本运算（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

考点26  平面向量的概念、平面向量的基本运算

向量的有关概念 

1已知线段上A，B，C三点满足＝2，则这三点在线段上的位置关系是(　　)

2.设a，b是非零向量，则a＝2b是＝成立的(　　)

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

向量的线性运算

1.设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　　)

A.－2    B.－1         C.1       D.2

2.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则 (　　)

A．点P在线段AB上        B．点P在线段AB的反向延长线上

C．点P在线段AB的延长线上         D．点P不在直线AB上

共线向量定理的应用

1.D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.

2.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？

3.如图所示，G为△AOB的中线OM的中点，过点G作直线分别交OA，OB于点P，Q，设=m，＝n，试推断＋是否为定值．

一、单选题

1．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若，则；③若，则四边形是平行四边形；④若，，则；⑤若，，则；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是                                                  （    ）

A． B． C． D．

2．如图，正六边形ABCDEF中，=(   )

A．0 B． C． D．

3．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

③（为实数），则必为零.

④为实数，若，则与共线.

其中正确的命题的个数为(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

4．点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

5．（多选题）以下选项中，一定是单位向量的有（    ）

A．； B．； C．； D．.

6．已知、是任意两个向量，下列条件能判定向量与平行的是（    ）

A． B．

C．与的方向相反 D．与都是单位向量

7．若内接于以为圆心，为半径的圆，且，则下列结论正确的是(    )

A． B．

C． D．

三、填空题

8．在平面内,定点满足，动点满足则的最大值为________.

9．给出下列命题：

①若 ，则；

②若单位向量的起点相同，则终点相同；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．

其中正确命题的序号是________．

10．中，，，E为AB中点，点D在边BC上，且，CE与AD交于点O．设，则__________．

11．把单位向量绕起点逆时针旋转，再把模扩大为原来的3倍，得到向量，点在线段上，若，则的值为__________．

四、解答题

12．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

（1）与相等的向量共有几个；

（2）与方向相同且模为的向量共有几个；

13．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.

（1）求证：；

（2）求.

一、单选题

1．已知、是平面向量，下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．零向量与任何非零向量都不共线

2．下列命题正确的是（    ）

A．若向量，则与的方向相同或相反

B．若向量，，则

C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等

D．若向量，，则

3．下列说法错误的是（    ）

A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行

C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等

4．在中，，则等于（    ）

A． B． C． D．

5．已知为所在平面内一点，且，则（    ）

A． B．

C． D．

6．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

二、多选题

7．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

8．以下说法正确的是（    ）

A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等

C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共线向量

9．如图所示，在中，是的中点，下列关于向量表示不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．下列各式结果为零向量的有（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

11．设，是两个不共线的向量，且向量与向量是共线向量，则实数__.

12．在中，是的中点，向量，向量，则向量_____．

（用向量，表示）

13．如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是_____．

四、解答题

14．平面上有个向量，其中至少有两个向量不共线，且任意个向量的和都与剩下的一个向量平行，求证：这个向量的和是零向量．

15．如图，已知正方形的边长等于单位长度1，，，，试着写出向量.

（1）；

（2），并求出它的模.

考点练

考向一

1.答案　A

解析　根据题意得到和是共线同向的，且BC＝2AB，故选A.

2.答案　B

解析　由a＝2b可知，a，b 方向相同，， 表示 a，b 方向上的单位向量，所以＝成立；反之不成立．故选B.

考向二

1.【答案】　B

【解析】∵＝a＋b，＝a－2b，∴＝＋＝2a－b.

又∵A，B，D三点共线，∴，共线.设＝λ，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，

∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.

2.[答案]　B

[解析]　因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.

考向三

1.[答案]　

[解析]　＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.

2.解　∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)

＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，

要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，

即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，

即得λ＝－2μ.

故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线.

3.[解]设＝a，＝b，则＝＝(＋)＝a＋b.

所以＝－＝a＋b－ma＝a＋b.

＝－＝n－m＝nb－ma.

因为与共线，所以＝λ(λ∈R)，即a＋b＝λ(nb－ma)．

所以，消去λ得－m＝－⇒－1＝－.

所以＋＝4为定值．

拓展练

1．C【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若，方向不确定，则、不一定相同，∴②错误；对于③，若，、不一定相等，∴四边形不一定是平行四边形，③错误；对于④，若，，则，④正确；对于⑤，若，，当时，不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个，故选C.

2．D【解析】将平移到，平移到，

故，故选D.

3．A【解析】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若（为实数），则也可以零，因此命题也是错误的；若为0，尽管有，则与也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案A．

4．C【解析】因为点是所在平面上一点，又，

所以,即,即，

则点在线段上，且,

又，,

又，即，

所以点在线段上，且,

，

故选：C.

【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题.

5．AB【解析】,

,

,

.

因此,和都是单位向量.故选：AB

【点睛】本题主要考查了单位向量的辨析与模长的计算以及基本不等式和二次不等式的运用,属于中档题.

6．AC【解析】对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；

对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；

对于C选项，若与的方向相反，则与平行，C选项合乎题意；

对于D选项，与都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则与不一定平行，D选项不合乎题意.故选：AC.

【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.

7．BD【解析】由于内接于以为圆心，为半径的圆，且，

所以，两边平方并化简得，

，两边平方并化简得，

，两边平方并化简得.

所以，A选项错误；，B选项正确.

，C选项错误.

，D选项正确.故选：BD

【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算、数量积运算，属于中档题.

8．【解析】由，可得为的外心，

又

可得 ，即，

即有，可得为的垂心，

则为的中心，即为正三角形，

由即有，

解得，的边长为，

以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，

可得，

由，可设，

由，可得为中点，即有，

则

，

当，即时，取得最大值，且为．

故答案为：．

【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

9．③【解析】①错误．若，则①不成立；

②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；

③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；

④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上．故答案为：③

【点睛】本题主要考查平面向量的概念及其关系，要注意零向量的方向任意，与任何向量是共线向量；判断向量是否共线，要根据向量的方向来进行判断，属于基础题.

10．【解析】因为，所以，过作于点，

则，设，则，所以，所以，则

，所以，

则.故答案为:.

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算.本题的关键是用表示出.

11．【解析】单位向量绕起点逆时针旋转，再把模扩大为原来的3倍，得到向量，

所以，与夹角为，

因为，所以，

所以

，故答案为.

【点睛】本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．

12．（1）5；（2）2.

【解析】由题可知，每个小方格都是单位正方形，

每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，

则，

（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，

则与相等的向量共有5个，如图1；

（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.

【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.

13．（1）见解析；（2）

【解析】 (1)由题意知，在中，，，，

所以，是直角三角形，

因为点为半圆上一点，所以

所以，故

(2)因为，所以，，

即，解得，即。

模拟练

1．C【解析】对于A，向量方向不相同则向量不相等，选项A错误；

对于B．向量不能比较大小，选项B错误；

对于C，若，则，，选项C正确；

对于D，零向量与任一向量共线，选项D错误.

故选：C．

【点睛】本题考查与平面向量相关概念的判断，属于基础题.

2．D【解析】对于A选项，向量，可能，此时不能得到与的方向相同或相反，故A选项错误.

对于B选项，向量，，可能，此时不能得到，故B选项错误.

对于C选项，两个单位向量相互平行，可能方向相反，此时不能得到两个向量相等，故C选项错误.

对于D选项，根据向量相等的知识可知D选项正确.

故选：D

【点睛】本小题主要考查向量共线、相等的知识，考查对于零向量的理解，属于基础题.

3．D【解析】A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；

B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；

C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；

D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.

【点睛】本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.

4．C【解析】，故选：C.

【点睛】本题主要考查向量的加法法则，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

5．D【解析】如图，绘出的图像，

因为，所以，

则．故选：D.

【点睛】本题考查向量的线性运算，主要考查向量的加法与减法，考查学生对向量的三角形法则的掌握，体现了基础性，是简单题.

6．A【解析】根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

7．ABD【解析】对于A：在四边形ABCD中，，故A错误；

对于B：，故B错误；

对于C：，，故C正确；

对于D：，故D错误.故选：ABD.

【点睛】本题考查向量的线性运算，需牢记向量的三角形法则与四边形法则，属基础题.

8．ABD【解析】对于A，根据零向量的性质，可知A是正确的；

对于B，由零向量的模是0，单位向量的模是1，所以B是正确的；

对于C，平行向量的方向相同或相反，所以C是不正确的；

对于D，由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以D是正确的，故选：ABD

【点睛】此题考查了向量的性质，注意掌握零向量与任一非零向量平行，平行向量一定是共线向量且方向相同或相反的性质，属于基础题.

9．BC【解析】对于A，因为是的中点，所以，

因为，所以，所以A正确；

对于B，由三角形法则得， ，所以B不正确；

对于C，，所以C 不正确；

对于D，因为是的中点，所以，所以D正确，故选：BC

【点睛】此题考查向量加法、减法、数乘的几何意义，相等向量、向量加法的平行四边形法则，属于基础题.

10．CD【解析】对于选项，,所以该选项不正确；

对于选项，，所以该选项不正确；

对于选项，,所以该选项正确；

对于选项，，所以该选项正确.故选：CD

【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11．【解析】设存在实数，使得，

则，

因为，是两个不共线的向量，

，，解得.故答案为：.

【点睛】本题考查了向量共线的充要条件，平面向量基本定理等基本知识，考查数学运算能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于一般题目.

12．【解析】因为是的边上的中点,向量,向量,

所以向量，故答案为: .

【点睛】本题考查向量加法运算及其几何意义,难度容易.

13．【解析】由题可知，，设，

则，

所以，

而，

可得：，

所以，

设，

由双钩函数性质可知，在上单调递减，

则，

所以的取值范围是.故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理的应用，还涉及双钩函数的单调性，考查转化思想和运算能力.

14．见解析

【解析】证明：不妨设与不平行．

由题意，有①且②．

①②左右两边分别加上，，得．

∵与不平行，

∴，即．代入①式即有

【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于基础题.

15．（1）；（2），2.

【解析】（1）；

（2）.

∴.