考点28 平面向量的数量积与应用(考点详解)-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案
展开考点28 平面向量的数量积与应用
平面向量的数量积常常结合有关平面向量的综合内容进行考查,常常结合有关不等式、三角韩硕、函数等知识进行综合考查,多以填空题、解答题为主,难度中。
一、平面向量数量积的基本运算;
二、平面向量数量积的应用;
三、平面向量与三角函数、解三角形。
【易错警示】
1.两个向量的数量积大于0,则夹角一定为锐角吗?
提示 不一定.当夹角为0°时,数量积也大于0.
2. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( × )
(2)由a·b=0可得a=0或b=0.( × )
(3)(a·b)c=a(b·c).( × )
(4)若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( × )
平面向量数量积的基本运算
1.向量的夹角
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是[0,π].
2.平面向量的数量积
定义:设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积,记作a·b.
3.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.[来源:Z&xx&k.Com]
(3)利用数量积的几何意义求解.
【典例】
例1 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2,∠BAD=,若·=2·,则·=________.
答案 12
解析 方法一 (几何法)
因为·=2·,
所以·-·=·,
所以·=·,
因为AB∥CD,CD=2,∠BAD=,
所以2||=||·||cos ,
化简得||=2.
故·=·(+)=||2+·
=(2)2+2×2cos =12.
方法二 (坐标法)如图,建立平面直角坐标系xAy.
依题意,可设点D(m,m),C(m+2,m),B(n,0),其中m>0,n>0,
则由·=2·,
得(n,0)·(m+2,m)=2(n,0)·(m,m),
所以n(m+2)=2nm,化简得m=2.
故·=(m,m)·(m+2,m)=2m2+2m=12.
平面向量数量积的应用
平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
结论 | 符号表示 | 坐标表示 |
模 | |a|= | |a|= |
夹角 | cos θ= | cos θ= |
a⊥b的充要条件 | a·b=0 | x1x2+y1y2=0 |
|a·b|与|a||b|的关系 | |a·b|≤|a||b| | |x1x2+y1y2|≤ |
(1)求解平面向量模的方法 ①利用公式|a|=.[来源:学.科.网Z.X.X.K] ②利用|a|=. (2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法:cos θ=,θ的取值范围为[0,π]. ②坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos θ=. ③解三角形法:把两向量的夹角放到三角形中. |
【典例】
命题点1 求向量的模
例2 (1)(2020·遵义统考)已知两个单位向量a和b的夹角为120°,k∈R,则|ka+b|的最小值为( )
A. B. C.1 D.
答案 B
解析 |ka+b|2=k2a2+2ka·b+b2
因为a和b是单位向量,且夹角为120°,
所以|ka+b|2=k2a2+2ka·b+b2
=k2|a|2+2k|a||b|cos〈a,b〉+|b|2
=k2-k+1
=2+≥,
所以|ka+b|≥,
所以|ka+b|的最小值为.
(2)(2020·四川双流中学诊断)如图,在△ABC中,M为BC的中点,若AB=1,AC=3,与的夹角为60°,则||=________.
答案
解析 ∵M为BC的中点,
∴=(+),
∴||2=(+)2
=(||2+||2+2·)
=(1+9+2×1×3cos 60°)=,
∴||=.
命题点2 求向量的夹角
例3 (1)(2020·昆明一中检测)已知向量a=,|b|=2,且a·b=1,则a与b的夹角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 C
解析 |a|==1,
∴cos〈a,b〉==,
∴a与b的夹角为60°.
(2)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是________.
答案
解析 由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,
|e1-e2|=
=
==2.
同理|e1+λe2|=.
所以cos 60°=
=
==,
解得λ=.
平面向量与三角函数、解三角形
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.
【典例】
例4 (2019·石家庄模拟)已知向量a=(sin x,cos x),b=(cos x,cos x),f (x)=a·b.
(1)求函数f (x)=a·b的最小正周期;[来源:学。科。网Z。X。X。K]
(2)在△ABC中,BC=,sin B=3sin C,若f (A)=1,求△ABC的周长.
解 (1)f (x)=sin xcos x+cos2x
=sin 2x+cos 2x+,
f (x)=sin+,
所以f (x)的最小正周期T==π.[来源:Z§xx§k.Com]
(2)由题意可得sin=,
又0<A<π,所以<2A+<,
所以2A+=,故A=.
设角A,B,C的对边分别为a,b,c,则a2=b2+c2-2bccos A.
所以a2=b2+c2-bc=7,
又sin B=3sin C,所以b=3c.
故7=9c2+c2-3c2,解得c=1.[来源:学*科*网]
所以b=3,△ABC的周长为4+.
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