考点25 正弦定理、余弦定理的应用（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点25  正弦定理、余弦定理的应用

本部分经常结合有关实际问题进行考查，多集中在工程学和航海学等方面，涉及到有关角度问题，包括方位角和仰角、俯角问题，一些常见的问题诸如，测量河宽、塔高问题等需要认真领悟和掌握，重点考查解题思路和解题方法。估计在以后的考查中也会涉及到有关这部分内容的考查。

一、利用正弦、余弦定理求解方位角问题；

二、利用正弦和余弦定理求解阳角和俯角问题；

【易错警示】

1．若角α，β在第一象限，α>β不能推出sin α>sin β？而在△ABC中，A>B可推出sin A>sin B，注意这两者的区别。

2．在△ABC中，已知a，b和锐角A， a，b，sin A满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解．

归纳如下：

利用正弦、余弦定理求解方位角问题

测量中的有关几个术语

　(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．

(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．

【典例】

例1一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．

【答案】10

【解析】如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，

所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CA＝CD＝10，

在Rt△ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．

正弦定理、余弦定理解决仰角和俯角问题

  在处理阳角和俯角问题时，需要结合题意，然后再针对性进行画图完成，建立适当的三角形关系进行处理。

【易错警示】

仰角是水平线与向上的视线的夹角，而俯角则是水平线与向下的视线的夹角，注意分清视线与水平线的夹角的范围与位置问题，需要注意区分。

【典例】

如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P的仰角为60°，已知山高为2千米．

(1)船的航行速度是每小时多少千米？

(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶

位于D处南偏东多少度的方向？

解：(1)由题意得，在△BCP中，∠PBC＝60°，由tan ∠PBC＝，

得BC＝＝2，

由题意得，在△ABC中，∠BAC＝15°，∠BCA＝∠DBC－∠BAC＝45°，由正弦定理得＝，即＝，

所以AB＝2(＋1)，故船的航行速度是每小时6(＋1)千米．

(2)由题意得，在△BCD中，BD＝＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，

则由余弦定理，得CD＝，在△BCD中，由正弦定理，得＝，

即＝，所以sin∠CDB＝，所以山顶位于D处南偏东45°的方向.

【知识拓展】

例1　(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝        .

答案　75°

解析　由正弦定理，得sin B＝＝＝，所以B＝45°或135°，因为b<c，所以B<C，故B＝45°，所以A＝75°.

(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为        ．

答案　

解析　设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.

在△ABD中，cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.

在△BDC中，＝，

∴sin C＝＝.