考点26 平面向量的概念、平面向量的基本运算（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点26  平面向量的概念、平面向量的基本运算

本部分很少单独命制高考试题，常常和有关不等式、函数等知识进行综合考查，注意区分自由向量和平面向量的区分，在阶段性考试中常常结合平面向量的运算进行考查，多以选择题、解答题为主。

一、向量的有关概念；

二、向量的线性运算；

三、共线向量定理的应用。

【易错警示】

1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？

提示　不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.

2．如何理解数乘向量λa.

提示　λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量．

3. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　√　)

(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　×　)

(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)

(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之亦成立．(　√　)

向量的有关概念

向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

向量有关概念的关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度．

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．

(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．

【典例】

例1．(多选)给出下列命题，不正确的有(　　)

A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形

C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b

D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线

答案　ACD

解析　A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；

B正确，因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；

C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；

D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．

故选ACD.

例2．若a0为单位向量，a为平面内的某个向量，下列命题中：

①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；

②若a与a0平行，则a＝|a|a0；

③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，

假命题的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　D

解析　①②③均为假命题．

向量的线性运算

向量的线性运算

平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

(2)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．

【典例】

例3 （1）在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.

答案　　－

解析　由题中条件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，

所以x＝，y＝－.

(2)已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.

【解析】由已知条件得＋＝－，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.延长B M交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E、F分别为AC、AB的中点，即M为△ABC的重心，

∴＝＝(＋)，即＋＝3，则m＝3.

（3）如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于

点O,                  则λ=　　　

【答案】2

【解析】在平行四边形ABCD中,而                   所以             ， 故λ=2.

答案:2

共线向量定理的应用

向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

【知识拓展】

利用共线向量定理解题的策略

(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔，共线．

(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.

【典例】

例4　已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．

(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；

(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.

证明　(1)若m＋n＝1，

则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，

∴－＝m(－)，

即＝m，∴与共线．

又∵与有公共点B，则A，P，B三点共线．

(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，

∴－＝λ(－)．

又＝m＋n.

故有m＋(n－1)＝λ－λ，

即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.

∵O，A，B不共线，∴，不共线，

∴∴m＋n＝1.