考点07 函数的概念与表示（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点07 函数的概念与表示

本部分很少单独命题，注意函数为同一函数的标准的判断，注意有关函数的定义域与值域的求解方法，常结合集合的基本运算进行综合考查。

[来源:学,科,网Z,X,X,K]

一、求函数的定义域；

二、求函数的解析式；

三、分段函数。

【易错警示】

1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.

2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.

3.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.

4.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.

5.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.

求函数的定义域

1.函数的概念

设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

2.函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.

【知识拓展】

复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.

1.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

2.求抽象函数定义域的方法[来源:Zxxk.Com]

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.

(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.

【典例】

【例1】 (1)函数y＝＋log2(tan x－1)的定义域为________；

(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________.

解析　(1)要使函数y＝＋log2(tan x－1)有意义，则1－x2≥0，tan x－1>0，且x≠kπ＋(k∈Z).

∴－1≤x≤1且＋kπ<x<kπ＋，k∈Z，

可得<x≤1.

则函数的定义域为.

(2)因为y＝f(x)的定义域为[0，2]，

所以要使g(x)有意义应满足解得0≤x<1.

所以g(x)的定义域是[0，1).

答案　(1)　(2)[0，1)

求函数的解析式

函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

【典例】

【例2】 (1)已知f＝lg x，则f(x)＝________；

(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________；

(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.

解析　(1)令t＝＋1(t>1)，则x＝，[来源:学_科_网]

∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1).

(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(0)＝2，得c＝2，

f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1，

所以即∴f(x)＝x2－x＋2.

(3)在f(x)＝2f·－1中，[来源:学,科,网]

将x换成，则换成x，

得f＝2f(x)·－1，

由解得f(x)＝＋.

答案　(1)lg(x>1)　(2)x2－x＋2　(3)＋

  分段函数

分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

【知识拓展】

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.

2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

提醒　当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.

【典例】

角度1　分段函数求值

【例3－1】 (2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f[f(15)]的值为________.

解析　因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝

所以f(15)＝f(－1)＝，

因此f[f(15)]＝f＝cos ＝.

答案　

角度2　分段函数与方程、不等式问题

【例3－2】 (1)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝(　　)

A.1   B.   C.   D.

(2)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________.

解析　(1)f＝3×－b＝－b，

若－b<1，即b>时，

则f ＝f ＝3－b＝4，

解得b＝，不合题意舍去.

若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.

(2)当x≤0时，f(x)＋f＝(x＋1)＋，

原不等式化为2x＋>1，解得－<x≤0，[来源:Z&xx&k.Com]

当0<x≤时，f(x)＋f＝2x＋，

原不等式化为2x＋x＋>1，该式恒成立，

当x>时，f(x)＋f＝2x＋2x－，

又x>时，2x＋2x－>2＋20＝1＋>1恒成立，

综上可知，不等式的解集为.

答案　(1)D　(2)