考点25 正弦定理、余弦定理的应用（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

考点25  正弦定理、余弦定理的应用

利用正弦、余弦定理求解方位角问题 

1.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为________h.

2．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．

正弦定理、余弦定理解决仰角和俯角问题

1.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.

2.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________m.

1. (2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于(　　)

A．4  B.  C.  D．2

2.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 a＝，sin B＝，C＝，则b＝        .

3..如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：

①测量A，C，b；

②测量a，b，C；

③测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　　)

A．①② B．②③

C．①③ D．①②③

4.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．

一、选择题

1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝，则A＝(　　)

A.  B.π

C.  D.或π

2．在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是(　　)

A．有一解

B．有两解

C．无解

D．有解但解的个数不确定

3．[2020·吉林舒兰测试]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝，则角C＝(　　)

A.  B.

C.  D.

4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为(　　)

A.  B．1

C.  D．2

5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝，则b＝(　　)

A．14  B．6

C.  D.

6．[2020·湖南师大附中高三测试]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．不确定

7．[2020·合肥一中高三测试]钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)

A．5  B.

C．2  D．1

8．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)

A．50 m  B．50 m

C．25 m  D. m

9．在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)

A．4  B.

C.  D．2

二、填空题

10．[2020·山东枣庄一中高三测试]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________.

11．[2020·四川泸州一中高三测试]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝acosB，①则A＝________；②若sinC＝，则cos(π＋B)＝________.

12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.

13．[2020·吉林一中高三测试]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是(　　)[来源:学科网ZXXK]

A．a＝2b  B．b＝2a

C．A＝2B  D．B＝2A

14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)

A.  B.

C.  D.

15．[2019·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于________．

考点练

考向一

1.答案：15

解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15(h)．

2.答案：

解析：由已知，得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，所以海轮航行的速度为＝(海里/分钟)．

考向二

1.答案：(30＋30)

解析：由题意得，在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，

sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝，由正弦定理得＝，所以PB＝＝30(＋)，

所以树的高度为PB·sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)．

2.答案：　45

解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1＝60tan α，BB1＝60tan 2α.

∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，[来源:学+科+网Z+X+X+K]

∴＝，∴AA1·BB1＝900，∴3 600tan αtan 2α＝900，

∴tan α＝，tan 2α＝，则BB1＝60tan 2α＝45.

拓展练

1.答案　A

解析　∵cos ＝，

∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，

∴AB＝＝4，故选A.

2.答案　1

解析　因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝，

又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝，

又a＝，由正弦定理得＝，

即＝，解得b＝1.

3.【答案】D

【解析】由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB．故选D．

4. 答案：50

解析：如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝50，即扇形的半径为50米．

模拟练[来源:Z|xx|k.Com]

1．C　由正弦定理得＝，∴sinA＝＝＝，又a<b，∴A为锐角，∴A＝.[来源:学科网ZXXK]

2．C　由正弦定理＝，∴sinB＝＝＝>1，∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．

3．C　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，

得cosC＝＝＝，又C为△ABC内角，∴C＝.

4．C　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，又a2＝b2＋c2－bc，∴2cosA＝1，cosA＝，∴sinA＝＝，∴S△ABC＝bcsinA＝×4×＝.

5．D　∵bsinA＝3csinB，由正弦定理得ab＝3bc，∴a＝3c，又a＝3，∴c＝1，

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝9＋1－2×3×＝6，

∴b＝.

6．B　∵bcosC＋ccosB＝asinA，∴sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sinA＝1，又A为△ABC的内角，∴A＝90°，∴△ABC为直角三角形．

7．B　∵S△ABC＝AB×BC×sinB＝sinB＝，∴sinB＝，若B＝45°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos45°＝1＋2－2××＝1，则AC＝1，则AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不合题意；当B＝135°时，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos135°＝1＋2＋2××＝5，∴AC＝.

8．A　由正弦定理得＝，

∴AB＝＝＝50.

9．A　∵cos＝，∴cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－.

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A.

10.π

解析：由(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac得a2＋c2－b2＋ac＝0.

由余弦定理得cosB＝＝－，又B为△ABC的内角，∴B＝π.

11．①90°　②－

解析：①∵c＝a·cosB，∴c＝a·，得a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°；②∵cosB＝cos(π－A－C)＝sinC＝.∴cos(π＋B)＝－cosB＝－sinC＝－.

12.

解析：∵△ABC中，acosC＋ccosA＝b，

∴2bcosB＝acosC＋ccosA可化为2bcosB＝b，

∴cosB＝.

又0<B<π，∴B＝.

13．A　由sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，得sinB＋2sinBcosC＝sinB＋sinAcosC，∴2sinBcosC＝sinAcosC，∵cosC>0，∴2sinB＝sinA，即a＝2b.

14．C　因为a2＋b2－c2＝2abcosC，且S△ABC＝，

所以S△ABC＝＝absinC，

所以tanC＝1，又C∈(0，π)，

所以C＝.故选C.[来源:学.科.网Z.X.X.K]

15．6

解析：本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查方程思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．

解法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin＝6.

解法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.

16.

解析：由余弦定理得2abcosC＝a2＋b2－c2，又6S＝(a＋b)2－c2，所以6×absinC＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝2abcosC＋2ab，化简得3sinC＝2cosC＋2，结合sin2C＋cos2C＝1，解得sinC＝，cosC＝，所以tanC＝.