考点29 复数（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

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考点29 复数

复数的有关概念
1、已知a为实数，若复数(a＋i)(1－2i)为纯虚数，则a等于(　　)
A．－ B．2 C. D．－2
2.已知复数z＝＋2iz，则|z|等于(　　)
A. B. C. D.
复数的运算
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若z=1+i，则|z2–2z|=
A．0 B．1
C． D．2
2．【2020年高考全国III卷理数】复数的虚部是
A． B．
C． D．
3．【2020年新高考全国Ⅰ】
A．1 B．−1
C．i D．−i
4.已知a∈R，i是虚数单位，若z＝＋ai，z·＝4，则a为(　　)
A．1或－1 B．1
C．－1 D．不存在的实数
5.若＝m＋ni，其中m，n∈R，则m－n等于(　　)
A. B. C．－ D．－
复数的几何意义
1．【2020年高考北京】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则
A． B．
C． D．
2.已知＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x＋y，则x＋y的值是________．

1．(2019·葫芦岛模拟)设i是虚数单位，若复数z＝1＋2i，则复数z的模为(　　)
A．1 B．2 C. D.
2．(2019·北京)已知复数z＝2＋i，则z·等于(　　)
A. B. C．3 D．5
3．设z＝＋2i，则|z|等于(　　)
A．0 B. C．1 D.
4．已知复数z＝，则z＋在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．(2020·湖南省师范大学附属中学模拟)若复数z＝m2＋m＋(m＋1)i是纯虚数，其中m是实数，则等于(　　)
A．i B．－i C．2i D．－2i
6．(2019·安徽江南十校联考)已知复数z满足z2＝12＋16i，则z的模为(　　)
A．20 B．12 C．2 D．2
7．(多选)下面是关于复数z＝的四个命题，其中的真命题为(　　 )
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1
8．(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(　　 )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2[来源:学,科,网]
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
9．若复数z＝(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
10．已知a∈R，i是虚数单位，若复数z＝∈R，则复数z＝________.
11．给出下列命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
④若z＝－i，则z3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．
其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)
12.已知复数z＝，i为虚数单位，则|z|2＝________.
13.＝________.
14．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则|z1－z2|＝________.

15．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
16．已知复数z满足：z2＝3＋4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限．
(1)求复数z；
(2)设a∈R，且＝2，求实数a的值．

一、单选题
1．已知复数，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z＝，则＝（ ）
A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i
3．在复平面内，表示复数的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．复数z的共轭复数满足，则z＝（ ）
A．2+i B．2﹣i C．l+2i D．1﹣2i
5．已知，若，则a=( )
A．1 B． C． D．5
6．已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A．0 B． C．1 D．-1
[来源:学科网]
二、多选题
7．下面是关于复数（i为虚数单位）的四个命题： ①； ②； ③的共轭复数为；④若，则的最大值为.其中正确的命题有( )
A．① B．② C．③ D．④
8．下列命题正确的是（ ）
A．回归直线一定过样本点中的某个点
B．残差的平方和越小，回归方程的拟合效果越好
C．若，，且，则
D．复数在复平面内对应的点位于第四象限
9．已知复数，其中i是虚数单位，则以下说法正确的是（ ）
A．复数z的实部为3 B．复数z的虚部为2i
C．复数z的模为 D．复数z的共轭复数
10．已知为虚数单位，复数，则以下真命题的是（ ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点在第一象限


三、填空题
11．复数(为虚数单位)的实部为___________.
12．已知复数，其中为虚数单位，则的共轭复数________.
13．复数的共轭复数在复平面上对应的点在第四象限，则实数的取值范围为________．
14．已知方程的一个根是（其中，是虚数单位），则实数______.

四、解答题
15．设，复数
（1）求为何值时，为纯虚数；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.
16．已知复数，，.
（1）求实数的值；
（2）设在复平面上对应点分别为，求的面积.
17．已知是复数，与均为实数．
（1）求复数；
（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
18．已知复数.
（1）当实数为何值时，复数为纯虚数；
（2）当时，计算.

考点练
考向一
1.答案　D
解析　(a＋i)(1－2i)＝a＋2＋(1－2a)i，
∵复数是纯虚数，∴a＋2＝0且1－2a≠0，
得a＝－2且a≠，即a＝－2.故选D.
2.答案　A
解析　由题意得z＝＝＝＝，
故|z|＝＝，故选A.
考向二
1.【答案】D
【解析】由题意可得：，则.
故.
故选：D．
【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.
2.【答案】D
【解析】因为，
所以复数的虚部为.
故选：D．
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
3.【答案】D[来源:Zxxk.Com]
【解析】
故选：D
【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
4.答案　A
解析　由题意得＝－ai，
故z·＝3＋a2＝4⇒a＝±1，故选A.
5.答案　B
解析　依题意，得＝
＝＝－－i，
所以m＝－，n＝－，所以m－n＝.故选B.
考向三
1.【答案】B
【解析】由题意得，.故选：B．
【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
2.答案　B
解析　由＝－1＋bi，
得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，
∴即a＝－2，b＝－1，
∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第二象限，故选B.
3.答案　5
解析　由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，
∵＝x＋y，
∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，
∴解得故x＋y＝5.

拓展练
1.答案　D
解析　依题意，|z|＝＝，故选D.
2.答案　D
解析　∵z＝2＋i，∴＝2－i，z·＝(2＋i)(2－i)＝5.
故选D.
3.答案　C
解析　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，
∴|z|＝1.故选C.
4.答案　A
解析　∵ z＝＝＝－＋i，
∴ z＋＝＋i，
∴z＋在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选A.
5.答案　B
解析　复数z＝m(m＋1)＋(m＋1)i是纯虚数，
故m(m＋1)＝0且(m＋1)≠0，解得m＝0，
故z＝i，故＝＝＝－i.故选B.
6.答案　C
解析　设z＝a＋bi，a，b∈R，
则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
则解得或
即|z|＝＝＝2.故选C.
7.答案　BD
解析　∵z＝＝＝－1－i，
∴|z|＝，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，故选BD.
8.答案　ABC
解析　对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，
所以1＝2为真；
对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，
所以1＝z2为真；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，
若|z1|＝|z2|，则＝，即a＋b＝a＋b，
所以z1·1＝a＋b＝a＋b＝z2·2，所以z1·1＝z2·2为真；
对于D，若z1＝1，z2＝i，
则|z1|＝|z2|，而z＝1，z＝－1，
所以z＝z为假．
故选ABC.
9.答案　C
解析　由题意得
z＝＝＝，
因为z在复平面内对应的点在第一象限，
所以所以－1 10.答案　
解析　∵复数z＝＝
＝＝＋i∈R，
∴＝0，即a＝3.
则复数z＝＝＝.
11.答案　④
解析　由复数的概念及性质知，①错误；②错误；
若a＝－1，则a＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误；
z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1，④正确．
12.答案　
解析　∵z＝＝＝，
∴|z|2＝＋＝.
13.答案　－i
解析　＝＝＝＝－i.
14.答案　2
解析　由图象可知z1＝i，z2＝2－i，
故|z1－z2|＝|－2＋2i|＝＝2.[来源:学科网ZXXK]
15.解　(1)因为z＝bi(b∈R)，
所以＝＝
＝＝＋i.
又因为是实数，所以＝0，
所以b＝－2，即z＝－2i.
(2)因为z＝－2i，m∈R，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2
＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，
所以解得m<－2，
即m∈(－∞，－2)．
16.解　(1)设z＝c＋di(c<0，d<0)，
则z2＝(c＋di)2＝c2－d2＋2cdi＝3＋4i，
∴解得或(舍去)．
∴z＝－2－i.
(2)∵＝－2＋i，∴＝＝＝＝i，
∴2 021＝i2 021＝i2 020＋1＝i505×4＋1＝i，
∴|a＋i|＝＝2，∴a＝±.


模拟练
1．A【解析】因为，所以.故选:A
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数定义，属于基础题.
2．D【解析】，∴,故选：D.
3．B【解析】由复数除法运算，可得
所以在复平面内对应点的坐标为，即位于第二象限所以选B
【点睛】本题考查了复数的除法运算，复平面内点坐标特征，属于基础题．
4．A【解析】由5，得，∴z＝2+i.故选：A.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题.
5．A【解析】，
∴，a＞0，解得.故选：A
【点睛】本题考查复数的共轭，以及复数的四则运算，属于简单题
6．C【解析】依题意
，
由于为纯虚数，所以，解得.
故选：C
【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.
7．BD【解析】由题，其共轭复数为，
所以，，
若，设，则，
即是圆上的点，
可以看成圆上的点到原点的距离，最大值为
所以正确的命题为②④.故选：BD
8．BD【解析】对于，回归直线一定过样本中心但不一定过，故A错误；
对于，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B正确；
对于C，，，且，显然当，时，故C错误；
对于D，复数在复平面内对应的点为，因为，所以，，故点位于第四象限，即D正确；故选：BD
9．AC【解析】由题得，
故复数的实部为3，虚部为2，，，故AC正确.故选：AC.
10．AD【解析】，故，故A正确.
的虚部为，故B错，，故C错，
在复平面内对应的点为，故D正确.故选：AD.
11．【解析】，所以实部为6．故答案为：6．
【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数的概念，掌握乘法运算是解题关键．
12．【解析】由，得.故答案为：.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，属于容易题．
13．【解析】由题意可知：，
所以解得，
即实数a的取值范围是．故答案为：
【点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念，属于基础题.
14．5【解析】，因为是方程的一个根，
所以，即，
所以，解得，故答案为:5.
【点睛】本题考查了行列式的计算，考查了复数的乘法运算，考查了由复数为零求解参数.本题的关键是由方程的根列参数的方程.
15．（1）2；（2）0 【解析】（1）由m2-5m+6=0解得：m=2或m=3;
当m=2时，z=-2i是纯虚数，
当m=3时，z=0为实数；所以m=2
(2) 由m2-5m+6>0且m2-3m<0，解得 ，所以0 【点睛】本题主要考查了复数的概念、复数与复平面内的点之间的关系，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
16．（1）；（2）.
【解析】（1）由，，
得，又，
，解得或（舍去），
；
（2）由（1）得，
所以，所以，
所以的面积为.

【点睛】本题考查复数的概念和几何意义，考查计算求解能力，属于基础题.
17．（Ⅰ） z=4-2i．（Ⅱ）2＜a＜6
【解析】（1）设
所以，；

由条件得，且，
所以
(2)
由条件得：， 解得所以，所求实数的取值范围是-
18．（1）；（2）.[来源:学*科*网Z*X*X*K]
【解析】（1）复数为纯虚数，则，解得；
（2）当时，，
.