考点44 圆的方程（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

考点44  圆的方程

求圆的方程 

1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1  B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2  D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

2.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－)∪(，＋∞)     B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－)∪(，＋∞)     D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

3.若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为____________．

4.过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________．

5.在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．

与圆有关的最值问题

6.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为 (　　)

A．6   B．4

C．3   D．2

7.圆－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)

A.1＋     B．2      C.1＋     D．2＋2

8.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

①求|MQ|的最大值和最小值；

②若M(m，n)，求的最大值和最小值．

与圆有关的轨迹问题

9.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

一、单选题

1．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（    ）

A． B． C． D．

3．当点P在圆上变动时，它与定点相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是　　

A． B．

C． D．

4．若点(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则实数a满足（    ）

A．|a|<1 B．a<

C．|a|< D．|a|<

5．圆心为且过原点的圆的方程是（ ）

A．

B．

C．

D．

6．过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）

A． B．

C． D．

二、填空题

7．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是      ．

8．在平面直角坐标系中，给定两点，点P在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为__________.

9．过,圆心在轴上的圆的标准方程为_________．

三、解答题

10．某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙面高，为，弧顶高为．

（）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．

（）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．

一、单选题

1．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　)

A．2或1 B．－2或－1

C．2 D．1

2．圆的圆心和半径分别是（    ）

A．； B．；2 C．；1 D．；

3．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．

A．4 B．5 C．6 D．7

4．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

5．已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的标准方程为_________

6．已知一个等腰三角形ABC的一个顶点是A(4,2)，底边的一个端点B(3,5)，底边另一个端点C的轨迹方程是___________.

7．若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.

三、解答题

8．圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上.

(1)求圆的方程；

(2)圆内有一点，求以该点为中点的弦所在的直线的方程.

9．已知圆C过三点，，.

（1）求圆C的方程；

（2）斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程

考点练

1.答案　D

解析　由已知，得所求圆的圆心坐标为(1,1)，半径r＝＝，

所以此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2.

2.答案　B

解析　若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m应满足m2＋(－2)2－4×3>0，解得m<－2或m>2.

3.答案 x2＋(y－1)2＝1

解析 由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.

4.答案 (x－3)2＋y2＝2

解析 由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①

过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②

联立①②，解得所以圆心坐标为(3,0)，

半径r＝＝，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.

5.解　一般解法　(代数法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)，设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0)，

则有解得

故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.

巧妙解法　(几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．

故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.

则圆C的半径为＝3，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.

6.答案　B

解析　|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.

7.答案　A

解析　将圆的方程化为，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1，故选A.

8. 解　①由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，

可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，

所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.

又|QC|＝＝4.

所以|MQ|max＝4＋2＝6，

|MQ|min＝4－2＝2.

②可知表示直线MQ的斜率，

设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.

由直线MQ与圆C有交点，

所以≤2，

可得2－≤k≤2＋，

所以的最大值为2＋，最小值为2－.

9.解　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)，连接BN.

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

拓展练

1．A

【解析】

【分析】

设圆心坐标得圆的圆心轨迹方程，再利用点与点的距离公式求解

【详解】

半径为2的圆经过点（3，4），设圆心坐标为 则圆的方程为 ，可得该圆的圆心轨迹为（3，4）为圆心，2为半径的圆，

故圆心到原点的距离的最小值为（3，4）到原点的距离减半径，

即

故选：A．

【点睛】

本题考查了圆的轨迹方程，考查圆上的点到定点的距离得最值，是一道常规题．

2．D

【解析】

【分析】

根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果.

【详解】

由得，

因此圆心为，半径为，

当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为，

因此圆心到坐标原点的距离为，

即原点在圆外，

根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查求圆上的点到定点距离的最值，属于基础题型.

3．B

【解析】

【分析】

设，，利用中点坐标公式可以求出，代入圆方程中，可以求出中点M的轨迹方程.

【详解】

设，，因为M是线段PQ的中点，所以有

，点P在圆上，所以有，故本题选B.

【点睛】

本题考查了求线段中点的轨迹方程，考查了中点坐标公式、代入思想.

4．D

【解析】

【分析】

根据点(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，由(5a)2+144a2<1求解.

【详解】

因为点(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，

所以(5a)2+144a2<1，

所以169a2<1，

所以a2<，

即|a|<，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题.

5．D

【解析】

试题分析：设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.

考点：圆的一般方程.

6．C

【解析】

【分析】

直接根据所给信息，利用排除法解题．

【详解】

本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，

点在圆上，排除A

故选C

【点睛】

本题考查利用排除法选出圆的标准方程，属于基础题．

7．5

【解析】

试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.

法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.

【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.

8．3

【解析】

【分析】

根据题意，设圆心坐标为，得出圆的方程，根据圆的性质，得到圆和轴相切时，取得最大值，即可求解.

【详解】

过点三点的圆的圆心在线段的中垂线上，

设圆心坐标为，

又由点在轴上移动，当圆和轴相切时，取得最大值，

设切点，圆的半径为，所以圆的方程为，

代入点代入圆的方程，可得，

整理得，解得或（舍去），

所以点的横坐标为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了圆的标准方程，以及圆的性质的应用，其中解答中熟练应用圆的性质，以及圆的标准方程的求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

9．

【解析】

设圆心坐标为，由题意可得：，

即：，

求解关于实数的方程可得：，

则圆心坐标为，圆的半径为：，

据此可得：圆的标准方程为.

10．（1）；（2）3.5

【解析】试题分析:（1）建立直角坐标系，设圆一般方程，根据三点E,F,M坐标解出参数（2）根据题意求出圆上横坐标等于c点横坐标的纵坐标，再根据要求在竖直方向上的高度之差至少要有得车辆通过隧道的限制高度

试题解析：（1）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以1m为单位长度建立直角坐标系，则，，，由于所求圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，因为，在圆上，所以，解得，，所以圆的方程为．
（2）设限高为，作，交圆弧于点，则，将的横坐标代入圆的方程，得，得或（舍），所以（m）．
答：车辆通过隧道的限制高度是米

模拟练

1．C

【解析】

【分析】

【详解】

若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，

则有且.

解得.故选C.

2．A

【解析】

【分析】

将圆的方程整理为标准型，然后确定其圆心和半径即可.

【详解】

圆的标准方程为：，

据此可知圆心坐标为，圆的半径为.

本题选择A选项.

【点睛】

本题主要考查圆的标准方程，圆的圆心与半径的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．A

【解析】

【分析】

求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.

【详解】

设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A.

【点睛】

本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

4．A

【解析】

分析：二元二次方程表示圆的充要条件是，由此得出的取值范围．

详解：二元二次方程表示圆的充要条件是，所以．故选A．

点睛：通过配方得出，二元二次方程表示圆的充要条件为：；

5．

【解析】

【分析】

由圆心在直线上有，设半径为结合所过点即可求圆的标准方程.

【详解】

圆的圆心在直线上，令，半径为，

∴圆的方程为：，又，，

有，解得，有，

故答案为：；

【点睛】

本题考查了求圆的标准方程，根据圆心位置、所过的点求圆的方程，属于简单题.

6．（去掉（3,5），（5,-1）两点）

【解析】

【分析】

根据等腰三角形和已知顶点A(4,2)，一个端点B(3,5)，利用腰相等且能构成三角形即可求端点C的轨迹方程；

【详解】

由题意知：设另一个端点，腰长为，

∴C的轨迹方程：，又由A、B、C构成三角形，即三点不可共线，

∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点（5,-1），

故答案为：（去掉（3,5），（5,-1）两点）

【点睛】

本题考查了轨迹方程，利用等要三角形的性质及三角形三点不共线求轨迹方程，属于基础题.

7．

【解析】

【分析】

【详解】

因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为，

所以圆的标准方程为：，故答案为.

考点：圆的标准方程.

8．(1)；(2).

【解析】

【分析】

（1）设出圆的圆心和半径，根据已知列出方程即可得解；

（2）利用垂径定理可知，求出弦所在直线的斜率即可得解.

【详解】

（1）圆心在直线上，设圆心，半径为，

则圆的方程为：，

圆过，，

又 圆和直线相切，

，解得，，

圆的方程为．

（2）点为弦的中点，由垂径定理得：，由（1）知点，

，，

即，

以点为中点的弦的方程为：.

【点睛】本题考查了圆的方程的确定、圆的性质，考查了方程思想和条件转化的能力，属于基础题.

9．（1）；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，求得圆心的纵坐标，设出方程，根据两点距离公式即可求得圆心和半径，则问题得解；

（2）设出直线方程，根据题意，利用点到直线的距离公式，即可求得参数，则问题得解.

【详解】

（1）因为圆过点，故圆心在上，

设圆心坐标，则，解得.

故其半径.

故圆方程为：

（2）设直线方程为：

为等腰直角三角形，

圆心到直线的距离

或

或

【点睛】

本题考查圆方程的求解，以及根据直线与圆相交所得三角形的形状求直线方程，属综合基础题.