考点14 函数与方程（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

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这是一份考点14 函数与方程（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题，共26页。

考点14 函数与方程

数零点所在区间的判定
1.若a A.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)
2.函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(　　)
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
3.函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是(　　)
A. B.(1，2) C.(2，e) D.(e，3)
确定函数零点的个数
1.【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
2.【2020·广东省高三其他（理）】已知偶函数的定义域为R，对，，且当时，，若函数在R上恰有6个零点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
3.函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
5.已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
函数零点的应用
1.已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是(　　)
A.(1，2) B.(－∞，－2]
C.(－∞，1)∪(2，＋∞) D.(－∞，1]∪[2，＋∞)
2.已知函数f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a的取值范围是(　　)
A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10)
3.(2018·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝
(1)当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________.
(2)若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.

一、单选题
1．已知函数，，若方程在上有两个不等实根，则实数m的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．设函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则实数的取值范围为（）
A． B． C． D．
3．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②的最大值为；
③在有个零点；④在区间单调递增.
其中所有正确结论的编号是（）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
4．函数在区间上的大致图像为（）
A． B．
C． D．
5．函数按照下述方法定义：当时，；当时，，方程的所有实数根之和是（）
A．8 B．13 C．18 D．25

二、多选题
6．已知函数，则（）
A． B．函数的图象与轴有两个交点
C．函数的最小值为-4 D．函数的最大值为4
7．已知函数是定义在R上的奇函数，对都有成立，当且时，有.则下列说法正确的是（）
A． B．在上有5个零点
C． D．直线是函数图象的一条对称
8．已知函数，则以下结论正确的是( )
A．在上单调递增 B．
C．方程有实数解 D．存在实数，使得方程有个实数解
三、填空题
9．已知函数恰有两个零点，则实数的值为___________
10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是__________．
11．已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为__________.
四、解答题
12．已知函数．
（1）若不等式在上恒成立，求a的取值范围；
（2）若函数恰好有三个零点，求b的值及该函数的零点．
13．已知函数.
(Ⅰ)若的值域为，求的值；
(Ⅱ)巳，是否存在这祥的实数，使函数在区间内有且只有一个零点.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
14．若关于的方程没有实数解，求的取值范围.

一、单选题
1．已知是关于的方程（）的一个根，则
A． B． C． D．
2．定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，则使成立的的取值范围是（）
A． B． C． D．
3．函数的零点所在的区间是（）
A． B． C． D．
4．已知函数有唯一零点，则（）
A．2 B． C．4 D．
5．已知函数有两个零点，则a的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、多选题
6．已知函数，且实数，满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（）
A． B． C． D．
7．已知函数，则下列结论正确的是（）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则的最小值为
8．设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（）
A． B． C．1 D．2
三、填空题
9．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是__________．
10．已知函数，则函数的零点的个数是________.
11．已知函数若在区间上方程只有一个解，则实数的取值范围为______．
12．已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围__________________.

考点练
考向一
1.【答案】A
【解析】∵a0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.
2.答案】B
【解析】易知f(x)＝ln x－在定义域(0，＋∞)上是增函数，
又f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－>0.
根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝ln x－有唯一零点，且在区间(1，2)内.
3.【答案】C
【解析】易知f(x)在(0，＋∞)上是单调递增，且f(2)＝ln 2－<0，f(e)＝＋e－－2>0.∴f(2)f(e)<0，故f(x)的零点在区间(2，e)内.
考向二
1.【答案】D
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D．

【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
2.【答案】B
【解析】令，则，所以，
所以，即函数的周期为2.
若恰有6个零点，则，
则的图象与有6个不同的交点，
因为和均为偶函数且，
故的图象与在上有三个不同的交点.
画出函数和的图象如下图所示，由图可知：

，得，，得，
.
（或即，故）
故选B．
3.【答案】B
【解析】函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点数的个数即函数g(x)＝|ln x|与函数h(x)＝
图象的交点个数.

作出函数g(x)＝|ln x|和函数h(x)＝的图象，由图象可知，两函数图象有两个交点，故函数f(x)＝3x|ln x|－1有2个零点.
4.【答案】C[来源:Z。xx。k.Com]
【解析】易知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x2－3，∴x≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，∴x＝1是函数y＝f(x)在(0，＋∞)上唯一零点.从而x＝－1是y＝f(x)在(－∞，0)内的零点，故y＝f(x)有两个零点.
5.【答案】　C
【解析】函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.

考向三
1.【答案】　D
【解析】当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).
2.【答案】　A
【解析】　由于f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，
∴f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8.
令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.
则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，
又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，
∴实数a所在的区间为(5，6).
3.【答案】(1)(1，4)　(2)(1，3]∪(4，＋∞)
【解析】　(1)若λ＝2，当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，解得1 (2)令f(x)＝0，当x≥λ时，x＝4，
当x<λ时，x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3.
因为函数f(x)恰有2个零点，
结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4.

拓展练
1．C【解析】当时，可化为：
整理得：
当时，可化为：
整理得：，此方程必有一正、一负根.
要使得方程在上有两个不等实根，
则在内有实数解，且方程的正根落在内.
记，
则，即：，解得：.
故选C
【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数零点存在性定理的应用，还考查了计算能力及分析能力，属于难题．
2．B【解析】函数的图象如下图所示：

关于的方程恰有个不同的实数解，
令t＝f（x），可得t2﹣at+2＝0，（*）
则方程（*）的两个解在（1，2]，
可得，解得，
故选：B.
【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键．
3．D【解析】对于命题①，函数的定义域为，关于原点对称，且，该函数的为偶函数，命题①正确；
对于命题②，当函数取最大值时，，则.
当时，，
此时，，当，函数取得最大值.
当时，，
此时，，当，函数取得最大值.
所以，函数的最大值为，命题②错误；
对于命题③，当时，令，则，此时；
当时，令，则，此时.
所以，函数在区间上有且只有两个零点，命题③错误；
对于命题④，当时，，则.
所以，函数在区间上单调递增，命题④错误.
因此，正确的命题序号为①④.
故选D.
【点睛】本题考查三角函数基本性质，解题的关键在于对自变量的取值范围进行分类讨论，并去绝对值，结合辅助角公式以及三角函数的基本性质来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
4．C【解析】由题可得是偶函数，排除A,D两个选项，
当时，，，
当时，，，
所以当时，仅有一个零点.
故选：C
【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论，函数值的正负便可得出选项.
5．C.【解析】如下图所示，画出的函数图象，根据对称性可知，方程共有6个实数根，其和为，故选C.

考点：1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.
【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
6．ABC【解析】A选项：，正确；
B选项：因为，令得：
，即得或，所以或，
即的图像与有两个交点，正确.
C选项：因为，所以当，即时，
，正确.
D选项：由上可知，没有最大值.
所以答案为ABC.
【点睛】主要考查函数求值，函数图像与轴交点个数问题以及函数最值问题.对于函数图像与轴交点个数问题，经常利用以下等价条件进行转化：函数零点问题方程根的问题函数图像与轴交点横坐标的问题；对于与二次函数复合的函数最值问题经常利用换元法以及配方法进行求解.
7．ABC【解析】对都有成立,则是以2为周期的周期函数.
当且时，有，则在上单调递减.
由函数是定义在R上的奇函数有………①，
又是以2为周期的周期函数，有…………②，
所以①②可得，所以A正确.
由，则，
为奇函数，则，又是以2为周期的周期函数，则.
又在上单调递减且，则时.
由为奇函数，所以则时.
根据是以2为周期的周期函数，则时，时
所以在上有，有5个零点,故B正确
由是以2为周期的周期函数有，故C正确.
由上可知，当时，时，则其图象不可能关于对称，故D不正确.故选：ABC
【点睛】本题考函数的奇偶项、单调性、周期性等函数的基本性质，属于中档题.
8．BCD【解析】，则，
故函数在上单调递减，在上单调递增，错误；
，根据单调性知，正确；
，，故方程有实数解，正确；
，易知当时成立，当时，，设，
则，故函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，且.
画出函数图象，如图所示：当时有3个交点.
综上所述：存在实数，使得方程有个实数解，正确；
故选：.

【点睛】本题考查了函数的单调性，比较函数值大小，方程解的个数，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
9．【解析】令，得，构造函数，其中，
问题转化为：当直线与函数的图象有两个交点，求实数的值。
，令，得，列表如下：

极小值

作出图象如下图所示：

结合图象可知，，因此，，故答案为：。
【点睛】本题考查函数的零点个数问题，由函数零点个数求参数的取值范围，求解方法有如下两种：
（1）分类讨论法：利用导数研究函数的单调性与极值，借助图象列出有关参数的不等式组求解即可；
（2）参变量分离法：令原函数为零，得，将问题转化为直线与函数的图象，一般要利用导数研究函数的单调性与极值，利用图象求解。
10．(－∞，－2]∪[－1，＋∞)
【解析】当两个方程和时，都没有实数根， ① ，且 ②，解①求得或，解②求得，可得此时实数的取值范围为，故当时，两个方程中至少有一个方程实数根，故答案为 .
11．3【解析】的零点问题可以转化成与的交点,而函数的零点问题可以看成与的交点,结合反函数的求解得出与互为反函数,关于对称,绘制函数图像,得到

结合对称可知,,而,所以,而,G点坐标为,所以
【点睛】本道题考查了函数零点问题,关键将零点问题转化成函数交点个数问题,属于较难的题.
12．（1）（2）,函数的三个零点分别为
【解析】（1）令,由可得
则不等式在上恒成立,可化为在上恒成立
即,变形可得[来源:Zxxk.Com]
所以
因为,则
所以根据二次函数的图像与性质可知
实数满足
所以实数的范围为
（2）令,则由对数的性质可知
函数的三个零点需满足
所以,化简可得
即
化简可得
因为恰好有三个实数根
则必有一根为（否则根据函数的对称性可知会有四个根）
即
代入方程可解得
则方程可化为,解方程可得或
当时,即,解得
综上可知,,函数的三个零点分别为
【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题的解法,二次函数图像与性质的综合应用,函数零点的定义及对应方程的解法,综合性强,属于难题.
13．(Ⅰ) ；(Ⅱ)存在，
【解析】 (Ⅰ)函数的值域为，则，解得.
(Ⅱ)由，
即
令，，∈，原命题等价于两个函数与的图象在内有唯一交点.
(1)当时，在上递减，在上递增，
而g(1)=1>0=h(1)，g(2)=-1<1=h(2)，∴函数与的图象在内有唯一交点.
(2)当时，图象开口向下，对称轴为，在上递减，
在上递增，与的图象在内有唯一交点，
当且仅当，即即.
∴
(3)当时，图象开口向上，对称轴为，在上递减，在上递增，与的图象在内有唯一交点，
，即即，∴.
综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.
【点睛】（1）的值域为，可以做个简单分析，是否是二次函数，如果不是，不符合；如果是，则必须开口向上，且即可.
（2）考查函数零点相关问题，可以转发为方程根或者两图象交点个数问题，如果华为两函数图象交点个数问题，需要对两边的图象都能去作图.
14．【解析】令，可得，
令，可知不属于函数的值域，
当时，由基本不等式可得，
所以，函数的值域为.因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用方程根的个数求参数，利用参变量分离法转化为参数与函数值域的关系是解题的关键，考查了基本不等式的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

模拟练
1．A【解析】实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以为方程两根，，选A.
2．B【解析】定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，
所以的图像关于对称，示意图如下图所示：

而，且在单调递增，
所以若，需满足或，
解得或，
所以使成立的的取值范围为，
故选：B.
【点睛】本题考查了函数单调性与对称性的综合应用，由单调性解不等式，正确画出函数图像示意图是解决此类问题常用方法，属于中档题.
3．B【解析】记，则
所以零点所在的区间为
4．C【解析】，
令，则为偶函数，图象关于对称，
若有唯一零点，
则根据偶函数的性质可知，
所以.
故选：C.
5．B【解析】，
当时，，∴在上单调递增，不合题意，
当时，时，；时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，依题意得，∴，取，，则，，且，，令，
则，∴在上单调递增，
∴，∴，
∴在及上各有一个零点，故a的取值范围是，
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求函数的零点个数，考查学生分类讨论的能力和计算能力，属于中档题.
6．ABC
【解析】由函数的单调性可得，函数在为增函数，
由，则为负数的个数为奇数，
对于选项，选项可能成立
对于选项，当时，函数的单调性可得：
即不满足，故选项不可能成立，故选：
【点睛】本题考查了函数的单调性，属于中档题.
7．ABC【解析】A.,解得，所以A正确；
B.，
当时，，当时，或
是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确.
C.当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；

D.由图像可知，的最大值是2，所以不正确.
故选A,B,C
【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图像，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图像是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了.
8．BC【解析】当时，，则
由得，即，此时为减函数，[来源:学科网]
由得，即，此时为增函数，
即当时，取得极小值，作出的图象如图：

由图象可知当时，有三个不同的x与对应
设，方程有六个不等的实数根
所以在内有两个不等的实根
设
即
则实数a可取的值可能是，1
故选：BC．
【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数的范围，涉及了二次函数的零点的分布求参数的范围，属于中档题.
9．(－∞，－2]∪[－1，＋∞)
【解析】当两个方程和时，都没有实数根， ① ，且 ②，解①求得或，解②求得，可得此时实数的取值范围为，故当时，两个方程中至少有一个方程实数根，故答案为 .
10．4【解析】，
当时，，
令，则，
解得，

当时，，
令得，
作出函数，的图像，
由图像可知，与有两个交点，与有一个交点，
则的零点的个数为4.
故答案为：4[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.
11．或【解析】当时，由，得，即；当时，由，得，即.
令函数，则问题转化为函数与函数的图像在区间上有且仅有一个交点.
在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间函数上的大致图象如下图所示：

结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；
当时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数的取值范围是.
【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．
12．【解析】问题等价于当直线与函数的图象有个交点时，求实数的取值范围．
作出函数的图象如下图所示：

先考虑直线与曲线相切时，的取值，
设切点为，对函数求导得，切线方程为，
即，则有，解得.
由图象可知，当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有一个公共点，不合乎题意；
当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有两个公共点，合乎题意；
当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在有两个公共点，不合乎题意；
当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在没有公共点，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是，故答案为.
【点睛】本题考查函数的零点个数问题，一般转化为两个函数图象的交点个数问题，或者利用参变量分离转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，若转化为直线（不恒与轴垂直）与定函数图象的交点个数问题，则需抓住直线与曲线相切这些临界位置，利用数形结合思想来进行分析，考查分析问题的能力和数形结合数学思想的应用，属于难题．