考点23 三角函数的图像与性质、三角函数模型的应用（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

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考点23 三角函数的图像与性质、三角函数模型的应用

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
1.(2015·山东)要得到函数y＝sin(4x－)的图像，只需将函数y＝sin4x的图像(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
2.①为了得到函数y＝sin(x＋1)的图像，只需把函数y＝sinx的图像上所有的点向________平移________个单位长度．
②为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin2x的图像上所有的点向________平移________个单位长度．
3.已知函数f(x)＝3sin，x∈R.
①画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
②将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
1.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为_______．
2.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图像如图所示，f()＝－，则f(0)＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
3.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________．

三角函数模型的应用
1.将函数f (x)＝2sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为(　　)
A．3 B．2 C. D.
2.若函数f (x)＝sin(ω>0)满足f (0)＝f ，且函数在上有且只有一个零点，则f (x)的最小正周期为________．
3.已知函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，函数f (x)的单调递增区间为____________________．

4.已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，又x1，x2∈，且f (x1)＝f (x2)，则f (x1＋x2)＝________.

5.(2020·黄岗中学模拟)已知函数f (x)＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx(ω>0)，且f (x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f (x)的单调递减区间；
(2)将函数f (x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的最大值．


一、单选题
1．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．若奇函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到的，则的一个单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数（，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）

A．函数的最小正周期是2π
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．将函数的图象向左平移后得到的关于y轴对称
4．已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若两函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
5．将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．


二、填空题
6．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的、有，则______．
7．把函数的图象沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断：
①该函数的解析式为；；
②该函数图象关于点对称；
③该函数在，上是增函数；
④函数在上的最小值为，则．
其中，正确判断的序号是______．
8．已知函数的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则___________.
9．已知函数，对任意,，将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数在上的值域为_______.
10．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为______．
[来源:Zxxk.Com]
三、解答题
11．已知函数.

（1）用五点法画出这个函数在一个周期内的图像；（必须列表）
（2）求它的振幅、周期、初相、对称轴方程；
（3）说明此函数图象可由在上的图象经过怎样的变换得到.
12．已知向量，，函数.
（1）求的最小正周期及图象的对称轴方程；
（2）若先将的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和.
13．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．
（1）写出函数的解析式；
（2）若时，，求的最小值．

一、单选题
1．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置.若初始位置为，当秒针从（注此时）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为

A． B．
C． D．
2．函数的图象如图所示，先将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）

A．函数是奇函数 B．函数在区间上是增函数
C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称
3．曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，此时所有点的坐标都满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．将函数的图象向左平移个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在热气球C正前方有一高为m的建筑物AB，在建筑物底部A测得C的仰角为60°，同时在C处测得建筑物顶部B的俯角为30°，则此时热气球的高度CD为（ ）

A．m B．m C．m D．m
6．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式，据此可知，这段时间水深(单位：)的最大值为（ ）

A．5 B．6 C．8 D．10

[来源:学+科+网Z+X+X+K]
二、填空题
7．函数的振幅为____________，频率为____________，初相为_________.
8．大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE＝α，∠ADE＝β，垂直放置的标杆BC的高度h＝4米，大雁塔高度H＝64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α﹣β最大时，标杆到大雁塔的距离d为_____米．


三、解答题
9．已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）将函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若关于的方程在上恰有2个根，求的取值范围．
10．已知，将的图像向右平移个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象.
（1）求函数在上的值域及单调递增区间；
（2）若，且，，求的面积.
11．建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数关系.

（1）求函数的表达式；
（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？

考点练
考向一
1.答案　B
解析　y＝sin(4x－)＝sin4(x－)，故要将函数y＝sin4x的图像向右平移个单位．故选B.
2.答案　(1)左，1　(2)左，
3.解　(1)列表取值：
x

π[来源:Zxxk.Com]
π
π
π
x－
0

π
π
2π
f(x)
0
3
0
－3
0
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．

(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．

考向二
1.答案　f(x)＝2sin
解析　观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，
∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝.∵|φ|<，∴φ＝.又∵π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin.
2.答案　C
解析　由图像可知所求函数的周期为π，故ω＝3，将(，0)代入解析式得π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ，令φ＝－代入解析式得f(x)＝Acos(3x－)，又因为f()＝－Acos＝－，所以f(0)＝Acos(－)＝Acos＝，故选C.
3.答案　y＝10sin＋20，x∈[6,14]
解析　从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝×(30－10)＝10，
b＝×(30＋10)＝20，
又×＝14－6，
所以ω＝.
又×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0<φ<π，所以φ＝，
所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．

考向三[来源:Z*xx*k.Com]
1.答案　C
解析　函数f (x)＝2sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度，可得g(x)＝2sin＝2sin ωx的图象．若g(x)在上为增函数，则＋2kπ≤－且≤＋2kπ，k∈Z，解得ω≤3－12k且ω≤＋6k，k∈Z，∵ω>0，∴当k＝0时，ω取最大值，故选C.
2.答案　π
解析　∵f (0)＝f ，∴x＝是f (x)图象的一条对称轴，∴f ＝±1，∴×ω＋＝＋kπ，k∈Z，
∴ω＝6k＋2，k∈Z，∴T＝(k∈Z)．
又f (x)在上有且只有一个零点，
∴<≤－，∴ ∴<≤(T>0)，∴－≤k<，
又∵k∈Z，∴k＝0，∴T＝π.
3.答案　2　(k∈Z)
解析　由图象知＝－＝，
则周期T＝π，即＝π，
则ω＝2，f (x)＝2sin(2x＋φ)．
由2×＋φ＝2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝，
则f (x)＝2sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
即函数的单调递增区间为(k∈Z)．
4.答案　
解析　设f (x)周期为T，
由题图可知，＝－＝，
则T＝π，ω＝2，又＝，
所以f (x)的图象过点，
即sin＝1，
所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，可得φ＝，所以f (x)＝sin.
由f (x1)＝f (x2)，x1，x2∈，
可得x1＋x2＝－＋＝，
所以f (x1＋x2)＝f ＝sin＝sin ＝.
5.解　(1)由题意知f (x)＝sin 2ωx＋1＋cos 2ωx
＝2sin＋1，
∵周期T＝π，＝π，∴ω＝1，
∴f (x)＝2sin＋1，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f (x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)∵g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，
当x∈时，－≤2x－≤，
∴当2x－＝，即x＝时，g(x)max＝2×1＋1＝3.



拓展练
1．A【解析】根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,
可得,
由,可知,即
所以,
的最大值为,的最小值为,则的最大值为,的最小值为
所以的最大值为,故选:A.
2．A【解析】由题意，函数（其中），
将函数的图象向右平移个单位，可得，
因为函数为奇函数，可得，即，
当时，，所以，
令，解得，
当时，，即函数的一个单调递增区间是.故选：A.
3．C【解析】根据函数（，）的部分图象以及圆C的对称性，
可得，两点关于圆心对称，
故，
则，
解得：，函数的周期为，故A错误；
∵函数关于点对称，
∴函数的对称中心为，
则当时，对称中心为，故B不正确；
函数的一条对称轴为，
在x轴负方向内，接近于y轴的一条对称轴为，
由图像可知，函数的单调增区间为，，
当时，函数的单调递增区间为，，故C正确；
的一条对称轴为，
∴函数的图象向左平移个单位后，
此时，所得图象关于直线对称，故D错误.
故选：C
4．B【解析】依题化简得：，根据正余弦曲线与正切曲线的图象性质，欲使得两函数图象对称中心一致，须为奇函数，且只能为，有如图的两类情况．




5．A【解析】函数的图象先向右平移个单位长度，
可得的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，
∴周期，
若函数在上没有零点，
∴ ，
∴ ，
，解得，
又，解得，
当k=0时，解，
当k=-1时，，可得，
.故答案为：A.
6．【解析】因为函数的周期为，
函数的图象向右平移个单位后,
得到函数的图象．
满足的可知，一个取最大值一个取最小值
因为，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
若，，
在取最大值，在取得最小值，，
此时，不合题意，
，，
在取最小值，在，取得最大值，
，此时，满足题意．故答案为．
7．②④【解析】把函数的图象沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，得到函数的图象，
由于，故①不正确；
令，求得，故函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称，故②正确；
令，可得，故函数的增区间为，故函数上不是增函数，故③不正确；
当时，，故当时，取得最小值为，函数取得最小值为，故，故④正确，
故答案为②④．
8．【解析】依题意，，所以，故，，因为，所以.
9．【解析】由题意知函数的周期为，
∴，即.
将函数的图象向右平移个单位后得：，
由其图象关于原点中心对称，故.
∵，∴，故.
∵，∴.
∴，即函数在上的值域为.
10．【解析】由题意可得，
即，解得，
又因为在上单调，
所以，即，
因为要求的最大值，令，因为是的对称轴，
所以，
又，解得，
所以此时，
在 上单调递减，即在上单调递减，在上单调递增，故在不单调，同理，令，，
在 上单调递减，因为，
所以在单调递减，满足题意，所以的最大值为5.
11．（1）作图见解析（2）周期，振幅，初相，对称轴（3）详见解析
【解析】（1）列表：







0





3
6
3
0
3


（2）周期，
振幅，
初相，
由，得即为对称轴；
（3）①由的图象上各点向左平移个长度单位，得的图象；
②由的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得的图象；
③由的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），得的图象；
④由的图象上各点向上平移3个长度单位，得的图象.
12．（1）最小正周期为，对称轴方程为；（2）.
【解析】（1）由题意，向量，，
所以

.
可得，即函数的最小正周期为，
令，解得
所以函数的最小正周期为，对称轴方程为.
（2）由（1）知，
将的图象上每个点横坐标变为原来的2倍，可得，
然后将向左平移个单位长度得到函数，
令，即，
由图可知，在上有4个零点：，，，，
根据对称性有，，
所以所有零点和为.

13．（1）；（2）
【解析】（1）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，可得得图象，再向右平移个单位长度得．
（2）∵，，则，
令，则设，，
①当，即时，函数在上单调递增，
∴；
②当，即时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
∴；
③当，即时，函数在上单调递减，
∴，
∴综上有．


模拟练
1．C【解析】时刻，经过的圆弧角度为，则以轴正方向为始边，所在射线为终边，对应的角度为，则对应的角度为，
由可知在单位圆上，所以时刻的纵坐标，故选C
2．D【解析】由图得函数的周期，
所以.
因为函数的图象过点，
所以，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以.
先将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到的图象，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到.
对于A选项，因为函数为偶函数，故A错误；
对于B选项，令，则，
而，故B错误；
对于C选项，令，则，所以函数的对称中心为，故C错误；
对于D选项，令，则，所以函数的对称轴为，当时，有，即D正确.故选：D.
3．C【解析】曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，
所以.
令，得.当时，有，
所以.故选：C
4．D【解析】将的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
然后横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图象，故选：D.
5．D【解析】由题意，∠BCA=∠BAC=30°，∴AB=BC=m，AC=m，
△ADC中，CD=ACsin60°=m，故选：D.
6．C【解析】由题意可得当取得最小值-1时，函数取最小值，

因此当取得最大值1时，函数取最小值.故选：C
【点睛】本题考查了三角函数的应用问题，考查了学生实际应用，综合分析，数学运算能力，属于中档题.
7． 【解析】函数的周期，
函数的振幅为，频率为，初相为.
故答案为：；；.
8．.【解析】由题意得 ，
因此 ，
当且仅当 时取等号，因此当 时，取最大值，即取最大，即标杆到大雁塔的距离为.
9．（Ⅰ）最小正周期为．（）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）
．
所以的最小正周期为．
令，得（）．
所以的单调递增区间为（）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以．
由，得或．
当时，．
当且仅当，即时，．
所以仅有一个根，因为，，
所以的取值范围是．
10．（1）值域为，单调递增区间为；（2）.
【解析】（1）
，
则的图象向右平移个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
故可得，
由，则，则，
则的值域为.
令，，
则，由，则单调递增区间为.
（2）因为，即可得，因为，故可得.
由，求得，
故可得.
由正弦定理得，即，解得.
又，
故的面积.
11．（1）（2）上午10时开启，下午18时关闭.
【解析】（1）由图知，，
所以，得.
由图知，，，
所以.
将点代入函数解析式得，
得，即
又因为，得.
所以.
（2）依题意，令，
可得，
所以
解得：，
令得，，
故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭.