考点39 空间向量的运算与应用（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

考点39  空间向量的运算与应用

空间向量的线性运算

1.如图，在三棱锥O —ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)

A.(－a＋b＋c) B.(a＋b－c)

C.(a－b＋c) D.(－a－b＋c)

2.已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)

A．(0,3，－6)  B．(0,6，－20)    C．(0,6，－6)  D．(6,6，－6)

3.设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有(　　)

A.·＝a2  B.·＝a2

C.·＝a2  D.·＝a2

4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________________.

共线定理、共面定理的应用 

5.对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则(　　)

A．O，A，B，C四点共面  B．P，A，B，C四点共面

C．O，P，B，C四点共面  D．O，P，A，B，C五点共面

6.如图所示，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．

(1)向量是否与向量，共面？

(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？

空间向量数量积及其应用

7.向量a＝(1,2，x)，b＝(2，y，－1)，若|a|＝，且a⊥b，则x＋y的值为(　　)

A．－2  B．2  C．－1  D．1

8.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.

(1)求的长；

(2)求与夹角的余弦值．

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

2．已知向量，，，且，，则的值为（    ）

A．6 B． C．9 D．

3．在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（    ）

A． B． C． D．

4．已知，则的最小值是　　

A． B． C． D．

5．已知向量，，则（    ）

A．50 B．14 C． D．

6．如图，空间四边形中，，且，，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知，则下列向量中与平行的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

8．若直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数______．

9．已知，，若，则______________．

10．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则             ．

11．已知，且两两垂直，则(x，y，z)＝________．

三、解答题

12．已知空间三点，设.

（1）的夹角的余弦值；

（2）若向量互相垂直，求实数的值；

（3）若向量共线，求实数的值.

13．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于1，点分别是的中点，设为空间向量的一组基底，计算：（1）;（2）.

一、单选题

1．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

2．某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），，则该平面图形的面积为（    ）

A．3 B．4

C． D．

3．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ）

A． B． C． D．

4．已知O为原点，，则等于（    ）

A． B． C． D．

5．已知两个向量，，且，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

6．在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（    ）

A． B． C．2, D．2,

7．直三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，，分别为，的中点，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且，设向量，，则（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

9．有一多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），其中，，，则原四边形的面积为__________．

10．下列说法正确的有_____________（填序号）；

①有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥；

②正四面体的棱都相等；

③平行直线的平行投影仍是平行直线；

④由斜二测画法得到的平面图形直观图的面积是原图形面积的倍.

11．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是__.

12．已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有 ，则λ＝________.

三、解答题

13．在水平放置的平面内有一个四边形，用斜二测画法画它的直观图，当斜二测画法满足轴与轴、轴的轴间角都为且伸缩系数时，它被画成边长为的正方形，并且有一条对角线在水平轴位置，求出这个四边形的真实形状的面积．

14．已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标:

（1）(-)；

（2）(-).

15．已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：①；②；③与垂直.

（1）求的模；

（2）求向量的坐标.

考点练

1.答案　B

解析　＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c)．

2.答案　B

解析　因为b＝x－2a，所以x＝4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)．

3.答案　C

解析　建立空间直角坐标系如图．

则·＝(a,0,0)·(－a，－a，－a)＝－a2，

·＝(a,0,0)·(a，a,0)＝a2，

·＝(0，a,0)·(0，a，－a)＝a2，

·＝(a,0,0)·(－a，－a,0)＝－a2，故只有C正确．

4.答案　＋＋

解析　∵＝＝(＋)，

∴＝＋＝(＋)＋＝＋＋.

5.答案　B

解析　解法一：因为6＝＋2＋3，所以＝＋＋，又＋＋＝1，所以A，B，C，P四点共面．

解法二：因为6＝＋2＋3，所以0＝(－)＋2(－)＋3(－)，所以＋2＋3＝0，所以＝－－，所以，，共面，又三个向量有公共点P.所以P，A，B，C四点共面．

6.解　(1)∵＝k，＝k，

∴＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋＝k(＋)＋＝k＋＝－k

＝－k(＋)＝(1－k)－k，

∴由共面向量定理知向量与向量，共面．

(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，

当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与，共面，∴MN∥平面ABB1A1.

综上，当k＝0时，MN在平面ABB1A1内；当0<k≤1时，MN∥平面ABB1A1.

7.答案　C

解析　∵向量a＝(1,2，x)，b＝(2，y，－1)，|a|＝，且a⊥b，∴＝，a·b＝2＋2y－x＝0，解得x＝0，y＝－1，∴x＋y＝－1.

8.解　(1)记＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

∴a·b＝b·c＝c·a＝.

||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，

∴||＝，即AC1的长为.

(2)＝b＋c－a，＝a＋b，

∴||＝，||＝，

·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，

∴cos〈，〉＝＝.

即与夹角的余弦值为.

拓展练

1．D

【解析】设，

所以，

所以，所以，所以点的坐标为，故选：D.

【点睛】该题考查的是有关空间向量相等的条件，属于基础题目.

2．C

【解析】∵，∴，，∴向量，∵，∴，

∴，∴.故选：C.

【点睛】本题主要考查了空间向量的共线关系、垂直关系及向量的坐标运算.属于较易题.

3．D

【解析】根据空间向量的线性运算可知

因为,，

则

即，故选：D.

【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.

4．A

【解析】由题意可知： ，

则： ，

即 的最小值是 .本题选择A选项.

5．C

【解析】因为向量，，

所以.故选：C

【点睛】本题考查了空间向量数乘运算、加法运算、模的坐标表示公式，考查了数学运算能力.

6．C

【解析】因为，

又因为，

所以.故选：C

【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

7．B

【解析】因为，所以与平行.故选：B.

【点睛】本题考查了空间向量共线的判断，属于基础题.

8．2

【解析】，的方向向量与平面的法向量共线.

，即，解得.

故答案为：2.

【点睛】本题考查空间向量的位置关系，通过向量共线求参数的值，属于简单题.

9．

【解析】，，且，则，解得.故答案为：.

【点睛】本题考查利用空间向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.

10．2：3：（-4）【解析】由得

因为为平面的法向量，则有，即

由向量的数量积的运算法则有解得

所以

故正确答案为

11．(－64，－26，－17)

【解析】∵两两垂直，

∴，，，

∴，

解得：x=﹣64，y=﹣26，z=﹣17．

故答案为(－64，－26，－17)．

【点睛】本题考查了空间向量垂直与数量积的关系，属于基础题．

12．（1）；（2）或；（3）或.

【解析】（1）已知空间三点，

（2）若向量互相垂直，

又，则

解得：或

（3）向量共线，又

当时，

当时，，成立，

当时，，不成立，

故：或

【点睛】本题考查了空间向量夹角、垂直、共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

13．(1) ；（2） .

【解析】 (1）因为空间四边形的每条边和对角线都等于1，

所以 ，

因为点分别是的中点，所以，

（2）因为，所以

模拟练

1.【答案】B

【解析】在斜二测画法中，设原图面积为，直观图面积为，则.

依题意，所以原平面图形的面积.故选：B

2.【答案】A

【解析】由

根据斜二测画法可知： 原平面图形为：下底边长为，上底为，高为的直角梯形，

所以.故选：A

3.【答案】B

【解析】，，，

,原图形周长为8.故选：B.

4.【答案】A

【解析】∵，

∴，故选：A．

5.【答案】C

【解析】，存在实数使得，

，解得，，，则．故选：C．

6.【答案】C

【解析】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为．故选C．

7.【答案】B

【解析】因为直三棱柱的底面是边长为的正三角形，

所以，，，

所以，

又，分别为，的中点，

所以，，

因此

.故选：B

8.【答案】C

【解析】如图所示，连接ON,

∵，，

所以，，，

∴

.故选：C.

9.【答案】

【解析】四边形水平放置的直观图是直角梯形，且，，，

四边形中，，且，

所以四边形的面积为故答案为：

10.【答案】②④

【解析】正八面体的各个面都是三角形，但它不是棱锥，①错；

正四面体的各面都是正三角形，所有棱都相等，②正确；

要看投影方向，平行直线的平行投影可以是平行直线，也可能重合，还可能是两点．③错；

以水平放置的平行四边形为例，平行四边形底为，高为，面积为，斜二测画法的直观图中，底不变仍然为，高变成与底成的线段，且长度为原来的一半，即为，因此直观图中的高为，面积为，即，④正确．

故答案为：②④．

【点睛】本题考查立体几何中命题的真假判断，考查棱锥、正四面体的概念，平行投影与斜二测画法的概念，要正确解题必须掌握所涉及到所有知识，要求较高，本题属于中档题．

11.【答案】[﹣，0]

【解析】以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示；

则点A（1，0，0），C1（0，1，1），

设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；

∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），

∴•x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，

由二次函数的性质可得，当x＝y时，•取得最小值为；

当x＝0或1，且y＝0或1时，•取得最大值为0，

则•的取值范围是[，0]．故答案为：[，0]．

【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．

12.【答案】－2

【解析】由四点共面的充分必要条件可得：，解得：.故答案为．

【点睛】本题主要考查四点共面的充分必要条件及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

13.【答案】

【解析】由条件这个四边形的真实形状为一个平行四边形，且这个平行四边形的一条边长为直观图的一条对角线长，由斜二测画法，对应的高为直观图中正方形的一条边长的2倍即长为，所以它的面积为

14.【解析】由题可知，O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3)

所以，

（1）得，即点坐标为

（2），设点坐标为，则有，根据对应关系有，解得，即点坐标为

15.【解析】（1）∵，，

∴，

所以 ；

（2）设，则由题可知

解得或  

所以或.

【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．