考点23 三角函数的图像与性质、三角函数模型的应用（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点23  三角函数的图像与性质、三角函数模型的应用

考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换；2.结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质和应用；3.考查给出图象的解析式．

具体考试要求：1.掌握“五点法”作图，抓住函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的特征；

2.理解三种图象变换，从整体思想和数形结合思想确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质．

常常结合三角恒等变换进行综合考查，在给值求值、给角求值中考查比较频繁，需要注意范围问题。

一、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换；

二、求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；

三、三角函数模型的应用。[来源:Z|xx|k.Com]

【易错警示】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)y＝sin的图象可由y＝sin的图象向右平移个单位长度得到．(　√　)

(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可以得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．

(　×　)

(3)如果函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　√　)

(4)函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　×　)

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：

【知识拓展】

1.图象变换的两种方法的区别

由y＝sin x的图象，利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) (x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．

2.作图时应注意的两点

(1)作函数的图象时，首先要确定函数的定义域．

(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．

3. 简谐运动的有关概念

(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决．

(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点．

(3)只要看清由谁变换得到谁即可．

【典例】

例1　已知函数y＝2sin，

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

解　(1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，

初相φ＝.

(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X.

列表，并描点画出图象：

(3)方法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．

方法二　将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．

探究提高　(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移单位．

例2已知函数，且当时，的最小值为2.

（1）求的值，并求的单调增区间；

（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向右平移个单位，得到函数，求方程在区间上的所有根之和.

【答案】（1）0，；（2）.

试题分析：（1）首先利用三角函数的和差倍半公式，将原三角函数式化简，根据三角函数的性质，确定得到最小值的表达式，求得；（2）遵循三角函数图象的变换规则，得到，利用特殊角的三角函数值，解出方程在区间上的所有根，求和.

试题解析：（1）    2分

因为，时，的最小值为2，所以，.    4分

          6分

（2）            9分

由，

.                     11分

              12分

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：

①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；

②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；

③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝ (ω>0)来确定ω；

④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.

【易错警示】

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点

【典例】

例3　已知f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是______．

(2)(2011·辽宁)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()等于                                                                                                                                                                                                                                 (　　)

A．2＋        B.

C.         D．2－

思维启迪：(1)由平衡点和相邻最低点间的相对位置确定周期；根据待定系数法求φ.

(2)将“ωx＋φ”看作一个整体放在一个单调区间内求解．

答案　(1)　(2)B

解析　(1)由题图知A＝，＝－＝，

∴T＝π，ω＝＝2.

∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．

令k＝0，得φ＝.

∴函数解析式为f(x)＝sin，

∴f(0)＝sin ＝.

(2)由图形知，T＝＝2(π－)＝，∴ω＝2.

由2×π＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－π，k∈Z.

又∵|φ|＜，∴φ＝.由Atan(2×0＋)＝1，

知A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋)，

∴f()＝tan(2×＋)＝tan＝.

例4 如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段．

(1)求其解析式；

(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度后得y＝f(x)，求f(x)的对称轴方程．

审题视角　(1)图象是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．(2)根据“五点法”作图的原则，M可以看作第一个零点；可以看作第二个零点．

规范解答

解　(1)由图象知A＝，

以M为第一个零点，N为第二个零点．[2分]

列方程组　解之得[4分]

∴所求解析式为y＝sin.[6分]

(2)f(x)＝sin

＝sin，[8分]

令2x－＝＋kπ(k∈Z)，则x＝π＋ (k∈Z)，[10分]

∴f(x)的对称轴方程为x＝π＋ (k∈Z)．[12分]

  三角函数模型的应用

函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称图形．

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．

【知识拓展】

(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．

(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．

(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．

【典例】

例5 如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，φ∈(0，π)．

(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；

(2)写出这段曲线的函数解析式．

解　(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．

(2)观察图象，可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象．

∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.

∴＝14－8＝·，∴ω＝，

∴y＝10sin＋40.

将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝，

∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．

例6  已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f (x)取得最大值2.

(1)求f (x)的解析式；

(2)作出f (x)在[0，π]上的图象(要列表)；

(3)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？

解　(1)因为函数f (x)的最小正周期是π，所以ω＝2.

又因为当x＝时，f (x)取得最大值2.所以A＝2，

同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

φ＝2kπ＋，k∈Z，

因为－<φ<，所以φ＝，

所以f (x)＝2sin.

(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.

列表如下：

描点、连线得图象：

(3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f (x)＝2sin的图象．