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    (新)北师大版数学必修第一册教学讲义:第1章 §1 1.1 集合的概念与表示
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    高中数学1.1 集合的概念与表示一等奖教案设计

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    这是一份高中数学1.1 集合的概念与表示一等奖教案设计,共8页。




    §1 集合


    1.1 集合的概念与表示











    1.集合的相关概念


    (1)集合的概念:一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合.


    (2)元素:集合中的每个对象叫作这个集合的元素.


    (3)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.


    思考1:(1)某班的所有“高个子”同学能否构成一个集合?


    (2)某班身高高于175 cm的所有男生能否构成一个集合?


    提示:(1)不能构成一个集合,因为“高个子”没有明确的标准.


    (2)能构成一个集合,因为标准确定.


    2.元素与集合的关系


    (1)元素与集合的关系


    (2)常用数集及表示符号


    3.集合的表示方法


    (1)列举法:一般地,把集合中的所有元素一一列举出来,写在花括号内,这种表示集合的方法叫作列举法.


    (2)描述法:通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般的形式为{x|p(x},其中x为元素,p(x)为元素满足的条件.


    思考2:偶数集中的元素有什么共同特征?如何用描述法表示?


    提示:其共同特征是能被2整除,可以表示为


    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)∈Z))))或 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x=2n,n∈Z)))).


    4.集合的分类


    集合 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(非空集合\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(有限集:含有有限个元素的集合.,无限集:含有无限个元素的集合.)),空集:不含任何元素的集合,用∅表示.))


    5.数集的区间表示


    设a,b是两个实数,且a

    “∞”读作“无穷大∞”,它不是一个数,仅表示书写端是无边界的,可以无限制的增大或减小.





    1.下列给出的对象中,能构成集合的是( )


    A.一切很大的数 B.好心人


    C.营养丰富的食品 D.所有有理数


    D [“很大”、“好心”、“丰富”等词所描述的对象没有确定性,故选D.]


    2.由英文单词“bk”中的所有字母构成的集合中元素的个数是( )


    A.1 B.2 C.3 D.4


    C [由集合元素的互异性可知,该集合中共有“b”、“”、“k”三个元素,故选C.]


    3.用“∈”或“”填空


    eq \f(1,2)________N, -2________Z, eq \r(2)________Q,0________N,π________R.


    [答案] ,∈,,∈,∈


    4.已知集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(3,a+1)),


    (1)求实数a的取值集合;


    (2)若4∈A,求实数a的值.


    [解] (1)由集合元素的互异性可知,a+1≠3,解得a≠2,


    所以,实数a的取值集合是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(a))a≠2)).


    (2)因为4∈A,所以a+1=4,解得a=3,


    所以,a=3.








    集合的基本概念


    【例1】 下列给出的对象中,能构成集合的是( )


    ①小于0的所有实数 ②与0非常接近的实数 ③中国著名的高等院校 ④中国双一流的高等院校


    A.①③ B.②④


    C.①④ D.③④


    [思路点拨] 根据所描述的对象是否有确定性来判断.


    C [“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性,故选C.]





    判断所描述的对象能否构成集合的方法


    判断所描述的对象能否构成集合,关键看所描述的对象是否具有确定性,如果具有确定性,就可以组成集合;否则,就不能组成集合.在集合元素的三个特性中,元素的确定性是其本质属性.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    1.判断下列说法是否正确,并说明理由.


    (1)所有素数能组成一个集合.


    (2)数轴上的一些点能组成一个集合.


    (3)集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-1))\s\up8(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+1))=0,x∈R))))有三个元素.


    (4)集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(ax=1,a∈R))))有且仅有一个元素.


    [解] (1)正确,素数具有确定性.


    (2)不正确,“一些点”的标准不明确.


    (3)不正确,由于“1”是该方程二重根,且集合的元素具有互异性,所以该集合有且仅有两个元素.


    (4)不正确,当a=0时, eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(ax=1,a∈R))))=∅.





    集合的表示法


    【例2】 (1)用列举法表示下列集合:


    ①不大于7的所有非负偶数组成的集合;


    ②方程2x2-x-1=0的所有实数解组成的集合;


    ③一次函数y=x+3与y=2x的图象的交点组成的集合.


    (2)用描述法表示下列集合:


    ①不等式2x-3>0的解集;


    ②平面直角坐标系中第二象限内的所有点组成的集合;


    ③被3除余1的所有整数组成的集合.


    [解](1)①不大于7的所有非负偶数分别是0,2,4,6,所以该集合可用列举法表示为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0,2,4,6)).


    ②方程2x2-x-1=0的实数解分别是- eq \f(1,2),1,所以该集合可用列举法表示为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),1)).


    ③由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=x+3,y=2x)) ,得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=3,y=6)) ,


    所以,一次函数y=x+3与y=2x的图象的交点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3,6)),


    所以,一次函数y=x+3与y=2x的图象的交点组成的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3,6)))).


    (2)① eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R))2x-3>0)).


    ② eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x,y))))x<0,且y>0)).


    ③ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x=3n+1,n∈Z)).





    1.列举法表示集合的一般形式为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a1,a2,…,an)),其中ai,i=1,2,…,n为集合的元素.


    2.描述法表示集合的一般形式为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)))))),其中x为集合的元素,p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为元素满足的条件.


    提醒:在用列举法表示集合时,不能用 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(所有实数))或 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(R))来表示实数集R.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    2.用适当的方法表示下列集合.


    (1)所有奇数组成的集合;


    (2)不大于10的所有素数组成的集合;


    (3)平面直角坐标系中的所有点组成的集合;


    (4)满足-1<2x-1≤3的x的取值集合.


    [解] (1) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x=2n-1,n∈Z)).


    (2)不大于10的所有素数分别是2,3,5,7,所以该集合可用列举法表示为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2,3,5,7)).


    (3) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x,y))))x∈R,且y∈R)).


    (4)由-1<2x-1≤3,得0




    元素与集合的关系


    【例3】 已知集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a-2,2a2+5a,3)),且-3∈A,求a的值.


    [思路点拨] eq \x(-3∈A)→ eq \x(\a\al(a-2=-3或,2a2+5a=-3))→ eq \x(分类求出a) eq \(――→,\s\up9(检验)) eq \x(确定a的值)


    [解]由-3∈A,得a-2=-3或2a2+5a=-3.


    (1)若a-2=-3,则a=-1,


    当a=-1时,2a2+5a=-3,不满足集合元素的互异性,


    ∴a=-1不符合题意.


    (2)若2a2+5a=-3,则a=-1或- eq \f(3,2).


    当a=- eq \f(3,2)时,a-2=- eq \f(7,2),符合题意;


    当a=-1时,由(1)知,不符合题意.


    综上可知,实数a的值为- eq \f(3,2).





    1.求解此类题时.应注意检验集合元素是否满足互异性.


    2.判断元素与集合的关系的方法


    如果集合是用列举法给出的,可直接判断该元素是否在已知集合中出现即可;如果集合是用描述法给出的,则(1)判断该元素是否具有已知集合中元素所具有的特征;(2)将该集合转化为列举法表示,再判断.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    3.(1)下列所给关系正确的个数是( )


    ①π∈R,② eq \r(2)Q,③0N*,④ eq \r(5)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2,3)).


    A.1 B.2 C.3 D.4


    (2)已知A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2,4,6)),且当a∈A时,6-a∈A,则a的取值集合是( )


    A. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2)) B. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(4)) C. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(6)) D. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2,4))


    (3)设A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x=4n+1)),n∈Z )),则-7________A,3________A


    (1)D (2)D (3)∈ [(1)①②③④都正确,故选D.


    (2)对a的可能取值逐个检验,a=2时,6-a=4∈A;a=4时,6-a=2∈A;a=6时,6-a=0A,所以a的取值集合是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2,4)).


    (3)由4n+1=-7,得n=-2,即-7=4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2))+1,所以-7∈A;由4n+1=3,得n= eq \f(1,2),由于 eq \f(1,2)Z,所以3A.]








    1.判断所描述的对象能否构成集合,关键看所描述的对象是否具有确定性,如果具有确定性,就可以组成集合;否则,就不能组成集合.


    2.求解与字母有关的集合问题时,应注意检验集合元素是否满足互异性,要有分类讨论意识.


    3.表示一个集合可以用列举法,也可以用描述法,一般地,有限集用列举法,此种方法突出元素本身;无限集用描述法,此种方法强调元素的属性.在选择表示方法时,要根据需要进行选择.





    1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)


    (1)接近0的数可以组成一个集合.( )


    (2) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1,2))与 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2,1))是同一个集合.( )


    (3)方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x+2y=4,2x-y=3))的解集可以表示为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x=2,y=1)).( )


    [答案] (1)× (2)√ (3)×


    2.已知A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<1)))),则有( )


    A.3∈A B.1∈A


    C.0∈A D.-1A


    C [因为0<1,所以0∈A.]


    3.若1 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3a-1,1+a)),则实数a的取值范围是________.


    eq \f(2,3)1或1+a<1)),解得 eq \f(2,3)

    4.设集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x2))-3x+a=0 )),若4∈A,试用列举法表示集合A.


    [解] 由4∈A,得42-3×4+a=0,


    解得a=-4,


    所以A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x2))-3x-4=0 ))= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-1,4)).学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.通过实例了解集合的含义.(难点)


    2.掌握集合中元素的特性.(重点)


    3.体会元素与集合的“属于”关系.(重点、易混点)


    4.初步掌握集合的两种表示方法-列举法、描述法,感受集合语言的意义与作用.(重点、难点)


    5.在具体情境中,了解空集的含义.(难点)
    1.通过概念集合的学习,逐步形成数学抽象素养.


    2.借助集合元素互异性的应用,培养逻辑推理素养.
    元素与集合的关系
    文字表示
    属于
    不属于
    符号表示

    名称
    自然数集
    正整数集
    整数集
    有理数集
    实数集
    正实数集
    符号
    N
    N+或N*
    Z
    Q
    R
    R+
    含义
    名称
    区间表示
    数轴表示
    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a≤x≤b))))
    闭区间
    eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,b))
    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a开区间
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a,b))
    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a左开右闭区间
    eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(a,b))
    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a≤x左闭右开区间
    eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(a,b))
    R
    无界区间
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,+∞))
    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥a))))
    左闭右无界区间
    eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(a,+∞))
    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤a))))
    右闭左无界区间
    eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,a))
    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>a))))
    左开右无界区间
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a,+∞))
    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x右开左无界区间
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,a))
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