高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.2 函数的单调性集体备课ppt课件

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      函数的最值　　一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且x0∈D:如果对任意x∈D,都有f(x)≤f(x0), 则称f(x)的最④　大    值为f(x0);如果对任意x∈D,都有f(x)≥f(x0),则称f(x)的最⑤ 　小    值为f(x0).
     函数的平均变化率与函数单调性的关系　　一般地,若I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记y1=f(x1),y2= f(x2), =  ,则:(1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是 ⑥　>    0在I上恒成立;(2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是 ⑦　<    0在I上恒成立.一般地,当x1≠x2时,称 = 为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的平均变化率.
  判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.增、减函数概念中的“任意x1,x2”可以改为“存在x1,x2”. (    ✕　)2.x1,x2为f(x)的定义域内任意两个不相等的实数,且函数f(x)满足 >0,则f(x)在定义域内为增函数. (　√　)3.x1,x2是f(x)定义域内的任意两个实数,x1≠x2且[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0,则f(x)在定义域 内为减函数. (　√　)4.求平均变化率时,Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),Δx,Δy的值可正可负也可以为零. (    ✕　)5.若函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数y=f(x)的最大值是f(1). (    ✕　)函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,只说明[1,3]是函数y=f(x)的单调递减区间,但是 函数y=f(x)在整个定义域上的最大值不一定是 f(1).
6.若函数y=f(x)在定义域上有f(1)0,都有Δy =y2-y1>0,才能确定函数y=f(x)是定义域上的增函数,不能由两个特殊的量来确定.7.若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数. (    ✕　)反例:f(x)= 8.函数f(x)= 在定义域上是减函数. (    ✕　)函数f(x)= 为非连续函数,定义域不连续,在整个定义域上不单调,所以错误.
      函数单调性的判定与证明 判断函数单调性的常用方法1.定义法.根据增函数、减函数的定义,按照“取值→作差→变形→判断符号→下 结论”进行判断.单调性判断的等价结论:当x∈D时,f(x)是增函数,x1,x2∈D且x1≠x2,则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔ >0.当x∈D时,f(x)是减函数,x1,x2∈D且x1≠x2,则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔ <0.2.图像法.根据函数图像的升降情况进行判断.3.直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比 例函数的单调性均可直接得出.
4.复合函数单调性的判断如下:(1)若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上都是增函数或都是减函数,则y=f(g(x))为增函 数;(2)若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=f(g(x))为 减函数.列表如下:　　复合函数单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时递增, 相异时递减.
破疑典例1.( )利用定义证明下列函数的单调性:(1)f(x)=x3在R上是增函数;(2)f(x)= 在[0,+∞)上是增函数.思路点拨:利用定义证明函数的单调性,可通过作差、变形、判断符号来解决.证明　(1)任取R上的两个实数x1,x2,且x10,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(2)任取[0,+∞)上的两个实数x1,x2,且x10,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)2.( )设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且当x>1时, f(x)>0.(1)求f 的值;(2)判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出证明.
思路点拨:抽象函数问题解题的关键是根据结论对x,y进行赋值,通过赋值解决.解析　(1)对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,∴当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.当x=2,y= 时,有f =f(2)+f ,即f(2)+f =0,又f(2)=1,∴f =-1.(2)y=f(x)在(0,+∞)上为增函数.证明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x11,∴f >0,即f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
　　已知函数f(x)为定义在R上的增函数.问题1.如何解不等式f(x)利用函数的单调性解不等式
 1.利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”脱 掉,列出关于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.2.解有关抽象函数的不等式问题的一般步骤:(1)将不等式化为f(x1)x2.
破疑典例1.( )已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)2.( )在疑难1破疑典例2的条件下解不等式f(2x)>f(8x-6)-1.思路点拨:利用单调性解不等式.解析　∵f =-1,∴f(8x-6)-1=f(8x-6)+f =f =f(4x-3),∴f(2x)>f(4x-3),∵f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,∴ 解得 (1)利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x1 0)恒成立求参数的取值范围.(2)利用具体函数本身所具有的特征:如二次函数的图像被对称轴一分为二,可根 据对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组),解不等式(组) 求参数的取值范围.注意:若某个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是 单调的.对于分段函数单调性求参问题,一般从两方面考虑:一方面每个分段区间上函数 具有相同的单调性,由此列出相关式子; 另一方面要考虑分界点处函数值之间的 大小关系,由此列出另外的式子,从而解得参数的取值范围.
  利用单调性求参数的取值范围
根据函数的单调性求参数的取值范围的方法
破疑典例1.( )若函数f(x)= 是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是 (　　)A.(-2,0)　　    B.[-2,0)C.(-∞,1]　    D.(-∞,0)思路点拨:结合分段函数的单调性,讨论每段函数满足减函数时的条件以及两段函数分界点 处函数值的关系列出不等式组求解.B    f(x)= 是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则 解得-2≤a<0.