高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性评课课件ppt
展开1.理解函数的单调性的概念.(逻辑推理)2.会用函数单调性的定义判断和证明一些简单函数的单调性.(逻辑推理)3.能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间.(直观想象)4.掌握函数单调性的一些简单应用.(数学抽象)5.理解函数的平均变化率.(逻辑推理)
【激趣诱思】德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:
以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数,艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.问题:(1)当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?
知识点一、函数单调性的概念一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I⊆D.(1)如果对任意x1,x2∈I,当x1
两种情况下,都称函数在I上具有单调性(当I为区间时,称I为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).名师点析 1.函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,也就是单调区间是定义域的某个子集.2.对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.
微练习(1)已知四个函数的图像如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是( )
(2)如果(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1
知识点二、函数的平均变化率一般地,当x1≠x2时,称 为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1
微思考 给定平面直角坐标系中任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),如何确定直线AB的斜率?提示 当x1≠x2时,直线AB的斜率为 ;当x1=x2时,直线AB的斜率不存在.
知识点三、判断函数单调性的步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤:(1)任取x1,x2∈I,且Δx=x2-x1>0;(2)作差:Δy=f(x2)-f(x1);(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定号(即判断Δy的正负);(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性).
微练习求证:函数f(x)= 在区间[0,+∞)上是增函数.
例1利用单调性的定义证明函数f(x)= 在(-∞,0)内是增函数.分析解题的关键是对Δy=f(x2)-f(x1)合理变形,最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式,以便于判号.
反思感悟 证明函数的单调性的步骤1.取值:设x1,x2为给定区间内任意的两个值,且x1
由图像可知,函数的单调递增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调递减区间为[1,2].
反思感悟 图像法求单调区间的关注点1.由函数的图像得出单调区间是常用的一种方法,但一定要注意画图的准确性及端点处的处理.若函数的定义域内不含端点,则要写成开区间;若端点在其定义域内,则写成开区间或闭区间均可,但最好加上区间端点.2.初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间可以作为常用结论,在某些题目中可以直接使用.3.常见的加绝对值的函数有两种,一种是y=f(|x|),自变量上加绝对值;另一种是y=|f(x)|,函数值上加绝对值.4.加绝对值的函数图像的两种画法:(1)通过讨论绝对值内的式子的正负,去掉绝对值符号,把函数化为分段函数,再依次画出分段函数每一段的函数图像.(2)利用函数图像的变换,即通过图像间的对称变换,得到已知函数的图像.
变式训练 2写出y=|x2-2x-3|的单调区间.
所以y=|x2-2x-3|的单调递减区间为(-∞,-1],[1,3];单调递增区间为[-1,1],[3,+∞).
例3已知函数f(x)=x2+ax+b.(1)若函数f(x)的图像过点(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调,求实数a的取值范围.
解 (1)∵f(x)=x2+ax+b过点(1,4)和(2,5),∴f(x)=x2-2x+5.(2)由f(x)在区间[1,2]上不单调可知1<- <2,即-4
分类讨论思想在函数单调性中的应用分析要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有参数,因此要注意分类讨论思想的应用.
解 设x1,x2是(-1,1)内的任意两个自变量,且x1
方法点睛 1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
1.下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是( )A.y=2x+1B.y=3x2+1C.y= D.y=|x|答案 C 解析 由一次函数、二次函数、反比例函数及y=|x|的图像与性质知,只有选项C中的函数在区间(0,+∞)上不是增函数.故选C.
2.下列命题正确的是( )A.定义在(a,b)内的函数f(x),若存在x1
4.已知函数f(x)=ax2-x+a+1在区间(-∞,2)内是减函数,则a的取值范围为 .
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