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湘教版七年级下册第3章 因式分解综合与测试学案
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这是一份湘教版七年级下册第3章 因式分解综合与测试学案，共12页。学案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题，答案与解析，总结升华，思路点拨，巩固练习等内容，欢迎下载使用。
理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；
2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；
3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.
要点三、公式法
1.平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
2.完全平方公式
两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
要点四、十字相乘法和分组分解法
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点五、因式分解的一般步骤
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、提公因式法分解因式
1、 分解因式：
(1)；
(2)．
【答案与解析】
解：(1)．
(2)
．
【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．
2、利用分解因式证明：能被120整除．
【思路点拨】25＝，进而把整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．
【答案与解析】
证明：＝
＝
＝
＝
＝
＝
∴能被120整除．
【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．
类型二、公式法分解因式
3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．
【思路点拨】把分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．
【答案与解析】
解：把看作完全平方式里的；
原式＝
＝
＝．
【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把看作完全平方式里的是解题的关键．
举一反三：
【变式】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式＝（第一步）
＝（第二步）
＝（第三步）
＝（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）．
A、提取公因式 B．平方差公式
C、两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】
解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
（2）还可以分解，分解不彻底；结果为.
（3）设．
＝，
＝，
＝2，
＝，
＝．
4、（2014春•高密市期末）把下列各式进行因式分解
（1）4（x﹣2）2﹣1；
（2）（x+y）2+4（x+y+1）.
【思路点拨】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）经过变形，利用完全平方公式分解因式即可.
【答案与解析】
解：（1）4（x﹣2）2﹣1
=[2（x﹣2）+1][2（x﹣2）﹣1]
=（2x﹣3）（2x﹣5）；
（2）（x+y）2+4（x+y+1）
=（x+y）2+4（x+y）+4
=（x+y+2）2.
【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
举一反三：
【变式】设，，…，（为大于0的自然数）．（1）探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出，，…，，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数（不必说明理由）．
【答案】
解：（1）∵，
又为非零的自然数，
∴是8的倍数．
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数
（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．
为一个完全平方数的2倍时，为完全平方数
类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式
5、分解因式：（1）
（2）
（3）
【答案与解析】
解：（1）原式
（2）原式＝
（3）原式＝
【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.
举一反三：
【变式】（2014秋•浦东新区校级期末）（x﹣y）2+5（x﹣y）﹣50．
【答案】解：将（x-y）看成一个整体，原式=（x﹣y+10）（x﹣y﹣5）．
6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为厘米、厘米，
且＝0，求长方形的面积．
【思路点拨】把＝0化简成，可得，由题意可得，解方程组即可.
【答案与解析】
解：∵＝0
∴＝0
∵＝0
∴，，（不合题意，舍去）
又由题意可得
解方程组
解之得，＝100，＝50
∴长方形的面积＝100×50＝5000平方厘米．
【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法．
举一反三：
【变式】因式分解：，正确的分组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D；
当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．
ADDIN CNKISM.UserStyle【巩固练习】
一.选择题
1. 下列式子变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2. 已知：△ABC的三边长分别为，那么代数式的值（ ）
A.大于零 B.等于零 C.小于零 D不能确定
3．已知有一个因式是，把它分解因式后应当是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，且，，那么必须满足条件( )．
A.都是正数B. 异号，且正数的绝对值较大
C.都是负数D. 异号，且负数的绝对值较大
5.（2015•贺州）把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（ ）
A．4xy（x﹣y）﹣x3B．﹣x（x﹣2y）2
C．x（4xy﹣4y2﹣x2）D．﹣x（﹣4xy+4y2+x2）
6．将下述多项式分解后，有相同因式的多项式有 ( )
①； ②； ③； ④；
⑤； ⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7. 已知可因式分解成，其中均为整数，则（ ）
A．－12 B．－32 C．38 D．72
8. 将分组分解，下列的分组方法不恰当的是（ ）
A. B.
C. D.
二.填空题
9.（2015春•滨江区期末）因式分解：16m4﹣8m2n2+n4= ．
10. 分解因式：＝_____________.
11.已知，则＝ ．
12.分解因式：＝__________.
13．若有一个因式为，则的值应当是_________.
14.把多项式分解因式的结果是__________.
15.已知，则＝ ．
16.分解因式：（1）＝________；（2）＝________.
三.解答题
17.求证：能被45整除．
18.（2015春•焦作校级期中）已知x2+x=1，求x4+x3﹣2x2﹣x+2015的值．
19.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②由此，你可以得出的一个等式为：________.
（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
②请你用拼图等方法推出因式分解的结果，画出你的拼图．
20.下面是某同学对多项式＋4进行因式分解的过程：
解：设
原式＝ （第一步）
＝ （第二步）
＝ （第三步）
＝ （第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】
A.右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
B.是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；
C.是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；
D.，故本选项错误．
2. 【答案】C；
【解析】，因为为三角形三边长，所以，所以原式小于零.
3. 【答案】A
【解析】代入答案检验.
4. 【答案】B；
【解析】由题意，所以选B.
5. 【答案】B；
【解析】解：4x2y﹣4xy2﹣x3
=﹣x（x2﹣4xy+4y2）
=﹣x（x﹣2y）2，
故选：B．
6. 【答案】C；
【解析】①，③，⑤，⑥分解后有因式.
7.【答案】Ａ；
【解析】原式＝，∵可以分解成，∴∴－12．
8. 【答案】D；
【解析】A、B各组提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分组合理，C第一组运用立方和公式，第二组提取公因式后，有公因式，所以分组合理，D第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式，所以分解不恰当.
二.填空题
9. 【答案】（2m﹣n）2（2m+n）2；
【解析】解：16m4﹣8m2n2+n4
=（4m2﹣n2）2
=（2m﹣n）2（2m+n）2．
故答案为：（2m﹣n）2（2m+n）2．
10.【答案】；
【解析】
＝＝．
11.【答案】－3；
【解析】.
12.【答案】；
【解析】＝＝．
13.【答案】－6；
【解析】由题意，当时，，解得＝－6.
14.【答案】；
【解析】＝＝．
15.【答案】39；
【解析】原式＝.
16.【答案】；；
【解析】；
.
三.解答题
17.【解析】
证明：原式＝
＝＝．
所以能被45整除．
18.【解析】
解：∵x2+x=1，
∴x2=1﹣x，x2﹣1=﹣x，
∴x4+x3﹣2x2﹣x+2015
=x2（x2﹣1）+x3﹣x2﹣x+2015
=x2（﹣x）+x3﹣x2﹣x+2015
=﹣（x2+x）+2015
=﹣1+2015
=2014．
即x4+x3﹣2x2﹣x+2015=2014．
19.【解析】
解：（1）①长方形的面积＝；长方形的面积＝；
②；
（2）①如图，可推导出；
②．
20.【解析】
解：（1）C；
（2）不彻底；；
（3）设，原式＝
.
理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；
2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；
3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.
要点三、公式法
1.平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
2.完全平方公式
两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
要点四、十字相乘法和分组分解法
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点五、因式分解的一般步骤
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、提公因式法分解因式
1、 分解因式：
(1)；
(2)．
【答案与解析】
解：(1)．
(2)
．
【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．
2、利用分解因式证明：能被120整除．
【思路点拨】25＝，进而把整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．
【答案与解析】
证明：＝
＝
＝
＝
＝
＝
∴能被120整除．
【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．
类型二、公式法分解因式
3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．
【思路点拨】把分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．
【答案与解析】
解：把看作完全平方式里的；
原式＝
＝
＝．
【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把看作完全平方式里的是解题的关键．
举一反三：
【变式】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式＝（第一步）
＝（第二步）
＝（第三步）
＝（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）．
A、提取公因式 B．平方差公式
C、两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】
解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
（2）还可以分解，分解不彻底；结果为.
（3）设．
＝，
＝，
＝2，
＝，
＝．
4、（2014春•高密市期末）把下列各式进行因式分解
（1）4（x﹣2）2﹣1；
（2）（x+y）2+4（x+y+1）.
【思路点拨】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）经过变形，利用完全平方公式分解因式即可.
【答案与解析】
解：（1）4（x﹣2）2﹣1
=[2（x﹣2）+1][2（x﹣2）﹣1]
=（2x﹣3）（2x﹣5）；
（2）（x+y）2+4（x+y+1）
=（x+y）2+4（x+y）+4
=（x+y+2）2.
【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
举一反三：
【变式】设，，…，（为大于0的自然数）．（1）探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出，，…，，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数（不必说明理由）．
【答案】
解：（1）∵，
又为非零的自然数，
∴是8的倍数．
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数
（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．
为一个完全平方数的2倍时，为完全平方数
类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式
5、分解因式：（1）
（2）
（3）
【答案与解析】
解：（1）原式
（2）原式＝
（3）原式＝
【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.
举一反三：
【变式】（2014秋•浦东新区校级期末）（x﹣y）2+5（x﹣y）﹣50．
【答案】解：将（x-y）看成一个整体，原式=（x﹣y+10）（x﹣y﹣5）．
6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为厘米、厘米，
且＝0，求长方形的面积．
【思路点拨】把＝0化简成，可得，由题意可得，解方程组即可.
【答案与解析】
解：∵＝0
∴＝0
∵＝0
∴，，（不合题意，舍去）
又由题意可得
解方程组
解之得，＝100，＝50
∴长方形的面积＝100×50＝5000平方厘米．
【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法．
举一反三：
【变式】因式分解：，正确的分组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D；
当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．
ADDIN CNKISM.UserStyle【巩固练习】
一.选择题
1. 下列式子变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2. 已知：△ABC的三边长分别为，那么代数式的值（ ）
A.大于零 B.等于零 C.小于零 D不能确定
3．已知有一个因式是，把它分解因式后应当是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，且，，那么必须满足条件( )．
A.都是正数B. 异号，且正数的绝对值较大
C.都是负数D. 异号，且负数的绝对值较大
5.（2015•贺州）把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（ ）
A．4xy（x﹣y）﹣x3B．﹣x（x﹣2y）2
C．x（4xy﹣4y2﹣x2）D．﹣x（﹣4xy+4y2+x2）
6．将下述多项式分解后，有相同因式的多项式有 ( )
①； ②； ③； ④；
⑤； ⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7. 已知可因式分解成，其中均为整数，则（ ）
A．－12 B．－32 C．38 D．72
8. 将分组分解，下列的分组方法不恰当的是（ ）
A. B.
C. D.
二.填空题
9.（2015春•滨江区期末）因式分解：16m4﹣8m2n2+n4= ．
10. 分解因式：＝_____________.
11.已知，则＝ ．
12.分解因式：＝__________.
13．若有一个因式为，则的值应当是_________.
14.把多项式分解因式的结果是__________.
15.已知，则＝ ．
16.分解因式：（1）＝________；（2）＝________.
三.解答题
17.求证：能被45整除．
18.（2015春•焦作校级期中）已知x2+x=1，求x4+x3﹣2x2﹣x+2015的值．
19.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②由此，你可以得出的一个等式为：________.
（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
②请你用拼图等方法推出因式分解的结果，画出你的拼图．
20.下面是某同学对多项式＋4进行因式分解的过程：
解：设
原式＝ （第一步）
＝ （第二步）
＝ （第三步）
＝ （第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】
A.右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
B.是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；
C.是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；
D.，故本选项错误．
2. 【答案】C；
【解析】，因为为三角形三边长，所以，所以原式小于零.
3. 【答案】A
【解析】代入答案检验.
4. 【答案】B；
【解析】由题意，所以选B.
5. 【答案】B；
【解析】解：4x2y﹣4xy2﹣x3
=﹣x（x2﹣4xy+4y2）
=﹣x（x﹣2y）2，
故选：B．
6. 【答案】C；
【解析】①，③，⑤，⑥分解后有因式.
7.【答案】Ａ；
【解析】原式＝，∵可以分解成，∴∴－12．
8. 【答案】D；
【解析】A、B各组提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分组合理，C第一组运用立方和公式，第二组提取公因式后，有公因式，所以分组合理，D第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式，所以分解不恰当.
二.填空题
9. 【答案】（2m﹣n）2（2m+n）2；
【解析】解：16m4﹣8m2n2+n4
=（4m2﹣n2）2
=（2m﹣n）2（2m+n）2．
故答案为：（2m﹣n）2（2m+n）2．
10.【答案】；
【解析】
＝＝．
11.【答案】－3；
【解析】.
12.【答案】；
【解析】＝＝．
13.【答案】－6；
【解析】由题意，当时，，解得＝－6.
14.【答案】；
【解析】＝＝．
15.【答案】39；
【解析】原式＝.
16.【答案】；；
【解析】；
.
三.解答题
17.【解析】
证明：原式＝
＝＝．
所以能被45整除．
18.【解析】
解：∵x2+x=1，
∴x2=1﹣x，x2﹣1=﹣x，
∴x4+x3﹣2x2﹣x+2015
=x2（x2﹣1）+x3﹣x2﹣x+2015
=x2（﹣x）+x3﹣x2﹣x+2015
=﹣（x2+x）+2015
=﹣1+2015
=2014．
即x4+x3﹣2x2﹣x+2015=2014．
19.【解析】
解：（1）①长方形的面积＝；长方形的面积＝；
②；
（2）①如图，可推导出；
②．
20.【解析】
解：（1）C；
（2）不彻底；；
（3）设，原式＝
.
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