湘教版初中数学七年级下册第三单元《因式分解》单元测试卷（困难）（含答案解析）

湘教版初中数学七年级下册第三单元《因式分解》单元测试卷（困难）（含答案解析）

考试范围：第三单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列变形中是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是：(    )

A. ；
B. ；
C. ；
D. ．

4.  下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在中，有一个因式为，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 

多项式的公因式是

A.  B.  C.  D.

7.  下列给出的多项式中，与多项式有公因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知，均为正整数且满足，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知实数，满足，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知，，，那么的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

12.  下列各式中，能用公式法分解因式的是(    )
；；；；

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  在中，有一个因式为，则的值为________．

14.  如果把多项式分解因式得，那么___________．

15.  计算：______．

16.  已知，则的值为          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知：是多项式的一个因式，求它的其他因式．

18.  本小题分

对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式但对于二次三项式，就不能直接运用公式了此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：

像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”利用“配方法”分解因式：

．

19.  本小题分
现在的“互联网”时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．
有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：利用多项式的分解因式结果．
如，多项式：因式分解，其结果写成，当时，，，，此时可以得到数字密码．
根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？写出三组
可以被和之间的两个数整除，求这两个数．

20.  本小题分

已知，，求的值．

21.  本小题分
请看下面的问题：把分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用完全平方公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得．
人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”请你依照苏菲热门的做法，将下列各式分解因式：

．

22.  本小题分
若、、为的三边，且满足探索的形状，并说明理由．

23.  本小题分
设，，．
求的值；
的值．

24.  本小题分
阅读理解：
把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：，等，都是连接数，其中，称为六位连接数，称为四位连接数．
请写出一个六位连接数______，它______填“能”或“不能”被整除．
是否任意六位连接数，都能被整除，请说明理由．
若一个四位连接数记为，它的各位数字之和的倍记为，的结果能被整除，这样的四位连接数有几个？

25.  本小题分
阅读理解
若在一个两位正整数的个位数字与十位数字之间添上数字，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为的“至善数”，如的“至善数为；若将一个两位正整数加后得到一个新数，我们称这个新数为的明德数，如的“明德数为．
的“至善数是______，“明德数“是______．
求证：对任意一个两位正整数，其“至善数与“明德数“之差能被整除；
若一个两位正整数的明德数的各位数字之和是的“至善数各位数字之和的一半，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了因式分解的意义解决问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【解答】
解：等式右边不是积的形式，故A错误；
B.，故B错误；
C.是整式乘法运算，不是因式分解，故C错误；
D.是因式分解，故D正确．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐项判断即可．
【解答】
解：
A.不是因式分解，故本选项不符合题意；
B. ，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.是因式分解，故本选项符合题意；
D.，此选项不是因式分解，故不本选项符合题意；
故选C．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【解答】
解：是整式的乘法，故A错误；
B.不属于因式分解，故B错误；
C.把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C正确；
D.右边不是整式的乘法，所以不是因式分解，故D错误；
故选C．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解，把一个多项式在一个范围如实数范围内分解，即所有项系数均为实数化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，根据因式分解的概念，逐一判断，即可求得答案．
【解答】
解：，是单项式乘多项式，不是因式分解；
B.结果不是整式，不符合题意；
C.结果不是乘积形式，不是因式分解；
D.，属于因式分解．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了因式分解的定义，以及整式的乘法，根据原多项式正确设出另一个因式是解题的关键，要注意总结．认真审题，根据多项式中含有，并且进行因式分解后含有一个因式，所以可以设出另一个因式，据此即可得出本题的答案．

【解答】

解：设另一个因式为：，
则：
，
，
解得：，
，
．
故选A．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了多项式中公因式的提取方法，根据公因式的概念及确定方法，从系数、相同字母、指数三个方面进行确定，即可求得多项式的公因式．
【解答】
解：根据找公因式的方法，可得
、的各项整数系数的最大公约数为，
各项的相同字母为、，且的最小指数，的最小指数，
所以多项式的公因式是，
故选D．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查公因式与完全平方公式，先利用完全平方公式分解因式，先对每个多项式进行因式分解，然后选与题干具有相同公因式的选项．

【解答】
解：，
A.，与已知没有公因式，故错误；         
B.，不能分解，与已知没有公因式，故错误； 
C.，与已知有公因式，故正确； 
D.，与已知没有公因式，故错误； 
故选C．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，因式分解，解答本题的关键是掌握代数式求值的思路与方法；根据得出，将该等式两边平方，去括号，结合等式求出的值，再将代数式进行因式分解，将、的值代入计算即可．
【解答】
解：，
，
将等式两边平方，得，
去括号，得，
，
，得，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，均为正整数，
，或，
，，，，
，，，，
的最小值为．
故选：．
利用因式分解把等式变形为，再讨论各种可能情况，求出、的值，判断出最小值．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的各种方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
两式相加可得，，

，
，
若，看成是以为未知数的一元二次方程，
，
，没有实数根，
，
，
．
故选：．
利用立方和差公式，因式分解，把问题转化为一元二次方程，利用根的判别式解决问题．
本题考查因式分解的应用，立方和差公式，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会用转化的思想解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了完全平方式以及代数式的求值，正确利用完全平方公式把所求的式子进行变形是关键．把已知的式子化成的形式，然后代入求解．
【解答】
解：，，．
，，，
则原式



，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：，不能分解；
；
，不能分解；
，不能分解；
，
则能用公式法分解因式的是个，
故选：．
利用平方差公式及完全平方公式判断即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了因式分解的定义，以及整式的乘法，根据原多项式正确设出另一个因式是解题的关键，要注意总结．认真审题，根据多项式中含有，并且进行因式分解后含有一个因式，所以可以设出另一个因式，据此即可得出本题的答案．
【解答】
解：设另一个因式为：，
则：
，
，
解得：，
，
．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法得出相等的整式是解题关键．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得、的值．再求得的值．
【解答】
解：分解因式得，得
．
，．
解得，，
．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
先把被除式分解因式，再根据整式的除法即可求出答案．
【解答】
解：原式，
．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
将看做一个整体，左边分解因式后，即可求出的值．
【解答】
解：，
分解因式得：，
可得，
则．
故答案为．  

17.【答案】解：可设多项式的另一个因式为，则，
因为，
所以，，
解得，．
所以这个多项式的其他因式是． 

【解析】根据因式分解的意义，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，利用多项式的除法是解题关键．
 

18.【答案】解：



；









． 

【解析】本题考查因式分解，配方法的应用，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
要运用配方法，只要二次项系数为，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式，再利用平方差公式因式分解即可．
 

19.【答案】解：，
当，时，，，
可得数字密码是；也可以是；；
，
，
；
，
，，
这两个数是、． 

【解析】多项式提取公因式，再利用平方差公式分解，把与的值代入计算即可求出所求；
原式利用平方差公式分解，计算因式结果，确定出所求即可．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：


当，时，
原式
． 

【解析】此题考查了求代数式的值及因式分解的应用，将多项式因式分解因式，再整体代入计算即可．
 

21.【答案】解：，
，
；
，
，
，
，
． 

【解析】本题主要考查的是运用公式法分解因式的有关知识．
根据例题将给出的式子进行变形，然后利用公式法因式分解即可；
根据例题将给出的式子进行变形，然后利用公式法因式分解即可．
 

22.【答案】解：是等边三角形，
理由：，
，
，
的形状是等边三角形． 

【解析】直接利用因式分解法将原式变形，进而得出，，的关系，进而得出答案．
此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．
 

23.【答案】解：










．





的值为． 

【解析】由已知得出，再由，将已知条件代入即可解出；
由，将已知条件及中推得的式子代入，即可求出的值，由，即可解出答案．
本题考查了利用因式分解进行整式的化简求值，计算难度较大，需要较高的计算技巧．
 

24.【答案】  能 

【解析】解：为六位连接数；
，
能被整除；

任意六位连接数都能被整除，理由如下：
设为六位连接数，
，
能被整除；

设为四位连接数，
则，，
，
，
的结果能被整除，
是整数，
取值范围大于小于，所以能被整除的数有，，，，
，；，；，；，；，；，；，；
满足条件的四位连接数的，，，，，，共个．
根据六位连接数的定义可知为六位连接数，再将进行因数分解，判断得出它能被整除；
设为六位连接数，将进行因数分解，判断得出它能被整除；
设为四位连接数，用含、的代数式表示与，再计算，然后将表示为，根据的结果能被整除以及与都是之间的整数，求得与的值，即可求解．
本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：的“至善数是；“明德数“是
故答案为：；．
证明：设的十位数字为，个位数字为
则其“至善数与“明德数“分别为：
；
它们的差为：



其“至善数与“明德数“之差能被整除．
设的十位数字为，个位数字为
则的至善数的各位数字之和是
的明德数各位数字之和是当时或当时
由题意得：时，
，不符合题意；
或者：当时，

当，时，最大，最大值为．
根据“至善数”和“明德数”的定义计算即可得答案；
设的十位数字为，个位数字为，分别写出的“至善数”和“明德数”，求差，化简，表示出的倍数，即可证明；
设的十位数字为，个位数字为，分别写出的“至善数”和“明德数”的各个数位上的数字之和，“明德数”的个位可能存在进位，故分两类计算即可；
本题考查了新定义在数字问题中的应用，读懂定义并正确列式，是解题的关键．