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    人教版九年级数学上册教案设计24.1.2 垂直于弦的直径
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    数学人教版第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案

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    这是一份数学人教版第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案,共4页。教案主要包含了预习导学,合作探究等内容,欢迎下载使用。

    2.通过圆的轴对称性质的学习,理解垂直于弦的直径的性质.
    3.能运用垂径定理计算和证明实际问题.
    阅读教材第81至83页内容,并完成下列问题.
    知识探究
    1.圆是________对称图形,任何一条________________都是它的对称轴,它也是中心对称图形,对称中心为________.
    2.垂径定理:垂直于弦的直径________弦,并且________弦所对的两条弧,即一条直线如果满足:①AB经过圆心O且与圆交于A、B两点;②AB⊥CD交CD于E;那么可以推出:
    ③________;④________;⑤________.
    3.推论:________弦(________)的直径垂直于弦,并且________弦所对的两条弧.
    自学反馈
    1.如图,弦AB垂直于直径CD于E,写出图中所有的弧________________________________________________;优弧有:________________________________;劣弧有:________________________________;最长的弦是:________;相等的线段有:____________________;相等的弧有:________________________________;此图是轴对称图形吗?如果是,对称轴是什么?________________.
    2.在⊙O中,直径为10 cm,圆心O到AB的距离为3 cm,则弦AB的长为________.
    3.在⊙O中,直径为10 cm,弦AB的长为8 cm,则圆心O到AB的距离为________.
    圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个,即可求出另一个.
    4.⊙O的半径OA=5 cm,弦AB=8 cm,点C是AB的中点,则OC的长为________.
    已知弦的中点,连接圆心和中点构造垂直是常用的辅助线.
    5.某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为________米.
    圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个,即可求出另一个.
    6.⊙O的半径是5,P是圆内一点,且OP=3,过点P最短弦的长是________,最长弦的长为________.
    过点P最短弦即为与OP垂直的弦,最长弦即为直径.
    活动1 小组讨论
    例1 AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,E为垂足,若AE=9,BE=1,求CD的长.
    解:6.
    常用辅助线:连接半径,由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.
    例2⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM的长的最小值为3.最大值为5.
    当OM与AB垂直时,OM最小(为什么);当M在A(或B)处时,OM最大.
    例3已知:如图,线段AB与⊙O交于C、D两点,且OA=OB.求证:AC=BD.
    证明:作OE⊥AB于E.则CE=DE.
    ∵OA=OB,OE⊥AB,∴AE=BE.
    ∴AE-CE=BE-DE,
    即AC=BD.
    过圆心作垂径是圆中常用辅助线.
    活动2 跟踪训练
    1.在直径是20 cm的⊙O中,∠AOB的度数是60°,那么弦AB的弦心距是________.
    这里利用60°角构造等边三角形,从而得出弦长.
    2.弓形的弦长为6 cm,弓形的高为2 cm,则这个弓形所在的圆的半径为________.
    3.如图,AB为⊙O的直径,E是eq \(BC,\s\up8(︵))中点,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=________.
    4.如图,OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距,如果OE=OF,那么________.(只需写一个正确的结论即可)
    5.已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证:AC=BD.
    过圆心作垂径.
    6.如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.
    先过圆心作垂径,将30°角放在直角三角形中,求出弦心距,再连半径构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形.
    7.已知⊙O的直径是50 cm,⊙O的两条平行弦AB=40 cm,CD=48 cm,求弦AB与CD之间的距离.
    分情况讨论:①AB、CD在点O两侧;②AB、CD在点O同侧.
    活动3 课堂小结
    垂径定理及其推论,以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形).
    【预习导学】
    知识探究
    1.轴 直径所在的直线 圆心 2.平分 平分 CE=DE eq \(CB,\s\up8(︵))=eq \(DB,\s\up8(︵))eq \(CA,\s\up8(︵))=eq \(DA,\s\up8(︵)) 3.平分 不是直径 平分
    自学反馈
    1.eq \(AD,\s\up8(︵))、eq \(DB,\s\up8(︵))、eq \(BC,\s\up8(︵))、eq \(AC,\s\up8(︵))、eq \(AB,\s\up8(︵))、eq \(ACB,\s\up8(︵))、eq \(CAD,\s\up8(︵))、eq \(CBD,\s\up8(︵))、eq \(DCB,\s\up8(︵))、eq \(ABC,\s\up8(︵))、eq \(DCA,\s\up8(︵))、eq \(CAB,\s\up8(︵))eq \(ACB,\s\up8(︵))、eq \(DCB,\s\up8(︵))、eq \(ABC,\s\up8(︵))、eq \(DCA,\s\up8(︵))、eq \(CAB,\s\up8(︵))eq \(AD,\s\up8(︵))、eq \(BD,\s\up8(︵))、eq \(BC,\s\up8(︵))、eq \(AC,\s\up8(︵))、eq \(AB,\s\up8(︵)) CD AE=EB,CO=DO eq \(AD,\s\up8(︵))=eq \(DB,\s\up8(︵)),eq \(AC,\s\up8(︵))=eq \(BC,\s\up8(︵)),eq \(CAD,\s\up8(︵))=eq \(CBD,\s\up8(︵)) 是,CD所在的直线 2.8 cm 3.3 cm 4.3 cm 5.8 6.8 10
    【合作探究】
    活动2 跟踪训练
    1.5eq \r(3)cm 2.eq \f(13,4)cm 3.8 4.AB=CD 5.证明:过点O作OE⊥AB于点E.则AE=BE,CE=DE,∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD. 6.作OF⊥CD于点F,连接OD.∵AE=2,EB=6,∴AB=8.∴AO=4.∴EO=2.∵∠DEB=30°,∠OFE=90°,∴OF=eq \f(1,2)OE=1.在Rt△ODF中,∵OD=4,OF=1,∴DF=eq \r(OD2-OF2)=eq \r(15).∴CD=2DF=2eq \r(15). 7.过点O作直线OE⊥AB于点E,直线OE与CD交于点F.由AB∥CD,则OF⊥CD.①当AB、CD在点O两侧时,如图1.连接AO、CO,则AO=CO=25 cm,AE=20 cm,CF=24 cm.由勾股定理知OE=15 cm,OF=7 cm.∴EF=OE+OF=22 cm,即AB与CD之间距离为22 cm.
    图1
    图2
    ②当AB、CD在点O同侧时,如图2,连接AO、CO.则AO=CO=25 cm,AE=20 cm,CF=24 cm.由勾股定理知OE=15 cm,OF=7 cm.∴EF=OE-OF=8 cm,即AB与CD之间距离为8 cm.由①②知AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.
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