《函数及其表示》学案7（人教A版必修1）

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函数、导数及其应用
【知识特点】
1．函数、导数及其应用是高中数学的重要内容，本章主要包括函数的概念及其性质，基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数），导数的概念，导数及其几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数在实际问题中的应用等内容。
2．本章内容集中体现了函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法，函数的类型较多，概念、公式较多，具有较强的综合性。
【重点关注】
1．函数的概念及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、值域是高考考查重点，函数性质的综合考查在历年考试中久考不衰，应重点研究。
2．函数的图象及其变换既是高考考查的重点，又是学生学习的一个难点，应注意区分各函数的图象及图象的变换，利用图象来研究性质。
3．导数的几何意义，导数在函数的最值及单调性方面的应用是高中数学的一个重点内容，也是高等数学的必修内容，是近几年高考的一大热点，复习时应引起足够的重视。
4．注意思想方法的应用。数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论思想在各种题型中均有体现，应引起重视。
【地位与作用】
一、函数在高考中的地位与作用
从2007、2008、2009年、2010年的全国各地的高考试题中可以看出，近几年高考在函数中的考查有如下特点：
1、 知识点的考查情况
①映射与函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算；
②定义域、值域、解析式是考查的重点，而且比较稳定，有时结合其它知识点（一本部分内容为背景），分段函数较多、花样翻新；
③函数的单调性在历年考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导函数联系较多；
④函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合，与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多；
⑤反函数出现在选择题、填空题中，考反函数概念运算可能性较大，若出现在解答题中，则必定与单调性、奇偶性、不等式、导函数等知识综合，难度较大；
⑥二次函数问题是每年的必考题，一方面直接考查二次函数，另一方面是利用二次函数的性质解题，三个“二次”问题（即二次函数、二次方程、二次不等式）是函数考试题中永恒的主题
⑦指数函数与对数函数以基本概念、性质为主设计试题，考查指数、对数的定义域、值域、单调性和运算，选择、填空题属中等难度，若解答题涉及到指、对数函数，往往难度会上升；
⑧函数的图像与最值每年必考，体现“形是数的直观反映，数是形的抽象概括”，是数学思想方法中的数相结合思想的最直接的表现形式，尤其是函数y=x+a/x（a＞0）的图像和性质，从未间断过；
⑨函数应用题与综合应用题是最能体现考生函数水平的试题：一次函数、二次函数、y=x+a/x（a＞0）型、指数型、对数型与现实生活相结合，考查学生的建模能力，而函数与数列、不等式、导函数等众多知识的交汇已经成为函数综合应用中的典型问题。
2、 常考题型及分值情况
函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有考题，所占分值30分以上，占全卷的20%以上。在高考中占有重要地位。
3、 命题热点及生长点情况
近年来有关函数内容的高考命题趋势是：
①全方位. 近几年来的高考题中，函数的所有知识点都考过，虽然近几年不强调知识点的覆盖率，但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减少。
②多层次. 在每年的高考题中，函数题抵挡、中档、高档难度都有，且选择、填空、解答题题型齐全。抵挡难度一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图像、反函数，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较大的问题，或者是函数与其它知识结合，或者是多种方法的渗透。
③巧综合. 为了突出函数在中学中的主要地位，近几年来高考强化了函数对其它知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力的综合程度。
④变角度. 出于“立意”和创新情况的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新。重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活。
二、导数在高考中的地位与作用
导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2010年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：
（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；
（2）2010年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。
定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而07年的高考预测会在这方面考察，预测2010年高考呈现以下几个特点：
（1）注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；
（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型


第一节、函数及其表示
【高考目标定位】
一、考纲点击
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。
3．了解简单的分段函数，并能简单应用。
二、热点、难点提示
1．本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图象、分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力偶尔也有所考查。
2．以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的表达式、对应法则，仍是明年高考考查的重要内容。
【考纲知识梳理】
一、函数与映射的概念

函数
映射
两集合
设是两个非空数集
设是两个非空集合
对应关系

如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应。
如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应。
名称
称为从集合到集合的一个函数
称为从集合到集合的一个映射
记法
，
对应是一个映射

注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。
二、函数的其他有关概念
（1）函数的定义域、值域
在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域
（2）一个函数的构成要素
定义域、值域和对应关系
（3）相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。
注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）
（4）函数的表示方法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。
（5）分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。
【热点、难点精析】
一、求函数的定义域
1、确定函数的定义域的原则
（1）当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合;
（2）当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合；
（3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合；
（4）当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。
2、确定函数定义域的依据
（1）若f(x)是整式，则定义域为全体实数；
（2）若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x取值的集合；
（3）当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x取值的集合；
（4）当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值的集合；
（5）若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f(g(x))定义域由不等式a≤g(x)≤b解出;
(6)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域。
3、例题解析
〖例1〗(09长郡中学月考) 已知、，集合表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则的值为（C）
A．            B．0            C．1              D．
〖例2〗 21.（2009天津卷文）设函数则不等式的解集是（ A ）
A. B.
C. D.

解析 由已知，函数先增后减再增
当，令
解得。
当，
故 ，解得
【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解
〖例3〗试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=，g（x）=；
（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。
解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；
（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，
∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；
（4）由于函数f（x）=的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数
注：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。
〖例4〗求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）
解：（1）（配方法），
∴的值域为
改题：求函数，的值域
解：（利用函数的单调性）函数在上单调增
∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为
∴函数，的值域为
（2）求复合函数的值域：
设（），则原函数可化为
又∵，
∴，故，
∴的值域为
（3）（法一）反函数法：
的反函数为，其定义域为，
∴原函数的值域为
（法二）分离变量法：，
∵，∴，
∴函数的值域为
（4）换元法（代数换元法）：设，则，
∴原函数可化为，∴，
∴原函数值域为
注：总结型值域，
变形：或
（5）三角换元法：
∵，∴设，
则
∵，∴，∴，
∴，
∴原函数的值域为
（6）数形结合法：，
∴，∴函数值域为
（7）判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为
由得： ①
①当即时，①即，∴
②当即时，∵时方程恒有实根，
∴△，
∴且，
∴原函数的值域为
（8），
∵，∴，
∴，
当且仅当时，即时等号成立
∴，
∴原函数的值域为
（9）（法一）方程法：原函数可化为：，
∴（其中），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴原函数的值域为
注：上面讨论的是用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，掌握这些方法对于以后的复习中求解综合性的题目时是非常有用的。
二、求函数的解析式
1、函数的解析式的求法
（1）待定系数法。若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法。
（2）换元法。已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围.
（3）解方程组法。已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(-x)、f()等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)
2、例题解析
（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函数，且满足，求；
（4）已知满足，求；
解：（1）配凑法：∵，
∴（或）；
（2）换元法：令（），则，
∴，；
（3）待定系数法：设，
则，
∴，，
∴；
（4）方程组法： ①
把①中的换成，得 ②，
①②得
∴。
三、分段函数及实际应用题
1、相关链接
（1）解决分段函数的基本原则是分段进行；
（2）对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分析出其解析式；
（3）对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值。
四、函数的综合应用
〖例1〗 已知函数f(x)的定义域为R，且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2－x),f(x+7)=f(7－x)
（1）若f(5)=9,求：f(－5);
（2）已知x∈ [2,7]时，f(x)=(x－2)2，求当x∈[16,20]时，函数g(x)=2x－f(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值；
（3）若f(x)=0的一根是0，记f(x)=0在区间[－1000,1000]上的根数为N，求N的最小值。
解 （1）由f(x+2)=f(2－x)及f(x+7)=f(7－x)得:f(x)的图像关于直线x=2,x=7对称。
∴ f(x)=f[(x－2)+2]
=f[2－(x－2)]=f(4－x)
=f[7－(3+x)]=f(7+(3+x))
=f(x+10)
∴f(x)是以10为周期的周期函数。
∴f(－5)=f(－5+10)=f(5)=9
（2）当x∈[16,17],x－10∈[6,7]
∴f(x)=f(x－10)=(x－10－2)2=(x－12)2
当x∈(17,20,x－20∈(－3,0,4－(x－20)∈[4,7
∴f(x)=f(x－20)=f[4－(x－20)]
=f(24－x)=(x－22)2
∴g(x)=
∵x∈ [16,17]时，g(x)最大值为16，最小值为9；x∈（17，20，g(x)>g(17)=9,g(x)≤g(20)=36
∴g(x)的最大值为36，最小值为9。
（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有两个解。
而在[－1000，1000上有200个周期，至少有400个解。又f(1000)=0
所以最少有401个解。且这401个解的和为－200。
注 题中（2）可根据函数图像的对称性、函数的周期性，通过作图得到
f(x)=
一般地：当x∈[－3，2]时，4－x∈[2,7]
∴f(x)=f(4－x)=(x－2)2
∴当x∈[－3,7],f(x)=(x－2)2
故当x∈[－3+10k,7+10k],x－10k∈[－3,7]
∴f(x)= (x－10k－2)2(k∈z)
∴f(x)= (x－10k－2)2 x∈[－3+10k,7+10k],（k∈Z）
〖例2〗 设a是正数，ax+y=2(x≥0,y≥0)，记y+3x－x2的最大值是M(a)，试求：
（1）M(a)的表达式；（2）M(a)的最小值。
解 将代数式y+3x－x2表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x的二次函数，逐步进行分类求M(a)。
（1）设S(x)=y+3x－x2,将y=2－ax代入消去y，得：
S(x)=2－ax+3x－x2
=－x2+(3－a)x+2
=－[x－(3－a)]2+(3－a)2+2(x≥0)
∵y≥0 ∴2－ax≥0
而a>0 ∴0≤x≤
下面分三种情况求M(a)
(i)当0<3－a<(a>0)，即
时
解得 0 M(a)=S(3－a)= (3－a)2+2
(ii)当3－a≥(a>0)即
时，
解得：1≤a≤2，这时
M(a)=S()=2－a·+3·－·
=－+
(iii)当3－a≤0；即a≥3时
M(a)=S(0)=2
综上所述得：
M（a）=

（2）下面分情况探讨M(a)的最小值。
当0 M(a)=(3－a) 2+2>2
当1≤a≤2时
M(a)=－+=－2(－)2+
∵1≤a≤2≤≤1
∴当=时，M(a)取小值，即
M(a)≥M（2）=
当a≥3时，M(a)=2
经过比较上述各类中M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。
注：解题经验的积累，有利于解题思路的挖掘，对参数a的分类，完全依据二次函数顶点的横坐标3－a是否在定义域区间[0，]内，这样就引出三种讨论情况，找出解题的方案。
【感悟高考真题】
1．（2009浙江理）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是 ( )
A．若，，则
B．若，，且，则
C．若，，则
D．若，，且，则
答案：C
【解析】对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．
2．(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，
则f（2009）的值为( )
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
【解析】:由已知得,,,
,,
,,,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.
答案:C.
3．（2008年全国卷一1）函数的定义域为（ C ）
A． B．
C． D．
答案：C
4．（上海卷11）方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 (－∞, －6)∪(6,+∞);
5. （2010辽宁理数）(1O)已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值
范围是
(A)[0,) (B) (D)
【答案】D
【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。
【解析】因为，即tan a≥-1,所以
6.（2010上海文数）9.函数的反函数的图像与轴的交点坐标是 (0,-2) 。
解析：考查反函数相关概念、性质
法一：函数的反函数为，另x=0，有y=-2
法二：函数图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数的反函数的图像与轴的交点为（0，-2）

【考点精题精练】
一、选择题

1. （湖南长沙周南中学·2009年高一月考）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．

2. （湖南长沙周南中学·2009年高一月考）下列函数中，值域是R+ 的是（ ）
A．y= B．
C． D ．
3. （黑龙江庆安一中·2009高一期中）函数的定义域为( )
　　A．　B． 　　　C． 　　　D．
4. （黑龙江庆安三中·2010届高三10月月考（文））x
y
O
a
b
x
y
O
a
b
x
y
O
a
b
x
y
O
a
b
A
B
C
D
设,函数的图象可能是（ ）
解析： 可得 是函数的两个零点
当 时, 则 当时, 则
当时, 则 故选B
5. （黑龙江庆安一中·2009高一期中）设且，则( )
　　A． 　　　　B．
　　C． 　　　　D．

6. （北京市二十中学●高一检测）下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是
A
B
C
D





答案：C
7．（北京市二十中学●高一检测）下列函数中，与函数y = x (x≥0)有相同图象的一个是
A. y = B. y = ()2
C. y = D. y =
答案：B.
8．设函数，若，则关于的方程的解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9． （安徽阜南一中●2010届月考） 函数满足，若，则 = （ ）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
10．(09周口中英文学校月考) 定义在实数集上的函数，如果存在函数，使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数.给出如下命题：
1对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个
2定义域和值域都是的函数不存在承托函数；
3为函数的一个承托函数；
4为函数的一个承托函数
其中，正确的命题个数是（ C ）
A．0  B．1     C．2     D．3
11．（09吉安市第一中学月考） 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系                 （  B  ）
    A、角度和它的正切值          B、人的右手一柞长和身高
    C、正方体的棱长和表面积      D、真空中自由落体运动物体的下落距离和下落时间
12．(09天津一百中学月考) 若两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数。那么与函数为同族函数的个数有（B ）
A 1个     B  2个   C 3个  D   4个  

二、填空题
1．（浙江·09年长征中学高一二检）14、设偶函数f（x）的定义域为R，当时f（x）是增函数，则的大小关系是
2．（湖北部分高中·2010届高三联考） 函数的定义域为 .
3．（湖北黄冈中学·2010届高三10月月考）已知函数的图象如图所示，，则 ．

答案：
解析：由图象可得最小正周期为．
所以，注意到与关于对称，故．
4．（广东龙湾中学●高三月考）若对任意的则的解析式为
三、解答题
1．（湖北黄冈中学·2010届高三10月月考）(本题满分13分)已知函数，函数的最小值为
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数同时满足下列两个条件：①；②当的定义域为时，值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由，知，令
．．．．．．．．．．．．1分
记，则的对称轴为，故有：
①当时，的最小值
②当时，的最小值
③当时，的最小值
综述， ．．．．7分
（2）当时，．故时，在上为减函数．
所以在上的值域为 ．．．．．．．9分
由题，则有，两式相减得，又
所以，这与矛盾．故不存在满足题中条件的的值．
．．．．．．．13分
2．（山东沂源●高三月考）（本小题满分12分）
已知是常数），且（为坐标原点）.
（1）求关于的函数关系式；
（2）若时，的最大值为4，求的值；
（3）在满足（2）的条件下，说明的图象可由的图象如何变化而得到？
解：（1），所以

（2），因为所以
， 当即时取最大值3+，
所以3+=4，=1
（3）①将的图象向左平移个单位得到函数的图象；
②将函数的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到函数的图象；
③将函数的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象；
④将函数的图象向上平移2个单位，得到函数+2的图象。