《函数及其表示》学案4（人教A版必修1）

函数及其表示

【考点指津】

1．掌握描绘函数图象的两种基本方法．

（1）描点法：列表——描点——连线成图．

运用描点法作图前，必须对图象的特征（包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势）做到胸中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处．

（2）图象变换法：包括平移、对称、伸缩、旋转．

2．掌握知识之间的联系，能用数形结合、分类讨论及转化变换等数学思想与数学方法综合解决数学问题，不断提高观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．

【知识在线】

1． 函数的图象是                                      （  ）

2．已知函数y = f(|x|)的图象如左图所示，则函数y = f(x)的图象不可能是    （  ）

3．函数y = f(x)与函数y = f(-x)的图象                                  （  ）

 A．关于y轴对称              B．关于x轴对称

 C．关于原点对称             D．关于直线y=x对称

4．函数y = 的图象关于点          对称．

5．把函数y=22x+3的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向左平移2个单位，所得图象的函数解析式是                    ．

【平台】

 例1  作出下列各函数的图象：

（1）y=10|lgx|；

（2）y=x -|x-1|；

（3）y= |x2-4x+3|．

分析  以上图象用列表描点法作图有困难，为此应先对函数式进行变形，再利用熟悉的函数图形作图．

解  （1）因|lgx| = ，

于是，当x≥1时，10|lgx|  =10lgx  = x；

当0＜x＜1时，10|lgx|  = 10-lgx  =  ．

故 y=10|lgx|  =  ．

根据直线与反比例函数直接作出该分段函数的图象，如图1所示．

（2）根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y=，可见其图象是由两条射线组成，图象如图2．

（3）解法一  去绝对值，得y=，即

y=，其图象由两条抛物线的部分图形组成，图象如图3．

解法二  先作函数y = x2-4x+3的图象，然后将其在x轴下方的图象翻折到x轴的上方，原x轴上方的图形及其翻折上来的图形便是所要求作的函数的图象．

点评  作不熟悉的函数图象，可以先将函数式变形，化为基本初等函数的图象再作图．但要注意变形的等价性，不要扩大或缩小未知数的取值范围．

 例2  设有三个函数的图象分别是C1、C2、C3，其中函数y=f(x)的图象是C1，C2与C1关于原点对称，C3与C2关于直线y=x对称．

 （1）与图象C3对应的函数是（   ）；

 A．y= f －1 (-x)   B．y= - f －1 (x)　　　C．y= - f －1 (-x)　　D．y= - f (-x)

 （2）图象C3与图象C1关于直线（    ）对称．

  A．x轴   B．y轴   C．直线y=x   D．直线y= -x

 分析  （1）因C2与C1关于原点对称，故C2对应的函数是y= -f(-x)．又C3与C2关于直线y=x对称，于是，C3对应的函数是y= -f(-x)的反函数．由y= -f(-x)得-x =     f －1(-y)，即x= - f -1 (-y)，交换x、y得：y= - f ＝1 (-x)，即与C3对应的函数是y= 　　　　- f－1 (-x)，答案选C．

（2）可用排除法：与函数y=f(x)图象关于x轴、y轴、直线y=x对称的函数依次是y= -f(x) ，y= f(-x)， y= f -1 (x)，排除A、B、C，选D．

 点评   本题涉及函数图象的对称变换，可联系点的对称规律来理解和记忆．例如，点(x，y)关于直线y= -x对称的点(-y，-x)，因此，只需用 –y、-x同时换y=f(x)中的x、y，得到-x= f (-y)，即 -y= f -1 (-x)，也就是y= -f -1 (-x)．故函数y= -f  -1 (-x)与函数y=f(x)图象关于直线y= -x对称．

例3    向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图4的左图所示，那么水瓶的形状是                          （ B ）

     解  解法一  根据题意，V=f(h)的图象是一段曲线，V随h的增加而增加，而且开始阶段V的增加较快，以后渐渐变慢，故水瓶的形状必是下口大上口小，于是答案选B．

 解法二  D是圆柱形，注水量V与水深h的关系为正比例关系，其图象应是一条直线段，不合；C是中间细两头粗，注水量V随水深h的增加而增加，开始阶段增加较快，然后变慢，当注水量达到一半后，增加又逐渐变快，故图象也不合；对于A图，注水量应是随着h的增加V增加得越来越快，图象也不合．排除A、C、D，答案选B．

 解法三  设注水量V与水深h的关系为：V=f(h)，则由题图知，＞，即当用水达到一半时，水上升的高度还未达到一半，也就是开始阶段用水较多，从而有水瓶的形状为下口大上口小，答案选B．

 点评  本题是一道应用题，不涉及具体的计算和画图，而突出考查分析和观察能力，属创新题型．题中只是给出了曲线的大概特征，因此，我们在解题时，应用其图，察其形，舍其次，抓其本，全方位分析思考和判断，一举得出问题的解．

例4   设方程x+2x =4的根为m，方程x+log2x=4的根为n，求m+n的值．

 分析   求出m与n的准确值，不可能，怎么办？画个图形，利用数形结合的思想进行求解．注意到函数y=2x与函数y= log2x互为反函数，故可在同一坐标系内作出y=2x、y=log2x及y= 4-x的图象，研究它们交点的横坐标的关系，并求得其值．

 解   在同一直角坐标系内作y=2x、y=log2x及y=4-x的图象，如图5所示，则

 m为曲线y=2x与直线y=4-x交点P的横坐标，n为曲线y=log2x与直线y=4-x交点Q的横坐标．

 因为函数y=2x与函数y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x成轴对称，于是点P与点Q关于点A（2，2）对称，从而

  m+n=2×2=4．

 点评    函数图象在研究方程解（大小的估算、根的个数以及根的分布等）中的作用是较大的．利用图象研究方程解的情况，就是将方程根的情况转化为图象交点的横坐标间的关系，这样使得抽象的数的问题变成了直观的形的判断．

 变题1    方程log2(x+4) = 3x 的实数解的个数是              （ B ）

 A．3       B．2         C．1            D．0

 变题2    方程log3(x+3)=3x的根的情况是                          （ A ）

 A．一个正根，一个负根                   B．两个正根

 C．两个负根                             D．仅有一个根

 变题3　设f(x)表示 –2x+2与-2x2+4x+2中的最小者，求函数f(x)的最大值．

 提示：，最大值为2．

【知能集成】

 1．掌握图象的三种变换．

 （1）平移变换

函数y = f(x+a)（a≠0）的图象可以由y=f(x)的图象向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位而得到；

函数y = f(x)+b（b≠0）的图象可以由y=f(x)的图象向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位而得到．

（2）伸缩变换

函数y = Af(x)（A＞0，且A≠1）的图象可由y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1）到原来的A倍，横坐标不变而得到；

函数y=f(ωx)（ω＞0，且ω≠1）的图象可由y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短（ω＞1）或伸长（0＜ω＜1）到原来的ω倍，纵坐标不变而得到．

（3）对称变换

函数y= - f(x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到；

函数y= f(- x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到；

函数y= - f(-x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到；

函数y=f－1(x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图形而得到；

函数y= |f(x)|的图象可通过作函数y=f(x)的图象，然后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到；

函数y= f(|x|)的图象是：函数y= f(x)在y轴右侧的部分及其该部分关于y轴对称的部分．

2．掌握基本初等函数的图象．

基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数．

【训练反馈】

1．函数y= 的图象是                                            （  ）

2．当a≠0时，函数f(x)=ax+b和g(x)=bax的图象只可能是                （  ）

3．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则实数c的取值范围是   （  ）

      A．（0，+∞）   B．（0，1）

C．（1，2）     D．（-∞，0）

4．任取x1，x2∈（a，b），且x1≠x2，若，则称f(x)是(a，b)上的凸函数．在下列图像中，是凸函数图像的是                                              （  ）

5．图象通过平移或翻折后不能与函数y=的图象重合的函数是      （  ）

 A．y = 2 –x      B．y = 2log4x     C．y=    D．

6．已知函数f(x)及函数g(x)的图象分别如图a、b所示，则函数y=f(x)·g(x)的图象可以是（  ）                                          

7．已知函数y=f(x)的图象与x轴有三个不同的交点(m，0)，（n，0），(p，0)．试分别就下列情况求m+n+p的值．

 （1）函数f(x)为奇函数；

 （2）函数f(x)为偶函数；

 （3）函数f(x)的图象关于直线x=3对称．

8．已知函数的图象经过点（1，3），其反函数的图象经过点（2，0），试问函数y=f –1(x)的图象可由函数y=4x的图象经过怎样的变换而得？

9．已知函数y=f(x)满足f(x+a)=f(a-x)，定义域为R．

 （1）求证：y=f(x)的图象关于直线x = a 对称；

 （2）当a=2，且方程f(x)=0恰有四个不同实数根，求这些实根之和；

 （3）若函数y=log2|mx-1|的图象的对称轴是x=2，求非零实数m的值．

参考答案：

【知识在线】

1．C     2．B    3．A    4．（-2， 3）   5．y=2+3．

【训练反馈】

1．A    2．A    3．A    4．D    5．C    6．B    7．（1）0；（2）0；（3）9．   8． f(x)=2x +1，f –1(x) = log2(x-1)．y=4x→y=log4x→y=log2x（=2log4x）→y=log2(x-1) 也可以:y=4x=22x→ y=2x→ y=log2x→ y=log2(x－1)     9．（1）只须证明函数图象上的任一点（x1，y1）关于直线x=a的对称点也在该函数图象上，反之亦成立；（2）2×2×2=8；（3）2m-1=0．