《函数及其表示》教案1

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义

讲义四：     函数及其表示（1）       

（Ⅰ）、基本概念及知识体系：

1、   函数概念：书本：P15实例1、炮弹的发射——解析法；实例2、臭氧问题——图象法；实例3、恩格尔系数——列表法；

2、  函数的定义：P16定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：. 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）；注意记为y=f(x),x∈A；

3、  构成函数的三要素是：定义域、值域、对应法则。

4、函数y=f(x)的定义域和值域：已学的一次函数、二次函数的定义域与值域？

●练习：题1、，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

→  题2、求值域.

5、   区间的概念：

●练习：1、用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x<b}

2、   用区间表示：函数y＝的定义域        ，值域是      。

●作业： 已知函数f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)

（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：

（一）、函数的概念：

（二）、函数的定义域的常见求法：

★【例题1】、书本P17例题1、例题2

★【例题2】、如果函数(x)满足：对任意的实数m、n都有(m)+ (n)= (m+n)且(1003)=2，则(1)+ (3)+ (5)+…+(2005)=____(2006)

★【例题3】、(06·重庆·T21·12分)已知定义域为R的函数f(x)满足(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.

（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a)；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0­)= x0,求函数f(x)的解析表达式.

▲解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.

又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.；若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.

（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.；又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.

所以对任意x∈R，有f(x)- x2 +x= x0.；在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,

又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.；若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即f(x)= x2 –x.

但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.

若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.

综上，所求函数为f(x)= x2 –x+1（xR）.

▲★课堂练习：

●练习题：书本P19题1、2、3；书本P24：习题1、2、3、4、5

●思考题：已知函数（x）对一切实数x、y均有（x+y）-（y）=（x+2y+1）·x成立，且（1）=0

①求（0）之值;②当（x）+3<2x+a  且0<x< 恒成立时，求a的取值范围

解、①（0）=-2； ②化为a>(x-)2+从而有｛a| a≥1｝为所求（函数的恒成立问题——函数思想去处理！）

（三）、今日作业：

●1、设f(x)＝，则f[f()]＝(  B  )

(A)      (B)      (C)－     (D)

解：f[f()]=f[|-1|-2]=f[-]=,选(B)

（四）、提高练习：

★【题1】、已知函数f (x)=2x-1,，求f[g(x)]和g[f(x)]之值。

★【题2】、书本：P25：6题。

★【题3】、已知函数f(x+1)=x2-3x+2，求f(x)之表达式

★【题4】、已知函数f(+4)=x+8+2，求f(x2)之表达式（学习高手P44）

★思考题：【题5】、二次函数（x）=ax2+bx (a,b为常数且a≠0)满足（-x+5）=（x-3）且方程（x）=x有等根；①求（x）的解析式；②是否存在实数m、n(m <n)使（x）定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m、n之值，若不存在，说明理由

解、①（x）=-x2+x   ②由于（x）的值域是（x）≤,则3n≤,即n≤,所以有（m）=3m且（n）=3n   

∴存在实数m=-4,n=0使（x）定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]

  （Ⅲ）、课堂回顾与小结：

1、注意函数的表示和定义域问题。

2．已知函数，分别由下表给出

则

则的值

为             ；满足的的值是          2．

3．设函数，则        ．

4、已知a,b为常数，若则   2 .

5．函数, 则（  B   ）

  A．2          B．－2          C．          D．