人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示综合训练题

2.3 第3课时 平面向量共线的坐标表示

一、选择题

1．(2010·烟台市诊断)已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是(　　)

A．6　　　　 B．－6　　 　

C．9　　　　 D．12

[答案]　A

[解析]　∵a∥b，∴＝，∴x＝6.

2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)

A.     B. 

C．－    D．－

[答案]　A

[解析]　∵＝2，∴＝，

∴＝＋＝＋＝＋(－)

＝＋＝＋λ，

∴λ＝，故选A.

3．已知点A、B的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量p的坐标为(2k－1,7)，且p∥，则k的值为(　　)

A．－    B. 

C．－    D.

[答案]　D

[解析]　由A(2，－2)，B(4,3)得，＝(2,5)，

而p＝(2k－1,7)，由平行的条件x1y2－x2y1＝0得，

2×7－(2k－1)×5＝0，∴k＝，选D.

4．(2010·湖南长沙)已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A．外心    B．垂心 

C．内心    D．重心

[答案]　D

[解析]　设＋＝，则可知四边形BACD是平行四边形，而＝λ表明A、P、D三点共线．又D在BC的中线所在直线上，于是点P的轨迹一定通过△ABC的重心．

5．已知a＝(2,1)，b＝(x，－2)且a＋b与2a－b平行，则x等于(　　)

A．－6    B．6 

C．－4    D．4

[答案]　C

[解析]　∵(a＋b)∥(2a－b)．

又a＋b＝(2＋x，－1),2a－b＝(4－x,4)，

∴(2＋x)×4－(－1)×(4－x)＝0，

解得x＝－4.

6．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于(　　)

A．－6    B．6 

C．2     D．－2

[答案]　B

[解析]　a＋2b＝(5,5),3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，

由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，

∴λ＝6.

7．(09·北京文)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)

A．k＝1且c与d同向

B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向

D．k＝－1且c与d反向

[答案]　D

[解析]　c＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)，

d＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，

c∥d⇒k×(－1)－1×1＝0，∴k＝－1.

∴c＝(－1,1)与d反向，∴选D.

8．(09·广东文)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b(　　)

A．平行于x轴

B．平行于第一、三象限的角平分线

C．平行于y轴

D．平行于第二、四象限的角平分线

[答案]　C

[解析]　a＋b＝(0,1＋x2)，由1＋x2≠0及向量的性质可知，C正确．

二、填空题

9．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．

[答案]　或

[解析]　由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．

设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.

由⇒.

又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，

所以B或.

10．若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则＋的值为________．

[答案]　－

[解析]　∵A、B、C共线，∴∥，

∵＝(2，m＋2)，＝(n＋2,2)，

∴4－(m＋2)(n＋2)＝0，

∴mn＋2m＋2n＝0，

∵mn≠0，∴＋＝－.

11．在平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(1，－2)，B(－1,4)，若点C满足＝α＋β，其中0≤α≤1且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为________．

[答案]　3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)

[解析]　∵α＋β＝1，∴β＝1－α，

又∵＝α＋β＝α＋(1－α)，

∴－＝α(－)，∴∥，

又与有公共点B，∴A、B、C三点共线，

∵0≤α≤1，∴C点在线段AB上运动，

∴C点的轨迹方程为3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)．

12．已知向量＝(k,6)，＝(4,5)，＝(1－k，10)，且A、B、C三点共线，则k＝______.

[答案]　

[解析]　解法一：∵A、B、C三点共线，

∴＝，解得k＝.

解法二：＝(4－k，－1)，＝(－3－k,5)，

∵A、B、C三点共线，∴∥，

∴5(4－k)－(－1)·(－3－k)＝0，∴k＝.

三、解答题

13．a≠0，b≠0，a与b不平行．求证：a＋b与a－b不平行．

[证明]　∵a≠0，b≠0，∴a＋b与a－b不可能同时为0，不妨设a－b≠0.

假设a＋b与a－b平行，则存在实数λ，使a＋b＝λ(a－b)，∴(1－λ)a＝(－1－λ)b，

∵a与b不平行，

∴矛盾无解，

∴a＋b与a－b不平行．

[点评]　本题体现了“正难则反”的策略，也可引入坐标，通过坐标运算求解．

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)．假设(a＋b)∥(a－b)，则有(x1＋x2)(y1－y2)－(y1＋y2)(x1－x2)＝0，

即x1y1＋x2y1－x1y2－x2y2－x1y1－x1y2＋x2y1＋x2y2＝0，

整理得2(x2y1－x1y2)＝0，∴x2y1－x1y2＝0.

∵a≠0，b≠0，∴a∥b.这与已知矛盾，故假设不成立．即a＋b与a－b不平行．

14．已知四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2，x)、D(6,2x)．

(1)求实数x，使两向量、共线．

(2)当两向量与共线时，A、B、C、D四点是否在同一条直线上？

[解析]　(1)＝(x,1)，＝(4，x)．

∵∥，

∴x2－4＝0，即x＝±2.

∴当x＝±2时，∥.

(2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，

∴∥.此时A、B、C三点共线，

从而，当x＝－2时，A、B、C、D四点在同一条直线上．

但x＝2时，A、B、C、D四点不共线．

15．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：

(1)求3a＋b－2c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

[解析]　(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．

(2)∵a＝mb＋nc，

∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．

∴解之得

(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，

又a＋kc＝(3＋4k,2＋k),2b－a＝(－5,2)．

∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－.

16．已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、＝＋t，求

(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？

(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．

[解析]　(1)＝＋t＝(t＋2,3t－1)．

若点P在x轴上，则3t－1＝0，∴t＝；

若点P在y轴上，则t＋2＝0，∴t＝－2；

若点P在第四象限，则，∴－2<t<.

(2)＝(2，－1)，＝(－t－1，－3t＋4)，＝(t＋2,3t－1)，＝(－1,4)．

①由四边形OABP为平行四边形知，＝.

∴无解．

②由四边形OAPB为平行四边形知，＝，∴t＝1.

③由四边形OPAB为平行四边形知，＝，此时无解．

综上知，四点O、A、B、P可以成为平行四边形的四个顶点．且当t＝1时，四边形OAPB为平行四边形．

17．已知A(1,3)、B(－2，0)、C(2,1)为三角形的三个顶点，L、M、N分别是线段BC、CA、AB上的点，满足||||＝||||＝||||＝13，求L、M、N三点的坐标．

[解析]　∵A(1,3)，B(－2,0)，C(2,1)，

∴＝(1,3)，＝(－2,0)，＝(2,1)．

又∵||||＝||||＝||||＝13，

∴＝＝，

∴＝＋＝(－2,0)＋

＝；

同理可得＝，＝(0,2)，

∴L、M、N(0,2)为所求．