高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列学案及答案

2.4等比数列教案（一）

学校：临清二中   学科：数学  编写人：李丽丽  

                                                        授课类型：新授

教学目标

（一）    知识与技能目标

1.等比数列的定义；

2.等比数列的通项公式．

（二）    过程与能力目标

1.明确等比数列的定义；

2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．

教学重点

1.等比数列概念的理解与掌握；

2.等比数列的通项公式的推导及应用．

教学难点

等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．

教学过程

一、情境导入：  

下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）

1，2，4，8，16，…，263;   ①       1，，，，…；           ②

1，，…；    ③          ④

对于数列①，= ; =2（n≥2）．对于数列②， =；（n≥2）．

对于数列③，= ;  =20（n≥2）．

共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．

二、检查预习

1．等比数列的定义．

2.　等比数列的通项公式: 

，    ，  

3．｛an｝成等比数列

4．求下面等比数列的第4项与第5项：

（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），…….

三、合作探究

（1）等比数列中有为0的项吗？  

（2）公比为1的数列是什么数列？

（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？

（4）常数列都是等比数列吗？

四交流展示

1． 等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）

注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛｝成等比数列=q（，q≠0．）

(2) 隐含：任一项

(3) q=1时，{an}为常数数列．       （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

2.等比数列的通项公式1:

观察法：由等比数列的定义，有：；

；  ；… … … … … … …

．

　　迭乘法：由等比数列的定义，有：；；；…；

　　　　　　所以，即

等比数列的通项公式2:

五精讲精练
例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.

解：         

点评：考察等比数列项和通项公式的理解

变式训练一：教材第52页第1

例2．求下列各等比数列的通项公式：

解：(1)

     (2)

点评：求通项时，求首项和公比

变式训练二 ：教材第52页第2

例3．教材P50面的例1。

例4． 已知无穷数列，

      求证：（1）这个数列成等比数列；

           （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的；

           （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．

证：（1）（常数）∴该数列成等比数列．

        （2），即：．

         （3），∵，∴．

            ∴且，

∴，（第项）．

    变式训练三：教材第53页第3、4题．

六、课堂小结：

1.等比数列的定义；

2.等比数列的通项公式及变形式

七、板书设计

八、课后作业

阅读教材第48～50页；

2.4等比数列教案（二）

学校：临清二中   学科：数学  编写人：李丽丽  

                                                        授课类型：新授

教学目标

（一） 知识与技能目标

进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；

（二） 过程与能力目标

利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质

（三）      方法与价值观

培养学生应用意识．

教学重点，难点

（1）等比数列定义及通项公式的应用；

（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题．

教学过程

二．问题情境

1．情境：在等比数列中，（1）是否成立？是否成立？

（2）是否成立？

2．问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？

三．学生活动

对于（1）∵，，∴，成立．

同理 ：成立．

对于（2），，，

∴，成立．

一般地：若，则．

四．建构数学

1．若为等比数列，，则．

由等比数列通项公式得：，，

故且，

        ∵，∴．

2．若为等比数列，则．

由等比数列的通项公式知：，则 ．

五．数学运用

1．例题：

例1．（1）在等比数列中，是否有（）？

     （2）在数列中，对于任意的正整数（），都有，

那么数列一定是等比数列．

解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列是等比数列，∴，即（）成立．

（2）不一定．例如对于数列，总有，但这个数列不是等比数列．

例2． 已知为，且，该数列的各项都为正数，求的通项公式。

解：设该数列的公比为，由得，又数列的各项都是正数，故，

则 ．

例3．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。

解：由题意可以设这三个数分别为，得：

∴，即得或，

∴或，  

故该三数为：1，3，9或，3，或9，3，1或，3，．

说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为．

例4． 如图是一个边长为的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2），如此继续下去，得图形（3）……求第个图形的边长和周长．

解：设第个图形的边长为，周长为．

由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的，∴数列是等比数列，首项为，公比为．

∴．

要计算第个图形的周长，只要计算第个图形的边数．

第一个图形的边数为，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形的边数的倍，

∴第个图形的边数为．

．

2．练习：

1．已知是等比数列且，，

则           ．

2．已知是等比数列，，，且公比为整数，则           ．

3．已知在等比数列中，，，则                ．

五．回顾小结：

1．等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆）．

六．课外作业：书练习第1，2题，习题第6，8，9，10题．

七板书设计

课内探究学案

（一 ）学习目标

1.明确等比数列的定义；

2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．

教学重点

1.等比数列概念的理解与掌握；

2.等比数列的通项公式的推导及应用．

教学难点

等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．

（二）学习过程

1、自主学习、合作探究

1.等差数列的证明：①（）；②（、），；③证明为常数（对于适用）；④证明。

2.当引入公比辅助解题或作为参数时，注意考虑是否需要对和进行分类讨论。

3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。

4.注意巧用等比数列的主要性质，特别是（）和（）。

5. 三数成等比数列，一般可设为、、；四数成等比数列，一般可设为、、、；五数成等比数列，一般可设为、、、、。

2、精讲点拨

三、典型例题

例1  数列为各项均为正数的等比数列，它的前项和为80，且前项中数值最大的项为54，它的前项和为6560，求首项和公比。

解：若，则应有，与题意不符合，故。依题意有：

得即

得或（舍去），。

由知，数列的前项中最大，得。

将代入（1）得   （3），

由得，即    （4），

联立（3）（4）解方程组得。

例2  （1）已知为等比数列，，，求的通项公式。

（2）记等比数列的前项和为，已知，，，求和公比的值。

解：（1）设等比数列的公比为（），，则，

即也即，解此关于的一元方程得或。

，或。

（2）在等比数列中，有，又，联立解得

或，

由此知，而，从而解得

或。

例3  已知数列，其中，且数列（为常数）为等比数列，求常数。

解：为等比数列，那么，将代入并整理得，解之得或。

例4  设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。

解：设、分别是公比为、（）的两个等比数列，要证明不是等比数列，我们只需证即可。事实上

，，，又、，，数列不是等比数列。

3、反思总结

4当堂检测

1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(     )

2.已知是等比数列，，则

3.若实数、、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（    ）

                             无法确定

4. 在数列中，，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（    ）

5.设数列满足（，，），且

，则__________。

6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________。

7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。

8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则________。

9.设数列为等比数列，，已知，。

（1）求等比数列的首项和公比；

（2）求数列的通项公式。

10.设数列的前项和为，已知

（1）证明：当时，是等比数列；

（2）求的通项公式。

11.已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。

（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；

（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。

【当堂检测】

1.   解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。

2.   解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。

3.   解析：、、成等比数列，，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。

4. ，，而，

，即，解得，而，故公比的取值范围为。

5.  

解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。。

6.

解析：的两根分别为和，，从而、，。。

7.

解析：，，

。

8.

解析：设该等比数列为、、、， ，

，从而、、，

。

9.解：（1）对于等式，令得；令得，，。

（2），则    ①

①得              ②

②①得：

。

10.解：（1）证明：由题意知，且，

两式相减得，即    ①

当时，由①知，于是

又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。

（2）当时，由（1）知，即；

 当时，由①得

11.解：（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即

，矛盾。

所以不是等比数列.

（2）解：

。又，所以

当时，，这时不是等比数列；

当时，由上可知，。

故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。

（3）由（2）知，当时，，，不满足题目要求。

，故知，可得

，

要使对任意正整数成立，即

，

得       ①

令，则

当为正奇数时，；当为正偶数时，。

所以的最大值为，最小值为。

于是，由①式得。

当时，由知，不存在实数满足题目要求；

当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。

等比数列学案

一、课前预习

（一）预习目标

1.理解等比数列的定义；

2.了解等比数列的通项公式

（二）自我探究

下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）

1，2，4，8，16，…，263;   ①       1，，，，…；           ②

1，，…；    ③          ④

对于数列①，= ; =2（n≥2）．对于数列②， =；（n≥2）．

对于数列③，= ;  =20（n≥2）．

共同特点：                                                                         

 (1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛｝成等比数列=q（，q≠0．）

(2) 隐含：任一项

(3) q=1时，{an}为常数数列．     

（4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

（四）提出疑惑

（五）预习内容

1、等比数列的定义                                                              

2、等比数列的通项公式                                                          

1. 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比，我们通常用字母（）表示。数学语言描述：对于数列，如果满足（、，为常数，），那么为等比数列。

2.当等比数列的公比时。该等比数列为常数列。

3.等比数列的通项公式：，对于等比数列的通项公式，我们有以下结论：

①；②（，此结论对于有意义时适用）。

4. 等比数列的增减性：若，当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。若，当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。

5. 如果在数和中间插入一个数，使得、、三数成等比数列，那么我们就称数为数和的等比中项，且。

6.等比数列的前项和公式

设数列是公比为的等比数列，那么该数列的前项和

。

7.等比数列的主要性质：

（1）在等比数列中，若，则；

（2）在等比数列中，若，则；

（3）对于等比数列，若数列是等差数列，则数列也是等比数列；

（4）若数列是等比数列，则对于任意实数，数列、也是等比数列；

（5）若数列是等比数列且，则数列也是等比数列；

（6）若数列是等比数列且，则数列为等差数列；

（7）若数列和都是等比数列，则数列也是等比数列；

（8）若是等比数列的前项和，则、、、…成等比数列，其公比为；

四、课堂同步训练

1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(     )

2.已知是等比数列，，则

3.若实数、、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（    ）

                             无法确定

4. 在数列中，，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（    ）

5.设数列满足（，，），且

，则__________。

6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________。

7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。

8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则________。

9.设数列为等比数列，，已知，。

（1）求等比数列的首项和公比；

（2）求数列的通项公式。

10.设数列的前项和为，已知

（1）证明：当时，是等比数列；

（2）求的通项公式。

11.已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。

（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；

（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。

【同步训练参考答案】

1.   解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。

2.   解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。

3.   解析：、、成等比数列，，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。

4. ，，而，

，即，解得，而，故公比的取值范围为。

5.  

解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。。

6.

解析：的两根分别为和，，从而、，。。

7.

解析：，，

。

8.

解析：设该等比数列为、、、， ，

，从而、、，

。

9.解：（1）对于等式，令得；令得，，。

（2），则    ①

①得              ②

②①得：

。

10.解：（1）证明：由题意知，且，

两式相减得，即    ①

当时，由①知，于是

又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。

（2）当时，由（1）知，即；

 当时，由①得

故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。

（3）由（2）知，当时，，，不满足题目要求。

，故知，可得

，

要使对任意正整数成立，即

，

得       ①

令，则

当为正奇数时，；当为正偶数时，。

所以的最大值为，最小值为。

于是，由①式得。

当时，由知，不存在实数满足题目要求；

当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。