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数学选修1-2第二章 推理与证明综合与测试课时练习
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这是一份数学选修1-2第二章 推理与证明综合与测试课时练习，共16页。试卷主要包含了1 合情推理与演绎推理，如果数列是等差数列，则，下面的四个不等式， 已知 ，向量的 夹角为，则=，证明，已知求的最大值，设函数 则的值为等内容，欢迎下载使用。
第二章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理
2．1．1 合情推理
典型例题
例1 观察下列数的特点
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是( )
（A） 10 （B） 13 （C） 14 （D） 100
解析 由规律可得:数字相同的数依次个数为
1,2,3,4,… n 由≤100 n ∈ 得,n=14,所以应选（C）
例2 对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。
解析 由类比推理 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补
例3、观察以下各等式：
，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。
解析 猜想：。 证明
练习
一、选择题
1、 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( )
(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.
2、在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （ ）
(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B)
(C) (D)AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD2
3、已知 ，猜想的表达式为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
4、依次有下列等式：，按此规律下去，第8个等式为 。
5、（2000年上海卷）在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.
三、解答题
6 （2004年上海春招高考题）在DEF中有余弦定理：
. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.
7、已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
2．1．2演绎推理
典行例题
例1 （1） 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 （ ）
(A) 正方形的对角线相等 (B) 平行四边形的对角线相等
(C) 正方形是平行四边形 (D)其它
（2）下列表述正确的是（ ）。
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
（A）①②③； （B）②③④； （C）②④⑤； （D）①③⑤。
（3） 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”
结论显然是错误的，是因为（ ）。
（A）大前提错误 （B）小前提错误 （C）推理形式错误 （D）非以上错误
（4） 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）。
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
答案 （1）选（A） （2）选（D） （3）选（A） （4）选（A）
例2 （1）在演绎推理中，只要 是正确的，结论必定是正确的。
（2）用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是 。
答案 （1）大前提和推理过程 （2）增函数的定义
例3 如图，S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求证：AB⊥BC。
证明：如图，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，
∴AE⊥BC.
又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，
∵SAAE=A，SA平面SAB，AE平面SAB，
∴BC⊥平面SAB，
∴AB⊥BC.
练习
一、选择题
1、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。
小王说：“我肯定考上重点大学。”
小刘说：“重点大学我是考不上了。”
小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。”
发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。可见：（ ）
（A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学
（B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学
（C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学
（D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上
2、已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m ∥β，给出下列四个命题：
（1）若α∥β，则l⊥m； （2）若l⊥m，则α∥β；
（3）若α⊥β，则l∥m； （4）若l∥m，则α⊥β；
其中正确命题的个数是 （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3、给出下列三个命题：①若；②若正整数满足，则；③设上任意一点，圆以为圆心且半径为1。当时，圆相切。
其中假命题的个数是（ ）
（A） 0 （B ） 1 （C）2 （D）3
二、填空题
4、设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为 .
5、函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .
.三、解答题
6、已知：空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，判断直线EF与平面ABD的关系，并证明你的结论.
7、设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件：
①当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；②当x∈(0,2)时，f(x)≤
③f(x)在R上的最小值为0。
求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x.
2．2直接证明与间接证明2．2．1综合法
典型例题
例1 下列四个命题：①若01+a>;③若x、yR，
满足y=x,则log的最小值是；④若a、bR，则。其中正确的是（ ）。
(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④
解析 用综合法可得应选（B）
例2 函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .
解析∵函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，
∴ 0＜x+2＜2即-2＜x＜0
∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数，
又∵函数y=f(x+2)是偶函数，
∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数
由图象可得
f(2.5)>f(1)>f(3.5)
故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)
例3 已知a，b，c是全不相等的正实数，求证
解析∵ a，b，c全不相等
∴ 与，与，与全不相等。
∴
三式相加得
∴
即
练习
一、选择题
1．如果数列是等差数列，则（ ）。
（A） （B） （C） （D）
2．在△ABC中若b=2asinB 则A等于( )
(A) (B) (C) (D)
3．下面的四个不等式：①；②；③ ；④.其中不成立的有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
二、填空题
4． 已知 ，向量的 夹角为，则=
图
5. 如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足
条件 （或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD是
正方形、菱形等）时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条
件即可，不必考虑所有可能的情形）
三、解答题
6．证明：已知：，求证：
7．已知求的最大值。
2．2．2分析法
典型例题
例1 设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，则x与y的大小关系为（ ）。
（A）x>y； （B）x=y； （C）x
例2 的大小关系是__________.
解析 由分析法可得应填
例3 设若函数与的图象关于轴对称，求证为偶函数。
解析 记
欲证 为偶函数，只须证
，
即只须证
由已知，函数与的图象关于轴y对称，而函数与的图象也是关于y轴对称的
∴=
于是有=
∴为偶函数。
练习
一、选择题
1．已知，则正确的结论是（ ）。
(A)a＞b (B)a＜b (C)a=b (D)a、b大小不定
2．设a、b、m都是正整数，且a＜b，则下列不等式中恒不成立的是（ ）。
(A) (B) (D) (D)
3．已知f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，则f（1）+f（2）+…+f（n）不能等于（ ）。
(A)f（1）+2f（1）+…+nf（1） (B)
(C)n（n+1） (D)n（n+1）f（1）
二、填空题
4．在十进制中，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 。
5设，那么P, Q, R的大小顺序是 。
三、解答题
6．自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用表示某鱼群在第年年初的总量，，且＞0.不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数.
（Ⅰ）求与的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
7．设函数.
（1）证明：；
（2）设为的一个极值点，证明.
2.2.2反证法
典型例题
例1（1）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
( A ) 假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
（2）已知＝2，关于p＋q的取值范围的说法正确的是 （ ）
（A）一定不大于2 （B）一定不大于 （C）一定不小于 （D）一定不小于2
解析 用反证法可得（1）应选（B） （2）应选（A）
例2 用反证法证明命题“如果那么”时，假设的内容应为_____________.
解析 用反证法可得应填 或
例3 若、，
(1)求证：；
(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.
解：（1）（采用反证法）. 若，即, 解得
从而与题设,相矛盾，
故成立.
(2) 、、、、, .
（3）因为 又,
所以,
因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、
练习
一、选择题
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ( )
（A）有一个解 （B）有两个解 （C）至少有三个解 （D）至少有两个解
2．设大于0，则3个数：，，的值 ( )
（A）都大于2 （B）至少有一个不大于2 （C）都小于2 （D）至少有一个不小于2
3．已知α∩β＝l，aα、bβ，若a、b为异面直线，则 ( )
（A） a、b都与l相交 （B） a、b中至少一条与l相交
（C） a、b中至多有一条与l相交 （D） a、b都与l相交
二、填空题
4．用反证法证明“，求证：中至少有一个不小于”时的假设为
5．用反证法证明“若＞0，则 ”时的假设为
三、解答题
6．证明：不能为同一等差数列的三项.
7．对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x－y=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
推理与证明测试题
一、选择题（每题5分，共50分）
1、由数列1，10，100，1000，……猜测该数列的第n项可能是（ ）。
A．10n; B．10n-1; C．10n+1; D．11n.
2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）。
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。
A．①； B．①②； C．①②③； D．③。
3、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 ( )
(A)12 (B) 13 (C)14 (D)15
4、、在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c的值是( )
1
2
0.5
1
a
b
c
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5、设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为（ ）
A 、2008 B、 2004 C、 2002 D 、2000
6、计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0 ～9和字母A ～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
十六进制
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示E+D=1B,则（ ）
A 6E B 72 C 5F D B0
7、若数列的前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中，可取遍的前8项值的数列是（ ）
A B C D
8、设定义域为R的函数f(x)＝，若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3个不同的实数解x1、x2、x3，则等于（ ）
A．5 B． C．13 D．
9、正实数及函数满足，且，则 的最小值为 （ ）
4 2
10．设函数 则的值为（ ）
A. a B. b C. a, b中较小的数 D. a, b中较大的数
二、填空题（每题5分，共20分）
11、设函数是定义在R上的奇函数，且的图像关于直线对称，则
12、设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示n条直线交点的个数，则f(4)= , 当n>4时，f(n)=
13、若数列{}，(n∈N)是等差数列,则有数列b=(n∈N)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{c}是等比数列,且c＞0(n∈N),则有d=____________ (n∈N)也是等比数列。
14、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫
做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列是等和数列，且，公和为5，那么值
为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________。
三、解答题
.15．设都是正数，求证。
16．（12分）已知：，求证：
（1）；
（2）中至少有一个不小于。
17（14分）如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，。求证：。
18（14分）已知：
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：
_____________________________________________________= （ * ）
并给出（ * ）式的证明。
19．（14分）已知函数，当时，值域为，当时，值域为，…，当时，值域为，…．其中a、b为常数，a1=0，b1=1．
（1）若a=1，求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
（2）若，要使数列{bn}是公比不为1的等比数列，求b的值；
20．（14分）对于函数，若存在成立，则称
不动点。如果函数 有且只有两个不动点0，2，且
（1）求函数的解析式；
（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；
（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立。
第二章 推理与证明
参 考 答 案
2．1 合情推理与演绎推理
2．1．1 合情推理
一、选择题
（1）（A） 观察各项我们可以发现：x为前一项的3倍即14×3，y为前一项减1，z为前一项的3倍，故应选42，41，123，选（A）。
（2）分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边
体 积 面 积 ； 二面角 平面角
面 积 线段长； … …
由此，可类比猜测本题的答案：
，故选（C）。
（3）由归纳猜想可得选（B）。
二、填空题
（4）由归纳猜想可得8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=
（5）猜测本题的答案为：
事实上，对等差数列，如果，则
. 所以有：
）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立
三、解答题
6．分析 根据类比猜想得出.
其中为侧面为与所成的二面角的平面角.
证明： 作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：
，
同乘以，得
即
7．解：（1）
（2）
，
当时，.
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. …… 12分
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等.
2． 1. 2 演绎推理
一、选择题
（1）由推理知识，可知应选（C）
（2）由直线和平面以及平面和平面平行和垂直的判定定理、性质定理，可知应选（B）
（3）由不等式的基本性质以及圆方程的性质，可知应选（B）
二、填空题
（4）分析 此题利用类比课本中推导等差数列前项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算： ，
，
，
发现正好是一个定值， ，.
（5）∵函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，
∴ 0＜x+2＜2即-2＜x＜0
∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数，
又∵函数y=f(x+2)是偶函数，
∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数
由图象可得
f(2.5)>f(1)>f(3.5)
故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)
三、解答题
6．直线BD和平面ABD的位置关系是平行
证明：如图，连接BD，
∵在△ABC中，
BE=CE DF=CF
∴EF∥BD
又BD平面ABD
∴BD∥平面ABD
7．解：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x= -1对称
∴ 即b=2a
由③知当x= 1时,y=0，即ab+c=0；由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1.
∴f(1)=1，即a+b+c=1，又ab+c=0
∴a= b= c= ，∴f(x)=
假设存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x
取x=1时，有f(t+1)≤1(t+1)2+(t+1)+≤1-4≤t≤0
对固定的t∈[-4,0]，取x=m，有
f(t++m)≤m(t+m)2+(t+m)+≤m+2(t-1)m+(t2+2t+1)≤0
≤m≤ ∴m≤≤=9
当t= -4时，对任意的x∈[1,9]，恒有f(x-4)≤x(-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0
∴m的最大值为9.
解法二：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x=-1对称
∴ b=2a
由③知当x=1时,y=0，即a b+c=0；由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1
∴f(1)=1，即a+b+c=1，a b+c=0
∴a= b= c=∴f(x)==(x+1)2
由f(x+t)=(x+t+1)2≤x 在x∈[1,m]上恒成立
∴4[f(x+t)-x]=x2+2(t-1)x+(t+1)2≤0当x∈[1,m]时，恒成立
令 x=1有t2+4t≤0-4≤t≤0
令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)2≤0当t∈[-4,0]时，恒有解
令t= -4得，- 10m+9≤01≤m≤9
即当t= -4时，任取x∈[1,9]恒有f(x-4)-x=(-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0
∴ mmax=9
2．2直接证明
2．2．1 综合法
一、选择题
（1）由等差数列的性质：若m+n=p+q 则可知应填（B）。
（2）由正弦定理得sinB=2sinAsinBsinA=A=故应选（D）。
（3）由不等式的性质可知应选（A）。
二、填空题
（4）由向量性质以及向量的数量积公式，故应填13 （5）AC⊥BD
三、解答题
6．证明：（用综合法） ∵，
7．解：∵ ∴ 则
即
2．2．2 分析法
一、选择题
（1）B
（2）B
（3）D
二、填空题
（4）254（5）P＜R＜Q
三、解答题
6．解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，
所以a>b. 猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.
7证明：1）
==
2)
① 又 ②
由①②知= 所以
2．2．3 反证法
一、选择题
（1）C（2）D（3）B
二、填空题
（4）假设都小于，即
（5）
三、解答题
6证明：假设、、为同一等差数列的三项，则存在整数m,n满足
① ②
①n-②m得：n-m=(n-m) 两边平方得： 3n2+5m2-2mn=2(n-m)2
左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数
所以，假设不正确。即 、、不能为同一等差数列的三项。
7证明：（反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，设A（x1，y1）、B（x2，y2）则
由 ④
由②、③有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2 ⑤
由④知x1+x2= 代入⑤整理得：ak=－3与①矛盾。
故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称。
推理与证明测试题参考答案
一、选择题
（1）B（2）C（3）C（4）A（5）C（6）A（7）B（8）D（9）C（10）D
二、填空题
11．0
12. 5 ，
13.
14. 3 , ( 当n为偶数时，；当n为奇数时， )
三、解答题
15证明：
16（1）证明：∵
∴
（2）假设都小于，则
，
即有
∴
由（1）可知，与矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立
17证明：取PB的中点，连结，∵是的中点，∴，∵平面，∴平面，∴MQ⊥AB，取的中点，连结QD，则QD∥PA，∵∴QD=QB，又，∴，∴，∴AB⊥平面QMN，∴
18 一般形式:
证明 左边 =
=
=
=
=
∴原式得证
（将一般形式写成
等均正确。）
19解：⑴∵a＝1>0，∴f(x)＝ax＋b在R上为增函数，
∴an＝a·an－1＋b＝an－1＋b，bn＝bn－1＋b(n≥2)，
∴数列{an}，{bn}都是公差为b的等差数列。
又a1=0，b1=1,∴an=(n－1)b,bn ＝1＋(n－1)b(n≥2)
⑵∵a>0，bn＝abn－1＋b，∴，
由{bn}是等比数列知为常数。又∵{bn}是公比不为1的等比数列，则bn－1不为常数，
∴必有b＝0。
20。解：依题意有,化简为 由违达定理, 得
解得 代入表达式，
由得 不止有两个不动点，
（2）由题设得 （*）
且 （**）
由（*）与（**）两式相减得：
解得（舍去）或，由，若这与矛盾，，即{是以-1为首项，-1为公差的等差数列，；
（3）采用反证法，假设则由（1）知
,有
，而当
这与假设矛盾，故假设不成立，.
关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:
由得<0或
结论成立；
若，此时从而即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.
比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进.
第二章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理
2．1．1 合情推理
典型例题
例1 观察下列数的特点
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是( )
（A） 10 （B） 13 （C） 14 （D） 100
解析 由规律可得:数字相同的数依次个数为
1,2,3,4,… n 由≤100 n ∈ 得,n=14,所以应选（C）
例2 对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。
解析 由类比推理 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补
例3、观察以下各等式：
，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。
解析 猜想：。 证明
练习
一、选择题
1、 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( )
(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.
2、在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （ ）
(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B)
(C) (D)AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD2
3、已知 ，猜想的表达式为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
4、依次有下列等式：，按此规律下去，第8个等式为 。
5、（2000年上海卷）在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.
三、解答题
6 （2004年上海春招高考题）在DEF中有余弦定理：
. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.
7、已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
2．1．2演绎推理
典行例题
例1 （1） 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 （ ）
(A) 正方形的对角线相等 (B) 平行四边形的对角线相等
(C) 正方形是平行四边形 (D)其它
（2）下列表述正确的是（ ）。
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
（A）①②③； （B）②③④； （C）②④⑤； （D）①③⑤。
（3） 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”
结论显然是错误的，是因为（ ）。
（A）大前提错误 （B）小前提错误 （C）推理形式错误 （D）非以上错误
（4） 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）。
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
答案 （1）选（A） （2）选（D） （3）选（A） （4）选（A）
例2 （1）在演绎推理中，只要 是正确的，结论必定是正确的。
（2）用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是 。
答案 （1）大前提和推理过程 （2）增函数的定义
例3 如图，S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求证：AB⊥BC。
证明：如图，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，
∴AE⊥BC.
又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，
∵SAAE=A，SA平面SAB，AE平面SAB，
∴BC⊥平面SAB，
∴AB⊥BC.
练习
一、选择题
1、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。
小王说：“我肯定考上重点大学。”
小刘说：“重点大学我是考不上了。”
小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。”
发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。可见：（ ）
（A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学
（B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学
（C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学
（D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上
2、已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m ∥β，给出下列四个命题：
（1）若α∥β，则l⊥m； （2）若l⊥m，则α∥β；
（3）若α⊥β，则l∥m； （4）若l∥m，则α⊥β；
其中正确命题的个数是 （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3、给出下列三个命题：①若；②若正整数满足，则；③设上任意一点，圆以为圆心且半径为1。当时，圆相切。
其中假命题的个数是（ ）
（A） 0 （B ） 1 （C）2 （D）3
二、填空题
4、设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为 .
5、函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .
.三、解答题
6、已知：空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，判断直线EF与平面ABD的关系，并证明你的结论.
7、设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件：
①当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；②当x∈(0,2)时，f(x)≤
③f(x)在R上的最小值为0。
求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x.
2．2直接证明与间接证明2．2．1综合法
典型例题
例1 下列四个命题：①若0
满足y=x,则log的最小值是；④若a、bR，则。其中正确的是（ ）。
(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④
解析 用综合法可得应选（B）
例2 函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .
解析∵函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，
∴ 0＜x+2＜2即-2＜x＜0
∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数，
又∵函数y=f(x+2)是偶函数，
∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数
由图象可得
f(2.5)>f(1)>f(3.5)
故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)
例3 已知a，b，c是全不相等的正实数，求证
解析∵ a，b，c全不相等
∴ 与，与，与全不相等。
∴
三式相加得
∴
即
练习
一、选择题
1．如果数列是等差数列，则（ ）。
（A） （B） （C） （D）
2．在△ABC中若b=2asinB 则A等于( )
(A) (B) (C) (D)
3．下面的四个不等式：①；②；③ ；④.其中不成立的有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
二、填空题
4． 已知 ，向量的 夹角为，则=
图
5. 如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足
条件 （或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD是
正方形、菱形等）时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条
件即可，不必考虑所有可能的情形）
三、解答题
6．证明：已知：，求证：
7．已知求的最大值。
2．2．2分析法
典型例题
例1 设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，则x与y的大小关系为（ ）。
（A）x>y； （B）x=y； （C）x
例2 的大小关系是__________.
解析 由分析法可得应填
例3 设若函数与的图象关于轴对称，求证为偶函数。
解析 记
欲证 为偶函数，只须证
，
即只须证
由已知，函数与的图象关于轴y对称，而函数与的图象也是关于y轴对称的
∴=
于是有=
∴为偶函数。
练习
一、选择题
1．已知，则正确的结论是（ ）。
(A)a＞b (B)a＜b (C)a=b (D)a、b大小不定
2．设a、b、m都是正整数，且a＜b，则下列不等式中恒不成立的是（ ）。
(A) (B) (D) (D)
3．已知f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，则f（1）+f（2）+…+f（n）不能等于（ ）。
(A)f（1）+2f（1）+…+nf（1） (B)
(C)n（n+1） (D)n（n+1）f（1）
二、填空题
4．在十进制中，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 。
5设，那么P, Q, R的大小顺序是 。
三、解答题
6．自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用表示某鱼群在第年年初的总量，，且＞0.不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数.
（Ⅰ）求与的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
7．设函数.
（1）证明：；
（2）设为的一个极值点，证明.
2.2.2反证法
典型例题
例1（1）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
( A ) 假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
（2）已知＝2，关于p＋q的取值范围的说法正确的是 （ ）
（A）一定不大于2 （B）一定不大于 （C）一定不小于 （D）一定不小于2
解析 用反证法可得（1）应选（B） （2）应选（A）
例2 用反证法证明命题“如果那么”时，假设的内容应为_____________.
解析 用反证法可得应填 或
例3 若、，
(1)求证：；
(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.
解：（1）（采用反证法）. 若，即, 解得
从而与题设,相矛盾，
故成立.
(2) 、、、、, .
（3）因为 又,
所以,
因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、
练习
一、选择题
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ( )
（A）有一个解 （B）有两个解 （C）至少有三个解 （D）至少有两个解
2．设大于0，则3个数：，，的值 ( )
（A）都大于2 （B）至少有一个不大于2 （C）都小于2 （D）至少有一个不小于2
3．已知α∩β＝l，aα、bβ，若a、b为异面直线，则 ( )
（A） a、b都与l相交 （B） a、b中至少一条与l相交
（C） a、b中至多有一条与l相交 （D） a、b都与l相交
二、填空题
4．用反证法证明“，求证：中至少有一个不小于”时的假设为
5．用反证法证明“若＞0，则 ”时的假设为
三、解答题
6．证明：不能为同一等差数列的三项.
7．对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x－y=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
推理与证明测试题
一、选择题（每题5分，共50分）
1、由数列1，10，100，1000，……猜测该数列的第n项可能是（ ）。
A．10n; B．10n-1; C．10n+1; D．11n.
2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）。
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。
A．①； B．①②； C．①②③； D．③。
3、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 ( )
(A)12 (B) 13 (C)14 (D)15
4、、在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c的值是( )
1
2
0.5
1
a
b
c
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5、设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为（ ）
A 、2008 B、 2004 C、 2002 D 、2000
6、计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0 ～9和字母A ～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
十六进制
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示E+D=1B,则（ ）
A 6E B 72 C 5F D B0
7、若数列的前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中，可取遍的前8项值的数列是（ ）
A B C D
8、设定义域为R的函数f(x)＝，若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3个不同的实数解x1、x2、x3，则等于（ ）
A．5 B． C．13 D．
9、正实数及函数满足，且，则 的最小值为 （ ）
4 2
10．设函数 则的值为（ ）
A. a B. b C. a, b中较小的数 D. a, b中较大的数
二、填空题（每题5分，共20分）
11、设函数是定义在R上的奇函数，且的图像关于直线对称，则
12、设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示n条直线交点的个数，则f(4)= , 当n>4时，f(n)=
13、若数列{}，(n∈N)是等差数列,则有数列b=(n∈N)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{c}是等比数列,且c＞0(n∈N),则有d=____________ (n∈N)也是等比数列。
14、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫
做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列是等和数列，且，公和为5，那么值
为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________。
三、解答题
.15．设都是正数，求证。
16．（12分）已知：，求证：
（1）；
（2）中至少有一个不小于。
17（14分）如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，。求证：。
18（14分）已知：
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：
_____________________________________________________= （ * ）
并给出（ * ）式的证明。
19．（14分）已知函数，当时，值域为，当时，值域为，…，当时，值域为，…．其中a、b为常数，a1=0，b1=1．
（1）若a=1，求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
（2）若，要使数列{bn}是公比不为1的等比数列，求b的值；
20．（14分）对于函数，若存在成立，则称
不动点。如果函数 有且只有两个不动点0，2，且
（1）求函数的解析式；
（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；
（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立。
第二章 推理与证明
参 考 答 案
2．1 合情推理与演绎推理
2．1．1 合情推理
一、选择题
（1）（A） 观察各项我们可以发现：x为前一项的3倍即14×3，y为前一项减1，z为前一项的3倍，故应选42，41，123，选（A）。
（2）分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边
体 积 面 积 ； 二面角 平面角
面 积 线段长； … …
由此，可类比猜测本题的答案：
，故选（C）。
（3）由归纳猜想可得选（B）。
二、填空题
（4）由归纳猜想可得8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=
（5）猜测本题的答案为：
事实上，对等差数列，如果，则
. 所以有：
）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立
三、解答题
6．分析 根据类比猜想得出.
其中为侧面为与所成的二面角的平面角.
证明： 作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：
，
同乘以，得
即
7．解：（1）
（2）
，
当时，.
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. …… 12分
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等.
2． 1. 2 演绎推理
一、选择题
（1）由推理知识，可知应选（C）
（2）由直线和平面以及平面和平面平行和垂直的判定定理、性质定理，可知应选（B）
（3）由不等式的基本性质以及圆方程的性质，可知应选（B）
二、填空题
（4）分析 此题利用类比课本中推导等差数列前项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算： ，
，
，
发现正好是一个定值， ，.
（5）∵函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，
∴ 0＜x+2＜2即-2＜x＜0
∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数，
又∵函数y=f(x+2)是偶函数，
∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数
由图象可得
f(2.5)>f(1)>f(3.5)
故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)
三、解答题
6．直线BD和平面ABD的位置关系是平行
证明：如图，连接BD，
∵在△ABC中，
BE=CE DF=CF
∴EF∥BD
又BD平面ABD
∴BD∥平面ABD
7．解：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x= -1对称
∴ 即b=2a
由③知当x= 1时,y=0，即ab+c=0；由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1.
∴f(1)=1，即a+b+c=1，又ab+c=0
∴a= b= c= ，∴f(x)=
假设存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x
取x=1时，有f(t+1)≤1(t+1)2+(t+1)+≤1-4≤t≤0
对固定的t∈[-4,0]，取x=m，有
f(t++m)≤m(t+m)2+(t+m)+≤m+2(t-1)m+(t2+2t+1)≤0
≤m≤ ∴m≤≤=9
当t= -4时，对任意的x∈[1,9]，恒有f(x-4)≤x(-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0
∴m的最大值为9.
解法二：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x=-1对称
∴ b=2a
由③知当x=1时,y=0，即a b+c=0；由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1
∴f(1)=1，即a+b+c=1，a b+c=0
∴a= b= c=∴f(x)==(x+1)2
由f(x+t)=(x+t+1)2≤x 在x∈[1,m]上恒成立
∴4[f(x+t)-x]=x2+2(t-1)x+(t+1)2≤0当x∈[1,m]时，恒成立
令 x=1有t2+4t≤0-4≤t≤0
令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)2≤0当t∈[-4,0]时，恒有解
令t= -4得，- 10m+9≤01≤m≤9
即当t= -4时，任取x∈[1,9]恒有f(x-4)-x=(-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0
∴ mmax=9
2．2直接证明
2．2．1 综合法
一、选择题
（1）由等差数列的性质：若m+n=p+q 则可知应填（B）。
（2）由正弦定理得sinB=2sinAsinBsinA=A=故应选（D）。
（3）由不等式的性质可知应选（A）。
二、填空题
（4）由向量性质以及向量的数量积公式，故应填13 （5）AC⊥BD
三、解答题
6．证明：（用综合法） ∵，
7．解：∵ ∴ 则
即
2．2．2 分析法
一、选择题
（1）B
（2）B
（3）D
二、填空题
（4）254（5）P＜R＜Q
三、解答题
6．解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，
所以a>b. 猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.
7证明：1）
==
2)
① 又 ②
由①②知= 所以
2．2．3 反证法
一、选择题
（1）C（2）D（3）B
二、填空题
（4）假设都小于，即
（5）
三、解答题
6证明：假设、、为同一等差数列的三项，则存在整数m,n满足
① ②
①n-②m得：n-m=(n-m) 两边平方得： 3n2+5m2-2mn=2(n-m)2
左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数
所以，假设不正确。即 、、不能为同一等差数列的三项。
7证明：（反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，设A（x1，y1）、B（x2，y2）则
由 ④
由②、③有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2 ⑤
由④知x1+x2= 代入⑤整理得：ak=－3与①矛盾。
故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称。
推理与证明测试题参考答案
一、选择题
（1）B（2）C（3）C（4）A（5）C（6）A（7）B（8）D（9）C（10）D
二、填空题
11．0
12. 5 ，
13.
14. 3 , ( 当n为偶数时，；当n为奇数时， )
三、解答题
15证明：
16（1）证明：∵
∴
（2）假设都小于，则
，
即有
∴
由（1）可知，与矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立
17证明：取PB的中点，连结，∵是的中点，∴，∵平面，∴平面，∴MQ⊥AB，取的中点，连结QD，则QD∥PA，∵∴QD=QB，又，∴，∴，∴AB⊥平面QMN，∴
18 一般形式:
证明 左边 =
=
=
=
=
∴原式得证
（将一般形式写成
等均正确。）
19解：⑴∵a＝1>0，∴f(x)＝ax＋b在R上为增函数，
∴an＝a·an－1＋b＝an－1＋b，bn＝bn－1＋b(n≥2)，
∴数列{an}，{bn}都是公差为b的等差数列。
又a1=0，b1=1,∴an=(n－1)b,bn ＝1＋(n－1)b(n≥2)
⑵∵a>0，bn＝abn－1＋b，∴，
由{bn}是等比数列知为常数。又∵{bn}是公比不为1的等比数列，则bn－1不为常数，
∴必有b＝0。
20。解：依题意有,化简为 由违达定理, 得
解得 代入表达式，
由得 不止有两个不动点，
（2）由题设得 （*）
且 （**）
由（*）与（**）两式相减得：
解得（舍去）或，由，若这与矛盾，，即{是以-1为首项，-1为公差的等差数列，；
（3）采用反证法，假设则由（1）知
,有
，而当
这与假设矛盾，故假设不成立，.
关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:
由得<0或
结论成立；
若，此时从而即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.
比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进.
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