高中人教版新课标A第二章 推理与证明综合与测试课时作业

 www.ks5u.com阶段质量检测（二）

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是(　　)

①y＝cos x(x∈R)是三角函数；

②三角函数是周期函数；

③y＝cos x(x∈R)是周期函数．

A．①②③　　　　　　 B．②①③

C．②③①   D．③②①

解析：选B　按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.

2．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：

①a·b＝b·a；

②(a·b)·c＝a·(b·c)；

③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；

④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.

则正确的结论有(　　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．4个

解析：选B　平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．

3．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b 为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程 x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根

解析：选A　“至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．

4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”(　　)

A．各正三角形内一点

B．各正三角形的某高线上的点

C．各正三角形的中心

D．各正三角形外的某点

解析：选C　正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．

5．已知a∈(0，＋∞)，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为(　　)

A．2n   B．n2

C．22(n－1)   D．nn

解析：选D　将四个答案分别用n＝1,2,3检验即可，故选D.

6．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是(　　)

A．指数函数   B．对数函数

C．一次函数   D．余弦函数

解析：选A　当函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)时，对任意的x>0，y>0，有[f(x)]y＝(ax)y＝axy＝f(xy)，即指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足[f(x)]y＝f(xy)，可以检验，B、C、D选项均不满足要求．

7．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为(　　)

A.＋＝2

B.＋＝2

C.＋＝2

D.＋＝2

解析：选A　观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.

8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(　　)

A．6n－2   B．8n－2

C．6n＋2   D．8n＋2

解析：选C　归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.

9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)

A．28   B．76

C．123   D．199

解析：选C　记an＋bn＝f(n)，

则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；

f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；

f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.

通过观察不难发现

f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，

则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；

f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；

f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；

f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；

f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.

所以a10＋b10＝123.

10．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 015等于(　　)

A.   B.－1

C．2   D．3

解析：选B　∵a1＝，an＋1＝1－，

∴a2＝1－＝－1，

a3＝1－＝2，

a4＝1－＝，

a5＝1－＝－1，

a6＝1－＝2，

∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)，

∴a2 015＝a2＋3×671＝a2＝－1.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．已知 ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ，…，若 ＝6 (a，b均为实数)，则a＝________，b＝________.

解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.

答案：6　35

12．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．

解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.

答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1

13．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数．现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．

解析：因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数(小前提)，

所以(sin A＋sin B＋sin C)≤sin(结论)，

即sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝.

因此，sin A＋sin B＋sin C的最大值是.

答案：

14．观察下图：

 1

 2　3　4

   3  4  5　6　7

   4  5  6　7　8　9　10

 ……

则第________行的各数之和等于2 0152.

解析：观察知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n－1项的等差数列，其各项和为

Sn＝(2n－1)n＋

＝(2n－1)n＋(2n－1)(n－1)＝(2n－1)2，

令(2n－1)2＝2 0152，得2n－1＝2 015，解得n＝1 008.

答案：1 008

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，{an}有如下性质：(m，n，p，q∈N*)

①通项an＝am＋(n－m)d；

②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；

③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；

④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．

类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．

解：在等比数列{bn}中，公比为λ(λ≠0)，前n项和为Sn′，{bn}有如下性质：(m，n，p，q∈N*)

①通项bn＝bm·λn－m；

②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq；

③若m＋n＝2p，则bm·bn＝b；

④Sn′，S2n′－Sn′，S3n′－S2n′(Sn′≠0)构成等比数列．

16．(本小题满分12分)观察：

①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝；

②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝.

由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．

解：猜想：

sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝.

证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)

＝＋＋[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]

＝1＋＋sin(2α＋30°)－

＝＋[cos 60°cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋sin(2α＋30°)

＝－＋sin(2α＋30°)

＝－sin(2α＋30°)＋sin(2α＋30°)＝，

即sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝.

17．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．

(1)比较 与 的大小，并证明你的结论；

(2)求证：角B不可能是钝角．

解：(1) ＜ .证明如下：

要证 ＜ ，只需证＜.

∵a，b，c＞0，∴只需证b2＜ac.

∵，，成等差数列，

∴＝＋≥2 ，

∴b2≤ac.

又∵a，b，c均不相等，

∴b2＜ac.

故所得大小关系正确．

(2)证明：法一：假设角B是钝角，则cos B＜0.

由余弦定理得，

cos B＝≥＞＞0，

这与cos B＜0矛盾，故假设不成立．

所以角B不可能是钝角．

法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即b＞a，b＞c，所以＞＞0，＞＞0，则＋＞＋＝，这与＋＝矛盾，故假设不成立．

所以角B不可能是钝角．

18．(本小题满分14分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？

(1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．

(2)若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式．

解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．

(2)由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{an}的通项公式为

an＝

其前n项和公式

Sn＝

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)

A．使用了归纳推理

B．使用了类比推理

C．使用了三段论，但大前提使用错误

D．使用了三段论，但小前提使用错误

解析：选D　应用了三段论推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．

2．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的小前提是(　　)

A．增函数的定义

B．函数y＝x3满足增函数的定义

C．若x1<x2，则f(x1)<f(x2)

D．若x1>x2，则f(x1)>f(x2)

解析：选B　三段论中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y＝x3满足增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.

3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　)

A．由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：数列{an}的前n项和Sn＝n2

B．由f(x)＝xcos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcos x为奇函数

C．由半径为r的圆的面积S＝πr2，推断单位圆的面积S＝π

D．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n

解析：选A　选项A：为归纳推理，且∵an＝2n－1，∴{an}是等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，则Sn＝n＋×2＝n2，故A正确；选项B：为演绎推理；选项C：为类比推理；选项D：为归纳推理，当n＝7时，(n＋1)2＝82＝64<2n＝27＝128，故结论错误．故选A.

4．命题“关于x的方程f(x)＝0有唯一解”的结论的否定是(　　)

A．无解　　　　 　　　 B．两解

C．至少有两解   D．无解或至少有两解

答案：D

5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为(　　)

A．9(n＋1)＋n＝10n＋9 

B．9(n－1)＋n＝10n－9

C．9n＋(n－1)＝10n－1 

D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10

解析：选B　先观察已知等式的左边，可得第n(n∈N*)个等式的左边应为9(n－1)＋n；再观察已知等式的右边结果1,11,21,31，…，知它们构成以1为首项，10为公差的等差数列，所以第n(n∈N*)个等式的右边应为1＋10(n－1)＝10n－9，故选B.

6．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆＋＝1(a>b>0)的面积最有可能是(　　)

A．πa2   B．πb2

C．πab   D．π(ab)2

解析：选C　圆的方程可以看作是椭圆的极端情况，即a＝b时的情形，因为S圆＝πr2，可以类比出椭圆的面积最有可能是S＝πab.

7．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)

A．P>Q   B．P＝Q

C．P<Q   D．由a的取值确定

解析：选C　P2＝(＋)2＝2a＋7＋2，

Q2＝(＋)2＝2a＋7＋2，

∴P2<Q2.又∵P>0，Q>0，∴P<Q.

8．已知a，b∈R，若a≠b，且a＋b＝2，则(　　)

A．1<ab<   B．ab<1<

C．ab<<1   D.<ab<1

解析：选B　∵b＝2－a，

∴ab＝a(2－a)＝－(a2－2a)＝－(a－1)2＋1<1，

＝＝＝a2－2a＋2

＝(a－1)2＋1>1，故选B.

9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，可归纳猜想出Sn的表达式为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，

∴a2＝，S2＝；

又1＋＋a3＝32a3，

∴a3＝，S3＝＝；

又1＋＋＋a4＝16a4，

得a4＝，S4＝.

由S1＝，S2＝，S3＝，S4＝可以猜想Sn＝.

10．记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观察下列等式：

S1＝n2＋n，S2＝n3＋n2＋n，S3＝n4＋n3＋n2，S4＝n5＋n4＋n3－n，

S5＝n6＋n5＋n4＋An2，…

由此可以推测A＝(　　)

A．－  B.

C．－  D.

解析：选A　根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以＋＋＋A＝1，解得A＝－.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________________________________________________________________________．

解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．

答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)

12．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．

解析：因为函数y＝a1－x的图象所过的定点为A(1，1)，

且点A在直线mx＋ny－1＝0上，所以m＋n＝1.

又因为mn>0，所以必有m>0，n>0，

于是＋＝(m＋n)·

＝2＋＋≥2＋2 ＝4.

答案：4

13．给出以下数对序列：

(1,1)

(1,2)(2,1)

(1,3)(2,2)(3,1)

(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)

……

记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则

(1)a54＝________；(2)anm＝________.

解析：由前4行的特点，归纳可得：

若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，

∴a54＝(4,5－4＋1)＝(4,2)，

anm＝(m，n－m＋1)．

答案：(1)(4,2)　(2)(m，n－m＋1)

14．请阅读下面材料：

若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，求证：a1＋a2≤.

证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.

根据上述证明方法，若n个正实数满足a＋a＋…＋a＝1时，你能得到的结论是________．

解析：类比给出的材料，构造函数

f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2

＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，

由对一切实数x，恒有f(x)≥0，

所以Δ≤0，即可得到结论．

故答案为a1＋a2＋…＋an≤.

答案：a1＋a2＋…＋an≤

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)若x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)·(x2＋y2－1)－18≤0.

(1)求x2＋y2的取值范围；

(2)求证：xy≤2.

解：(1)由(x2＋y2)2＋(x2＋y2)－20≤0得

(x2＋y2＋5)(x2＋y2－4)≤0.

因为x2＋y2＋5>0，所以有0≤x2＋y2≤4，

即x2＋y2的取值范围为[0,4]．

(2)证明：由(1)知x2＋y2≤4，

由基本不等式得xy≤≤＝2，

所以xy≤2.

16．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立．

(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；

(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．

解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．

结论是正确的．证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，

则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β.

又∵α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.

(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．结论是错误的，这两个平面也可能相交．

17．(本小题满分12分)已知：sin2 30°＋sin2 90°＋sin2 150°＝，sin2 5°＋sin2 65°＋sin2 125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．

解：一般形式为：

sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.

证明：左边＝＋＋

＝－[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]

＝－(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°)

＝－cos 2α－cos 2α－sin 2α－cos 2α＋sin 2α＝＝右边．

将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝也正确

18．(本小题满分14分)如右图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．

求证：直线AC经过原点O.

证明：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋，

代入抛物线方程，可得y2－2pmy－p2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，

所以y1y2＝－p2.

因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，

所以点C的坐标是，

故直线CO的斜率为k＝＝＝，

即k也是直线OA的斜率，

所以直线AC经过原点O.