人教版新课标A选修1-2第二章 推理与证明综合与测试练习

高中新课标选修（1-2）推理与证明测试题

一、选择题

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（　　）

Ａ．充分条件  Ｂ．必要条件  Ｃ．充要条件  Ｄ．等价条件

答案：Ａ

2．结论为：能被整除，令验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（　　）

Ａ．  Ｂ．且  Ｃ．为正奇数  Ｄ．为正偶数

答案：Ｃ

3．已知数列，则是这个数列的第（　　）

Ａ．23项  Ｂ．24项  Ｃ．25项  Ｄ．26项

答案：Ｃ

4．在等差数列中，若，公差，则有，类经上述性质，在等比数列中，若，则的一个不等关系是（　　）

Ａ．    Ｂ．

Ｃ．    Ｄ．

答案：Ｂ

5．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，

（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（　　）

Ａ．与的假设都错误

Ｂ．与的假设都正确

Ｃ．的假设正确；的假设错误

Ｄ．的假设错误；的假设正确

答案：Ｄ

6．观察式子：，，，，则可归纳出式子为（　　）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

答案：Ｃ

7．如图，在梯形中，．若，到与的距离之比为，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形中，延长梯形两腰相交于点，设，的面积分别为，且到与的距离之比为，则的面积与的关系是（　　）

Ａ．   Ｂ．

Ｃ．  Ｄ．

答案：Ｃ

8．已知，且，则（　　）

Ａ．   Ｂ．

Ｃ．   Ｄ．

答案：Ｂ

9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（　　）

Ａ．假设都是偶数

Ｂ．假设都不是偶数

Ｃ．假设至多有一个是偶数

Ｄ．假设至多有两个是偶数

答案：Ｂ

10．设是以三个数组成的数列，若，且，则中有0的个数为（　　）

Ａ．10  Ｂ．11  Ｃ．12  Ｄ．13

答案：Ｂ

11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，，，其中，且，下面正确的运算公式是（　　）

①；

②；

③；

④；

Ａ．①③  Ｂ．②④  Ｃ．①④  Ｄ．①②③④

答案：Ｄ

12．正整数按下表的规律排列

则上起第2005行，左起第2006列的数应为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

答案：Ｄ

二、填空题

13．写出用三段论证明为奇函数的步骤是　　　　．

答案：满足的函数是奇函数，　　　　　　　　大前提

，　　小前提

所以是奇函数．　　　　　　　　　　　　　结论

14．要证明，在合情推理法、演绎推理法、分析法和综合法中，选用的最适合的证法是　　　　．

答案：分析法

15．已知等差数列有一性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等差数列．类比上述命题，相应的等比数列有性质：是等比数列，则通项为　　　　的数列为等比数列．

答案：

16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第个图有个树枝，则与之间的关系是　　　　．

答案：

三、解答题

17．已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列也是等差数列．

证明如下：设等差数列的公差为，

则，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

18．如图，设在四面体中，是的中点．

求证：垂直于所在的平面．

证明：（综合法）连结，因为是斜边上的中线，所以．

又，而是的公共边，

．

于是，而，

因此，．

．

由此可知垂直于所在平面．

19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．

证明：（分析法）设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，

正方形的面积为．

因此本题只需证明．

要证明上式，只需证明，

两边同乘以正数，得．

因此，只需证明．

上式是成立的，所以．

这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．

20．（1）求证：；

（2）设，为非零常数，且，试问：是周期函数吗？证明你的结论．

证明：（1），

从而得证；

（2）不是周其函数．

用反证法证明：假设是周期函数，且周期为，

则，．

，有．

而，由此得出矛盾，故假设不成立．

所以不是周期函数．

21．圆的垂径定理有一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦．这一性质能推广到椭圆吗？设是椭圆的任一条弦（不经过原点），是的中点，设与的斜率都存在，并设为，则与之间有何关系？并证明你的结论．

解：．

证明：设，

则相减，得．

又，，

则有，即．

22．自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用表示某鱼群在第年年初的总量，，且．不考虑其他因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数．

（1）求与的关系式；

（2）猜想：当且仅当满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

解：（1）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为，因此，　　　①

即；

（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于．

，即．

，．

猜想：当且仅当，且时，每年年初鱼群的总量保持不变．