初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试学案设计

第1讲   圆的性质及判定定理（培优）

第一部分  知识梳理

知识点一：点与圆的位置关系

1、点在圆内 点在圆内； 2、点在圆上 点在圆上；

3、点在圆外     点在圆外；

知识点二：直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 无交点；

2、直线与圆相切 有一个交点；

3、直线与圆相交 有两个交点；      

知识点三：切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

作辅助线：（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径。

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。    推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

定理及推论也称二推一定理：  即：①过圆心； ②过切点； ③垂直切线，

三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

知识点四：

切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵、是的两条切线  ∴   平分

知识点五：三角形的外接圆与内切圆

1、三角形的外接圆与外心  2、三角形的内切圆与内心

第二部分  重点应用

重点一：垂径定理及其应用

【例 1】 如图，已知在同心圆中，大圆的弦 A B 交小圆于 C，D 两点．

（1）求证：∠AOC＝∠BOD．

（2）试确定 AC 与 BD 两线段之间的大小关系，并证明你的结论．

〖练习1〗如图，为了测量圆形工件的直径，在工作台上用边长都为 5cm 的两个立方体小木块顶在圆形工件 的两侧，测得两木块间的距离 AB＝40cm，求圆形工件的直径．若此题把两个小木块换成小圆柱，其直径 为 5cm，你还会做吗？

〖练习2〗如图，⊙O 的半径为 5，点 M 在弦 AB 上，连接 OM，若 OM＝3，则 AM·BM＝       .

〖练习3〗如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝900，AC＝，BC＝1，若以 C 为圆心，CB 的长为半径的圆交 AB 于 P， 则 AP＝                 .

〖练习4〗如图，P 为直径 AB 上的一点，点 M 和 N 在⊙O 上，且∠APM＝∠NPB＝30°．若OP＝2cm，AB＝16cm，则 PN＋PM＝                              cm．

重点二：切线的性质与判定

【例 2     】 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的圆M与x轴相切，若点B的坐标为（-2，3），则圆心M的坐标为（     ）
  A．（-1，）        B．         C．         D．

【例 3     】 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，求点A到CD所在直线的距离．

〖练习1〗如图，一直角尺ABC与⊙O相切于点D，AB与⊙O接触于点A，测得AB=a，BD=b，则⊙0的半径为         ． 

〖练习2〗如图，设半圆的圆心O在直角△ABC的斜边AB上，且与两直角边相切于D、E，若△ABC的面积为S，斜边长为c，则圆的半径为             ．                                             

〖练习3〗已知如图⊙O的半径为3，过⊙O外的一点B作⊙O的切线BM，M为切点，BO交⊙O于A，过A点作BO的垂线，交BM于P点，BO=5，MP＝                ．

〖练习4〗如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根，求BD的长．

重点三：切线长定理

【例 4   】 如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD=20，则△ABC的周长为（    ）
A．20         B．30         C．40          D．50

【例 5   】 如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．
（1）求证：AB+CD=AD+BC；（2）求∠AOD的度数．

〖练习1〗如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（    ）
A．40°           B．140°            C．70°              D．80°
 

〖练习2〗如图，从点P引⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B，DE切⊙O于C，交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为20cm，则PA=       cm．

〖练习3〗如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA=6，⊙O的半径为2，则∠CPD=        ．      

〖练习4〗如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．（1）若PA=4，求△PED的周长；（2）若∠P=40°，求∠DOE的度数．

第三部分  难点突破（1）

【例 6    】 如图1，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A.B．

（1）若∠A=30°，求证：PA=3PB；

（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP=（90°﹣∠P）成立．请你写出推理过程．

模型1：如图2，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A.B．

当0∠A，（1）始终有∠BCP=（90°﹣∠P）成立；

（2）始终有∠A=（90°﹣∠P）成立.

模型:2：如图3，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A.B．

当∠A，（1）始终有∠ACP=（90°﹣∠P）成立；

（2）始终有∠B=（90°﹣∠P）成立.

〖练习1〗如图4，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为   （　　）

A．20° B．25° C．40° D．50°

〖练习2〗如图5，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F=30°，∠BAC=120°，BC=8．（1）求∠ADB的度数；（2）求AC的长度．

〖练习3〗在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）如图6，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F．求证：∠1=∠2；

（2）在图7中作⊙M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切.（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

〖练习4〗如图8，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB=BF，EF=4，求AD的长．

课后练习

1有关角度的计算

1.在☉O中,圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半,则弦AB所对圆心角的大小为(  )

A.30° B.45° C.60° D.90°

2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D.E是☉O上一点,且,连接OE.过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为(  )

A.92° B.108° C.112° D.124°

2题           4题           

3.直线AB与☉O相切于B点,C是☉O与OA的交点,点D是☉O上的动点(D不与B,C重合),若∠A=40°,则∠BDC的度数是(  )

A.25°或155° B.50°或155°    C.25°或130° D.50°或130°

4.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为(   )

A.50° B.60° C.80° D.90°

2半径、弦长、弧长的计算

5.如图,圆弧形拱桥的跨度AB=16 m,拱高CD=4 m,则圆弧形拱桥所在圆的半径为(    )

A.6 m B.8 m      C.10 m D.12 m

5题      6题       7题

6.一个钢管放在V形架内,如图是其截面图,测得P点与钢管的最短距离PB=25 cm,最长距离PA=75 cm.若钢管的厚度忽略不计,则的长为 (   )

A.π cm B.50π cm      C.π cm D.50π cm

7.如图,已知在☉O中,直径MN=10,四边形ABCD是正方形,并且∠POM=45°,则AB的长为   　. 

8.如图,AB=BC,以AB为直径的☉O交AC于点D,过点D作DE⊥BC,垂足为E.

(1)求证:DE是☉O的切线;  (2)作DG⊥AB交☉O于点G,垂足为F,若∠A=30°,AB=8,求弦DG的长.

3正多边形和圆的有关计算

9.如图,在正六边形ABCDEF中,四边形BCEF的面积为30,则正六边形ABCDEF的面积(   )

A.20 B.40 C.20 D.45

9题     10题          11题    

10.如图,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,交☉O于点C,那么下列结论错误的是(   )

A.∠BAC=30°   B.

C.线段OB的长等于圆内接正六边形的半径    D.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长

11.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,则该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积为　　. 

4阴影部分面积的计算

12.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,以点C为中心,把△ABC逆时针旋转45°,得到△A'B'C,则图中阴影部分的面积为(  )    A.2              B.2π              C.4              D.4π

13.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是的中点,点D在OB上,点E在OB的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时,则阴影部分的面积为(   )

A.2π-4 B.4π-8        C.2π-8 D.4π-4

14.如图,AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器,如果AO=45 cm,CO=5 cm,当AC绕点O顺时针旋转90°时,则雨刷器AC扫过的面积为　  　cm2.(结果保留π) 

5与圆锥有关的计算

15.如图,小兰用彩纸制作了一个圆锥形的生日帽.若底面半径为5 cm,母线长为10 cm,不考虑接缝的情况,则这个圆锥的侧面积是(    )A.250πcm2              B.125π cm2      C.100π cm2              D.50π cm2

16.如图,如果从半径为9 cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为(   )    A.6 cm              B.8 cm             C.3 cm                   D.5 cm

17.若一个圆锥的底面积为4π cm2,圆锥的高为4 cm,则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为　°　. 

6圆中分类讨论问题

18.在半径为5 cm的☉O中,如果弦CD=8 cm,直径AB⊥CD,垂足为E,那么AE的长为　     　. 

19.☉O为△ABC的外接圆,∠BOC=100°,则∠A=　      　. 

20.如图,P为正比例函数y=x图象上的一个动点,☉P的半径为3,设点P的坐标为(x,y).求☉P与直线x=2相切时点P的坐标.