人教版新课标A选修2-32.3离散型随机变量的均值与方差综合训练题

这是一份人教版新课标A选修2-32.3离散型随机变量的均值与方差综合训练题，共28页。试卷主要包含了独立重复试验应满足的条件等内容，欢迎下载使用。

2.2.3　独立重复试验与二项分布
基础过关练
题组一　独立重复试验及其概率计算
1.独立重复试验应满足的条件:
①每次试验之间是相互独立的;
②每次试验只有发生与不发生两种结果之一;
③每次试验发生的机会是均等的;
④各次试验发生的事件是互斥的.
其中正确的是(　　)
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④
2.(2019福建厦门高二期末)某电子管的正品率为34,次品率为14,现对该批电子管进行测试,那么在五次测试中恰有三次测到正品的概率是(　　)
A.C53343 B.C52142
C.C52342143 D.C53343142
3.某学生通过英语听力测试的概率为13,如果他连续测试3次,那么其中恰有1次通过的概率是(　　)
A.29 B.49 C.427 D.227
4.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12,则质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(　　)
A.125　 B.C52125　 C.C53123　 D.C52C53125
5.(2019天津一中高二期中)某校为了增强学生的记忆力和辨识力,组织了一场类似《最强大脑》的PK赛,A,B两队各由4名选手组成,每局两队各派一名选手进行PK,比赛共进行四局.除第三局胜者得2分外,其余各局胜者均得1分,负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为23,且各局比赛结果相互独立,则比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为(　　)
A.1627 B.23 C.2027 D.79
6.某射击手射击1次,击中目标的概率是0.9,该射击手连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①该射击手第3次击中目标的概率是0.9;②该射击手恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;③该射击手至少击中目标1次的概率是1-0.14;④该射击手恰好连续2次击中目标的概率为3×0.93×0.1.其中正确结论的序号是　　　　. 
7.(2019黑龙江大庆铁人中学高二期末)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:
(1)两种大树各成活1株的概率;
(2)成活的株数ξ的分布列.




8.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率;
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分,对方得1分.求乙队得分X的分布列.












题组二　二项分布
9.已知随机变量X~B6,13,则P(X=2)=(　　)
A.80243　　 B.13243　　
C.4243　　 D.316
10.(2019广东潮州高二下学期期末)小明同学喜欢篮球,假设他每一次投篮投中的概率都为23,且各次之间是否投中互不影响,则小明连续投篮四次,恰有两次投中的概率是(　　)
A.481　　 B.881　　 C.427　　 D.827
11.若随机变量X~B4,23,则(　　)
A.P(X=1)=P(X=3)　　 B.P(X=2)=2P(X=1)
C.P(X=2)=P(X=3)　　 D.P(X=3)=4P(X=1)
12.(2019陕西西安中学高二期末)一只蚂蚁位于数轴上x=0处,若这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位,且它向右移动的概率为23,向左移动的概率为13,则3秒后,这只蚂蚁在x=1处的概率为　　　　. 
13.(2019山东淄川中学高二期中)实力相同的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,采取5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛).
(1)试求甲队打完5局才能获胜的概率;
(2)求甲队获胜的概率.






14.网上购物逐渐走进大学生活,某大学生宿舍4人积极参加网购,大家约定:每人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去淘宝网购物,掷出点数小于5的人去京东商城购物,且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物.
(1)求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率;
(2)用ξ,η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数,令X=,求随机变量X的分布列.














15.某学校举行联欢会,所有参演的节目是否获奖都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张,每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须投票,并且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为13,且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票,则该节目最终获一等奖,否则,该节目不能获一等奖.
(1)求某节目最终获一等奖的概率;
(2)求某节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票的票数之和X的分布列.













能力提升练
一、选择题
1.(2019山东济南外国语学校高二月考,★★☆)“石头、剪刀、布”,又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则:出拳之前双方齐喊口令,然后在口令喊完的同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”,其中“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜“石头”,若所出的拳相同,则为和局.若小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是(　　)
A.127 B.227 C.281 D.881
2.(★★☆)在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率P(0 A.(0,0.6]　　 B.[0.6,1)　　
C.[0.4,1)　　 D.(0,0.4]
3.(2019黑龙江大庆实验中学高二上学期期中,★★☆)抛掷一枚质地均匀的硬币4次,出现正面的次数多于反面的次数的概率是(　　)
A.38　　 B.12　　 C.516　　 D.716
4.(2019江西高二期末,★★☆)设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=59,则P(η≥2)=(　　)
A.1127 B.3281 C.6581 D.1681
5.(★★☆)若随机变量X~B5,12,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是(　　)
A.56　　 B.45　　 C.3132　　 D.12
6.(2019湖北荆州高二期末,★★☆)“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,是说集体智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率为P1=0.3.与此同时,有n个智商水平相同的人也在研究项目M,他们各自独立地解决项目M的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M,且这n个人组成的团队也同时研究项目M,设这n个人的团队解决项目M的概率为P2,若P2≥P1,则n的最小值是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
7.(2019河南商丘九校高二下学期期末联考,★★☆)口袋中放有形状、大小均相同的2个红球和1个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{an}:an=-1,第n次摸到红球,1,第n次摸到白球.如果Sn为数列{an}的前n项和,则S7=3的概率等于(　　)
A.C75132235　　 B.C72232135
C.C73232135　　 D.C73133234
二、填空题
8.(2019吉林长春实验中学高二期末,★★☆)某个游戏中,一颗珠子按如图所示的通道由上向下滑落,从最下面的六个出口之一滑出,规定猜中其出口的人取胜,如果小明在该游戏中,猜得珠子从出口3滑出,那么小明取胜的概率为　　　　. 

9.(2019山东栖霞二中高二下学期期末,★★☆)NBA总决赛采用7场4胜制,2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士,假设每场比赛勇士获胜的概率为710,骑士获胜的概率为310,且每场比赛的结果相互独立,则恰好5场比赛决出总冠军的概率为　　　　. 
三、解答题
10.(★★☆)甲、乙两队参加世博会知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错者得零分.假设甲队中每人答对的概率均为23,乙队中3人答对的概率分别为23,23,12,且每人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.
(1)求随机变量ξ的分布列;
(2)记“甲、乙两队总得分之和等于3”为事件A,“甲队总得分大于乙队总得分”为事件B,求P(AB).








11.(2019安徽宿州泗县第一中学高二月考,★★☆)有甲、乙两队学生参加“知识联想”抢答赛,比赛规则:①每局比赛分两轮,主持人依次给出两次提示,第一次提示后答对得2分,第二次提示后答对得1分,没抢到或答错者不得分;②主持人给出第一个提示后开始抢答,第一轮抢答错误则失去第二轮答题资格;③若第一轮抢答者答对,则此局比赛结束,若第一轮抢答者答错,主持人给出第二个提示后另一队直接答题.如果甲、乙两队抢到答题权的机会均等,并且第一个提示后答对的概率均为23,第二个提示后答对的概率均为34,记X为甲队在一局比赛中的得分.
(1)求X的分布列;
(2)若比赛共进行4局,求甲队4局比赛中至少得6分的概率.











12.(★★☆)一座十层的大楼内部有一部电梯,从底层到顶层在每一层停靠与否是等可能的,问从底层到顶层停不少于3次的概率是多少?停几次的概率最大?











13.(★★☆)经调查发现,人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒,其中罗非鱼体内汞含量比其他鱼高.现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作为样本,经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图(以小数点前的数字为茎,小数点后的数字为叶)如图:
罗非鱼的汞含量(PPM)
0
1　2　3　5　5　6　7　8　8　9
1
3　5　5　6　7
《中华人民共和国环境保护法》规定食品中的汞含量不得超过1.0 PPM.
(1)检查人员从这15条鱼中随机抽出3条,求这3条鱼中恰有1条鱼汞含量超标的概率;
(2)若从这批数量很大的鱼中随机抽出3条鱼,记ξ为抽到的汞含量超标的鱼的条数.以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据,求ξ的分布列.







14.(2019安徽合肥六中高二期中,★★☆)我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注,受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为23,女性观众认为《流浪地球》好看的概率为12.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众(其中2男2女).
(1)求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率;
(2)设ξ表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数,求ξ的分布列.









答案全解全析
基础过关练
1.C　由独立重复试验的概念知①②③正确,④错误.
2.D　由题意可知,五次测试中恰有三次测到正品,则有两次测到次品,由独立重复试验的概率公式可知,所求事件的概率为C53·343·142,故选D.
3.B　记“恰有1次通过”为事件A,则P(A)=C3113·1-132=49,故选B.
4.B　质点P移动五次后位于点(2,3),则五次移动中两次向右,三次向上,因此所求概率为C52125,故选B.
5.C　比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种:A全胜,A三胜一负,A第三局胜,另外三局两负一胜,∴比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为
P=234+C4323313+23×C31×23132=2027.
故选C.
6.答案　①③
解析　∵射击1次击中目标的概率是0.9,∴第3次击中目标的概率是0.9,∴①正确;
∵连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,∴本题是一个独立重复试验,由独立重复试验的概率公式得,恰好击中目标3次的概率是C43×0.93×0.1,∴②不正确;易知其未击中目标的概率为0.1,
∴至少击中目标1次的概率是1-0.14,∴③正确;
∵恰好连续2次击中目标的概率为3×0.92×0.12,∴④不正确.故答案为①③.
7.解析　设事件Ak表示甲种大树成活k株,k=0,1,2,事件表示乙种大树成活l株,l=0,1,2.
易知Ak,相互独立.由独立重复试验的概率公式,得
P(Ak)=C2k23k132-k,P()=C2l·12l122-l,
∴P(A0)=19,P(A1)=49,P(A2)=49,
P(B0)=14,P(B1)=12,P(B2)=14.
(1)所求概率为P(A1∩B1)=P(A1)·P(B1)=29.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,且P(ξ=0)=P(A0∩B0)=P(A0)×P(B0)=136,
P(ξ=1)=P(A0∩B1)+P(A1∩B0)=16,
P(ξ=2)=P(A0∩B2)+P(A1∩B1)+P(A2∩B0)=1336,
P(ξ=3)=P(A1∩B2)+P(A2∩B1)=13,
P(ξ=4)=P(A2∩B2)=19,
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
136
16
1336
13
19
8.解析　(1)设“甲队以3∶0获胜”为事件A,“甲队以3∶1获胜”为事件B,“甲队以3∶2获胜”为事件C,则P(A)=23×23×23=827,P(B)=C32232×1-23×23=827,P(C)=C42232×1-232×12=427.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=P(A)+P(B)=1627,
P(X=1)=P(C)=427,
P(X=2)=C42×1-232×232×1-12=427,
P(X=3)=133+C32132×23×13=19.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
1627
427
427
19
9.A　由二项分布公式知,P(X=2)=C62·132·234=80243.故选A.
10.D　∵每次投篮投中的概率都是23,且各次之间是否投中互不影响,∴小明连续投篮四次,恰有两次投中的概率P=C42×232×1-232=827,故选D.
11.D　∵随机变量X~B4,23,∴P(X=1)=C41231133=881,P(X=2)=C42·232132=2481,P(X=3)=C43233·131=3281,∴P(X=3)=4P(X=1).
故选D.
12.答案　49
解析　求3秒后,这只蚂蚁在x=1处的概率即求蚂蚁三次移动中,向右移动两次,向左移动一次的概率,所以P=C32×13×232=49.
13.解析　因为甲、乙两队实力相同,所以每局比赛中甲队获胜的概率为12,乙队获胜的概率为12.
(1)甲队打完5局才能获胜,相当于进行了5次独立重复试验,且甲队第5局比赛取胜,前4局恰好2胜2负,所以甲队打完5局才能获胜的概率P1=C42×122×122×12=316.
(2)记事件A为“甲队打完3局才能获胜”,则P(A)=C33123=18,
记事件B为“甲队打完4局才能获胜”,则P(B)=C32122×12×12=316,
记事件C为“甲队打完5局才能获胜”,由(1)知P(C)=316.
记事件D为“甲队获胜”,则D=A+B+C,
又因为事件A、B、C彼此互斥,
所以P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=18+316+316=12,即甲队获胜的概率为12.
14.解析　由题意得,这4人中,每人去淘宝网购物的概率都为13,去京东商城购物的概率都为23.设“这4人中恰有i人去淘宝网购物”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),则P(Ai)=C4i13i234-i(i=0,1,2,3,4).
(1)这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率P(A1)=C41131233=3281.
(2)易知X的所有可能取值为0,3,4.
P(X=0)=P(A0)+P(A4)=C40130×234+C44134×230=1681+181=1781,
P(X=3)=P(A1)+P(A3)=C41131×233+C43133×231=3281+881=4081,
P(X=4)=P(A2)=C42132232=827.
所以随机变量X的分布列为
X
0
3
4
P
1781
4081
827
15.解析　(1)设“某节目最终获一等奖”为事件A,则事件A包括该节目获两张“获奖”票和获三张“获奖”票两种情况.
∴P(A)=C32132231+C33133=727.
(2)所含“获奖”票和“待定”票的票数之和X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=133=127,
P(X=1)=C31231132=29,
P(X=2)=C32232131=49,
P(X=3)=233=827.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
P
127
29
49
827

能力提升练
一、选择题
1.B　根据“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”,可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为13.由题意可知,小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛中,小军和大明比赛至第四局小军胜出,是指前三局中小军胜两局,有一局不胜,第四局小军胜,∴小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是
P=C32132231×13=227.故选B.
2.D　因为随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,所以C41P(1-P)3≥C42P2(1-P)2,解得P≤0.4,即P的范围是(0,0.4],故选D.
3.C　抛掷一枚质地均匀的硬币4次,出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面1次反面两种情况,所以出现正面的次数多于反面的次数的概率P=C44124+C43·123·12=516.
4.A　∵ξ~B(2,p),∴P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)2=59,∴p=13 或p=53(舍去),
∴η~B4,13,∴P(η≥2)=1-P(η=0)-P(η=1)=1-234-C41×13×233=1127,故选A.
5.C　∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点,
∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4,
∵随机变量X~B5,12,
∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-125=3132.
故选C.
6.B　由题意知P2=1-Cn0×(0.9)n=1-0.9n,
∵P2≥P1,∴1-0.9n≥0.3,又n∈N*,解得n≥4,∴n的最小值是4.故选B.
7.B　由题意知S7=3说明摸球七次,只有两次摸到红球,
因为每次摸球的结果之间没有影响,摸到红球的概率是23,摸到白球的概率是13,
所以只有两次摸到红球的概率是C72232×135,故选B.
二、填空题
8.答案　516
解析　易知从顶点滑落至出口处共需滑5次,从出口3滑出需向右滑2次,向左滑3次,所以从顶点到出口3总共有C52=10种滑法,其中每一岔口处向左或向右的概率都是12,所以珠子从出口3滑出的概率为P=C52·125=516.
9.答案　0.310 8
解析　设“勇士队以比分4∶1获胜”为事件A,则勇士队前4场比赛胜3场负1场,第5场勇士队胜,P(A)=C41×310×7103×710;
设“骑士队以比分4∶1获胜”为事件B,则骑士队前4场比赛胜3场负1场,第5场骑士队胜,P(B)=C41×710×3103×310.
则恰好5场比赛决出总冠军的概率P=P(A)+P(B)=C41×310×7103×710+C41×710×3103×310=0.310 8.
三、解答题
10.解析　(1)甲队中3人回答问题相当于进行了3次独立重复试验,所以ξ~B3,23,易知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=C30×1-233=127,P(ξ=1)=C31×23×1-232=29,P(ξ=2)=C32×232×1-23=49,P(ξ=3)=C33×233=827.所以随机变量ξ的分布列为

ξ
0
1
2
3
P
127
29
49
827

(2)记“甲队得2分,乙队得1分”为事件C,“甲队得3分,乙队得0分”为事件D,则AB=C+D,且事件C与D互斥.
又P(C)=49×23×13×12+13×23×12+13×13×12=1081,
P(D)=827×1-23×1-23×1-12=4243,
所以P(AB)=P(C)+P(D)=1081+4243=34243.
11.解析　(1)由题意得,随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=12×23+12×1-23×1-34+12×1-23=1324,
P(X=1)=12×1-23×34=18,
P(X=2)=12×23=13.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
1324
18
13
(2)由(1)可得甲队在每局中得0分、1分、2分的概率分别为1324、18、13.
甲队4局比赛中至少得6分可分为以下情况:①四个2分;②三个2分和一个1分;③三个2分和一个0分;④两个2分和两个1分.故甲在4局比赛中至少得6分的概率为
P=134+C43133×18+C43133×1324+C42132×182=35288.
12.解析　依题意,从底层到顶层停不少于3次,应包括停3次,停4次,停5次,……,停9次,
∴从底层到顶层停不少于3次的概率P=C93×123×126+C94×124×125+C95×125×124+…+C99×129=(C93+C94+C95+…+C99)×129=233256.
设从底层到顶层停k(k∈N*,0≤k≤9)次的概率最大,其概率为
C9k12k129-k=C9k129,∴当k=4或k=5时,C9k最大,即C9k129最大.
因此,从底层到顶层停不少于3次的概率为233256,停4次或5次的概率最大.
13.解析　(1)记“15条鱼中随机抽出3条恰有1条鱼汞含量超标”为事件A,
则P(A)=C51C102C153=4591,∴从这15条鱼中随机抽出3条,其中恰有1条鱼汞含量超标的概率为4591.
(2)依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P=515=13,
ξ的所有可能取值为0,1,2,3,则P(ξ=0)=C301-133=827,P(ξ=1)=C31×13×1-132=49,P(ξ=2)=C32×132×1-13=29,P(ξ=3)=C33133=127.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
827
49
29
127
14.解析　(1)设事件A表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”,
则P(A)=C22122·C21231131+C22·122·C20132+C21121·121·C20·132=736.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.
设X,Y分别表示女性和男性认为好看的人数,
则P(ξ=0)=P(X=0,Y=0)=C20122·C20132=136,
P()=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=C21121121·C20132+C20·122·C21·231131=16,
P()=P(X=2,Y=0)+P(X=1,Y=1)+P(X=0,Y=2)=C22122·C20132+C21·121121·C21231131+C20·122·C22232=1336,
P()=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=C21·121121·C22232+C22·122·C21231131=13,
P(ξ=4)=P(X=2,Y=2)=C22122·C22·232=19,
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
136
16
1336
13
19