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数学2.2二项分布及其应用课堂检测
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这是一份数学2.2二项分布及其应用课堂检测，共17页。试卷主要包含了独立重复试验应满足的条件等内容，欢迎下载使用。
题组一 独立重复试验及其概率计算
1.独立重复试验应满足的条件:
①每次试验之间是相互独立的;
②每次试验只有发生与不发生两种结果之一;
③每次试验发生的机会是均等的;
④各次试验发生的事件是互斥的.
其中正确的是( )
A.①②B.②③
C.①②③D.①②④
2.(2019福建厦门高二期末)某电子管的正品率为34,次品率为14,现对该批电子管进行测试,那么在五次测试中恰有三次测到正品的概率是( )
A.C53343B.C52142
C.C52342143D.C53343142
3.(2020黑龙江牡丹江第一中学高二月考)小明同学喜欢篮球,假设他每一次投篮投中的概率为23,则小明连续投篮四次,恰好两次投中的概率是( )
A.481B.881C.427D.827
4.(2020辽宁抚顺六校协作体高一上期末)已知袋中有3个红球,n个白球,有放回地摸球2次,则恰好第1次摸到红球且第2次摸到白球的概率是625,则n=( )
A.1B.2C.6D.7
5.(2020山东泰安高二模拟)在2019年女排世界杯比赛中,中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军,在比赛中她们充分发挥了团结协作、顽强拼搏的中国女排精神.为学习女排精神,A、B两校排球队进行排球友谊赛,采取五局三胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为35,设各局比赛相互间没有影响,则在此次比赛中,四局结束比赛的概率为( )
A.72625B.78625C.162625D.234625
6.某射击手射击1次,击中目标的概率是0.9,该射击手连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①该射击手第3次击中目标的概率是0.9;②该射击手恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;③该射击手至少击中目标1次的概率是1-0.14;④该射击手恰好连续2次击中目标的概率为3×0.93×0.1.其中正确结论的序号是 .
7.(2019黑龙江大庆铁人中学高二期末)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:
(1)两种大树各成活1株的概率;
(2)成活的株数ξ的分布列.
8.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率;
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分,对方得1分.求乙队得分X的分布列.
题组二 二项分布
9.已知随机变量X~B6,13,则P(X=2)=( )
A.80243 B.13243
C.4243 D.316
10.(2020四川成都龙泉第二中学高二模拟)设随机变量ξ~B(2,p),η~B(3,p),若P(ξ≥1)=59,则P(η≥2)的值为( )
A.2027B.827
C.727D.127
11.若随机变量X~B4,23,则( )
A.P(X=1)=P(X=3) B.P(X=2)=2P(X=1)
C.P(X=2)=P(X=3) D.P(X=3)=4P(X=1)
12.(2020湖南益阳高二月考)2019年10月20日,第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”,其中有5项成果属于芯片领域.现有3名学生从这15项成果中分别任选1项进行了解,且学生之间的选择互不影响,则恰好有1名学生选择芯片领域的概率为( )
A.49B.427C.1927D.48125
13.(2020天津新华中学高二期中)一个盒子里有形状、大小完全相同的3个红球和3个黑球,从盒子里随机取球,取到每个球的可能性是相同的,设取到一个红球得1分,取到一个黑球得0分.
(1)若从盒子里一次随机取出3个球,求得2分的概率;
(2)若从盒子里每次摸出一个球,记下颜色后放回,连续摸3次,求得分ξ的分布列.
深度解析
14.(2020江苏南京二十九中高三下模拟)某公司的一次招聘中,应聘者都要经过A,B,C三个独立项目的测试,通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A,B,C三个项目测试的概率都是12.
(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列.
15.某学校举行联欢会,所有参演的节目是否获奖都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张,每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须投票,并且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为13,且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票,则该节目最终获一等奖,否则,该节目不能获一等奖.
(1)求某节目最终获一等奖的概率;
(2)求某节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票的票数之和X的分布列.
能力提升练
一、选择题
1.(2019山东济南外国语学校高二月考,)“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则:出拳之前双方齐喊口令,然后在口令喊完的同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”,其中“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”,若所出的拳相同,则为和局.若小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是( )
A.127B.227C.281D.881
2.()在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p(0A.(0,0.6] B.[0.6,1)
C.[0.4,1) D.(0,0.4]
3.(2020东北育才学校高考模拟,)已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数题,每人均有23的概率解答正确,且三个人解答正确与否相互独立,在三人中至少有两人解答正确的条件下,甲解答不正确的概率为( )
A.1320B.920C.15D.120
4.(2019湖北荆州高二期末,)“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,是说集体智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率P1=0.3.与此同时,有n个智商水平相同的人也在研究项目M,他们各自独立地解决项目M的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M,且这n个人组成的团队也同时研究项目M,设这n个人的团队解决项目M的概率为P2,若P2≥P1,则n的最小值是( )
A.3B.4C.5D.6
5.(2019河南商丘九校高二下期末联考,)口袋中放有形状、大小均相同的2个红球和1个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{an}:an=-1,第n次摸到红球,1,第n次摸到白球.如果Sn为数列{an}的前n项和,则S7=3的概率为( )
A.C75235132 B.C72232135
C.C73232135 D.C73133234
二、填空题
6.(2020黑龙江哈尔滨第三中学高三二模,)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中记载了“田忌赛马”的故事.齐王有上等,中等,下等马各一匹;田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.现规定每场比赛从双方的马匹中随机各选取一匹进行比试,若有优势的马一定获胜,且每场比赛相互独立,则采取三局两胜制齐王获胜的概率为 .
7.(2019河北示范性高中高三下联考,)某种植户对一块地的n个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为12,且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,若至少有2粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.当n=
时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为 .
三、解答题
8.(2020重庆育才中学高二开学考试,)某中学开展了“最美教室”文化布置评比活动,工作人员随机抽取了16间教室进行量化评估,其中评分不低于9分的教室为优秀,以下表格记录了它们的评分情况:
(1)现从16间教室随机抽取3间,求至多有1间优秀的概率;
(2)以这16间教室的评分数据估计全校教室的布置情况,若从全校所有教室中任选3间,记X表示抽到优秀教室的间数,求X的分布列.
9.()甲、乙两队参加世博会知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错者得零分.假设甲队中每人答对的概率均为23,乙队中3人答对的概率分别为23,23,12,且每人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.
(1)求随机变量ξ的分布列;
(2)记“甲、乙两队总得分之和等于3”为事件A,“甲队总得分大于乙队总得分”为事件B,求P(AB).
10.(2020湖南古丈第一中学高二月考,)挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”,要想通过需要过五关:目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关,根据分析知道甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75,通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4,由于他们平时表现较好,都能通过政审关,且后三关之间通过与否没有影响.
(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检关的概率;
(2)设只要通过后三关就可以被录取,求录取人数X的分布列.
11.(2019安徽泗县第一中学高二月考,)有甲、乙两队学生参加“知识联想”抢答赛,比赛规则:①每局比赛分两轮,主持人依次给出两次提示,第一次提示后答对得2分,第二次提示后答对得1分,没抢到或答错者不得分;②主持人给出第一个提示后开始抢答,第一轮抢答错误则失去第二轮答题资格;③若第一轮抢答者答对,则此局比赛结束,若第一轮抢答者答错,主持人给出第二个提示后另一队直接答题.甲、乙两队抢到答题权的机会均等,并且第一个提示后答对的概率均为23,第二个提示后答对的概率均为34,记X为甲队在一局比赛中的得分.
(1)求X的分布列;
(2)若比赛共进行4局,求甲队4局比赛中至少得6分的概率.
12.(2019安徽合肥六中高二期中,)我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注,受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为23,女性观众认为《流浪地球》好看的概率为12.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众(其中2男2女).
(1)求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率;
(2)设ξ表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数,求ξ的分布列.
2.2.3 独立重复试验与二项分布
基础过关练
1.C 由独立重复试验的概念知①②③正确,④错误.
2.D 由题意可知,五次测试中恰有三次测到正品,则有两次测到次品,由独立重复试验的概率公式可知,所求事件的概率为C53·343·142,故选D.
3.D ∵每次投篮投中的概率是23,∴在连续四次投篮中,恰有两次投中的概率P=C42×232×1-232=827.故选D.
4.B 由题意知,摸到红球的概率为33+n,摸到白球的概率为n3+n,则有放回地摸球2次,恰好第1次摸到红球且第2次摸到白球的概率为33+n×n3+n=625,解得n=2或n=92(舍去),故选B.
5.D 四局结束比赛可分为A校排球队胜和B校排球队胜两种情况.
若A校排球队胜,即A校前三局中赢了两局,且A校还赢了第四局,
则概率P1=C32×352×1-35×35=162625;
若B校排球队胜,即B校前三局中赢了两局,且B校还赢了第四局,
则概率P2=C32×1-352×35×1-35=72625.
故四局结束比赛的概率P=P1+P2=234625,故选D.
6.答案 ①③
解析 ∵射击1次击中目标的概率是0.9,∴第3次击中目标的概率是0.9,∴①正确;
∵连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,∴本题是一个独立重复试验,由独立重复试验的概率公式得,恰好击中目标3次的概率是C43×0.93×0.1,∴②不正确;
易知射击1次未击中目标的概率为0.1,∴至少击中目标1次的概率是1-0.14,∴③正确;
∵恰好连续2次击中目标的概率为3×0.92×0.12,∴④不正确.故答案为①③.
7.解析 设事件Ak表示甲种大树成活k株,k=0,1,2,事件Bl表示乙种大树成活l株,l=0,1,2.
易知Ak,Bl相互独立.由独立重复试验的概率公式,得
P(Ak)=C2k23k132-k,
P(Bl)=C2l12l122-l,
∴P(A0)=19,P(A1)=49,P(A2)=49,
P(B0)=14,P(B1)=12,P(B2)=14.
(1)所求概率为P(A1∩B1)=P(A1)·P(B1)=29.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,且P(ξ=0)=P(A0∩B0)=136,
P(ξ=1)=P(A0∩B1)+P(A1∩B0)=16,
P(ξ=2)=P(A0∩B2)+P(A1∩B1)+P(A2∩B0)=1336,
P(ξ=3)=P(A1∩B2)+P(A2∩B1)=13,
P(ξ=4)=P(A2∩B2)=19.
∴ξ的分布列为
8.解析 (1)设“甲队以3∶0获胜”为事件A,“甲队以3∶1获胜”为事件B,“甲队以3∶2获胜”为事件C,则P(A)=23×23×23=827,P(B)=C32×232×1-23×23=827,P(C)=C42×232×1-232×12=427.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=P(A)+P(B)=1627,
P(X=1)=P(C)=427,
P(X=2)=C42×1-232×232×1-12=427,
P(X=3)=133+C32×132×23×13=19.
故X的分布列为
9.A 由二项分布公式知,P(X=2)=C62·132·234=80243.故选A.
10.C ∵随机变量ξ~B(2,p),P(ξ≥1)=59,∴P(ξ=0)=C20(1-p)2=1-59,解得p=13,则P(η≥2)=C33p3+C32p2(1-p)1=127+627=727.
11.D ∵随机变量X~B4,23,∴P(X=1)=C41231133=881,P(X=2)=C42·232132=827,P(X=3)=C43233·131=3281,∴P(X=3)=4P(X=1).
故选D.
12.答案 A
信息提取 ①15项成果中5项成果属于芯片领域;②3名学生从这15项成果中分别任选1项;③恰好有1名学生选择芯片领域的概率.
数学建模 以“世界互联网领先科技成果”芯片领域的选取为情境构建二项分布模型,先求出芯片被选和不被选的概率,再确定选择芯片领域的人数可取的值,最后构建二项分布模型求概率.
解析 由题意知,芯片领域被选的概率为515=13,不被选的概率为1-13=23,易知选择芯片领域的人数X={0,1,2,3},
∴X服从二项分布B3,13,则P(X=1)=C31131232=49.故选A.
13.解析 (1)“一次随机取出3个球得2分”的事件记为A,它表示取出的球中有2个红球和1个黑球,则P(A)=C32C31C63=920.
(2)由题意得ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
因为是有放回地摸球,所以每次摸到红球的概率为12,黑球的概率为12,
则ξ~B3,12,P(ξ=k)=C3k123(k=0,1,2,3),
所以ξ的分布列为
方法技巧
解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),必须在满足“独立重复试验”时才能运用,否则不能运用该公式.
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验独立重复地进行了n次.
14.解析 (1)甲恰好通过两个项目测试的概率为C321221-121=38.
(2)因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为C321221-121+123=12,所以可看作3次独立重复试验.
甲、乙、丙三人中被录用的人数X服从二项分布,即X~B3,12,
所以P(X=0)=1-123=18,
P(X=1)=C311211-122=38,
P(X=2)=C321221-121=38,
P(X=3)=123=18.
故X的分布列为
15.解析 (1)设“某节目最终获一等奖”为事件A,则事件A包括该节目获两张“获奖”票和获三张“获奖”票两种情况.
∴P(A)=C32132231+C33133=727.
(2)所含“获奖”票和“待定”票的票数之和X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=133=127,
P(X=1)=C31231132=29,
P(X=2)=C32232131=49,
P(X=3)=233=827.
因此X的分布列为
能力提升练
一、选择题
1.B 由题意得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为13.由题意可知,小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛中,小军和大明比赛至第四局小军胜出,是指前三局中小军胜两局,有一局不胜,第四局小军胜,∴小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是P=C32×132×231×13=227.故选B.
2.D 因为随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,所以C41p(1-p)3≥C42p2(1-p)2,解得p≤0.4,即p的范围是(0,0.4],故选D.
3.C 记“三人中至少有两人解答正确”为事件A;“甲解答不正确”为事件B,
则P(A)=C32232131+C33233=2027,P(AB)=13×23×23=427,
∴P(B|A)=P(AB)P(A)=15,故选C.
4.B 由题意知P2=1-0.9n,
∵P2≥P1,∴1-0.9n≥0.3,又n∈N*,∴n≥4,∴n的最小值是4.故选B.
5.B 由题意知S7=3说明摸球七次,只有两次摸到红球,
因为每次摸球的结果之间没有影响,摸到红球的概率是23,摸到白球的概率是13,
所以只有两次摸到红球的概率是C72232×135,故选B.
二、填空题
6.答案 2027
信息提取 ①齐王和田忌分别有上等,中等,下等马各一匹;②齐王的马各等次都优于田忌的马的各等次;③有优势的马一定获胜;④三局两胜制齐王获胜的概率.
数学建模 以“田忌赛马”的故事为情境,构建古典概型和独立重复试验模型,先根据齐王的马各等次都优于田忌的马的各等次,对齐王和田忌的各等次马进行对阵排布,分析事件发生的各种情况,求出齐王获胜的概率,然后结合三局两胜制的比赛规则,应用独立重复试验的概率公式求概率.
解析 设齐王的上、中、下等马分别为A、B、C,田忌的上、中、下等马分别为a、b、c,
则共有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc这9种情况,
其中齐王获胜的有Aa,Ab,Ac,Bb,Bc,Cc这6种情况,故齐王获胜的概率P1=69=23,
故所求概率P=232+C21×23×13×23=2027.
7.答案 5或6;516
解析 对一个坑而言,要补播种的概率P=C30123+C31123=12,
则有3个坑要补播种的概率为Cn3123·12n-3=Cn312n.
要使Cn312n最大,
只需Cn312n≥Cn-1312n-1,Cn312n≥Cn+1312n+1,
解得5≤n≤6,又n∈N*,所以n=5或n=6.
当n=5时,C53125=516,
当n=6时,C63126=516,
所以当n=5或n=6时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为516.
三、解答题
8.解析 (1)设Ai表示所抽取的3间教室中有i间优秀,抽取的3间教室中至多有1间优秀为事件A,则P(A)=P(A0)+P(A1)=C123C163+C122C41C163=121140.
(2)由题中表格数据可知,从16间教室中任选1间为优秀的概率为416=14,
由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3,则
P(X=0)=343=2764,
P(X=1)=C31141342=2764,
P(X=2)=C32142341=964,
P(X=3)=143=164.
所以X的分布列为
9.解析 (1)甲队中3人回答问题相当于进行了3次独立重复试验,所以ξ~B3,23,易知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=C30×1-233=127,
P(ξ=1)=C31×23×1-232=29,
P(ξ=2)=C32×232×1-23=49,
P(ξ=3)=C33×233=827.
所以随机变量ξ的分布列为
(2)记“甲队得2分,乙队得1分”为事件C,“甲队得3分,乙队得0分”为事件D,则AB=C+D,且事件C与D互斥.
又P(C)=49×23×13×12+13×23×12+13×13×12=1081,
P(D)=827×13×13×12=4243,
所以P(AB)=P(C)+P(D)=1081+4243=34243.
10.解析 (1)设A,B,C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检关”,则所求概率
P=P(AB-C-)+P(A-BC-)+P(A-B-C)
=0.5×(1-0.6)×(1-0.75)+(1-0.5)×0.6×(1-0.75)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.75
=0.275.
(2)甲被录取的概率P甲=0.5×0.6=0.3,同理,P乙=0.6×0.5=0.3,P丙=0.75×0.4=0.3.
所以甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3,即X~B(3,0.3),X的所有可能取值为0,1,2,3,其中P(X=k)=C3k(0.3)k·(1-0.3)3-k,k=0,1,2,3.
故P(X=0)=C30×0.30×(1-0.3)3=0.343,
P(X=1)=C31×0.3×(1-0.3)2=0.441,
P(X=2)=C32×0.32×(1-0.3)=0.189,
P(X=3)=C33×0.33=0.027.
故X的分布列为
11.解析 (1)由题意得,随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=12×23+12×1-23×1-34+12×1-23=1324,
P(X=1)=12×1-23×34=18,
P(X=2)=12×23=13.
所以X的分布列为
(2)由(1)可得甲队在每局中得0分、1分、2分的概率分别为1324、18、13.
甲队4局比赛中至少得6分可分为以下情况:①四个2分;②三个2分和一个1分;③三个2分和一个0分;④两个2分和两个1分.故甲在4局比赛中至少得6分的概率为
P=134+C43133×18+C43133×1324+C42132×182=35288.
12.解析 (1)设事件A表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”,
则P(A)=C22122·C21231131+C22122·C20132+C21121·121·C20132=736.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.
设X,Y分别表示女性和男性认为好看的人数,
则P(ξ=0)=P(X=0,Y=0)=C20122·C20132=136,
P(ξ=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=C21121121·C20132+C20·122·C21231131=16,
P(ξ=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=1,Y=1)+P(X=0,Y=2)=C22122·C20132+C21·121121·C21231131+C20·122·C22232=1336,
P(ξ=3)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=C21·121121·C22232+C22·122·C21231131=13,
P(ξ=4)=P(X=2,Y=2)=C22122·C22·232=19.
∴ξ的分布列为
分数段
[0,7)
[7,8)
[8,9)
[9,10]
教室间数
1
3
8
4
1.C
2.D
3.D
4.B
5.D
9.A
10.C
11.D
12.A
ξ
0
1
2
3
4
P
136
16
1336
13
19
X
0
1
2
3
P
1627
427
427
19
ξ
0
1
2
3
P
18
38
38
18
X
0
1
2
3
P
18
38
38
18
X
0
1
2
3
P
127
29
49
827
1.B
2.D
3.C
4.B
5.B
X
0
1
2
3
P
2764
2764
964
164
ξ
0
1
2
3
P
127
29
49
827
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
X
0
1
2
P
1324
18
13
ξ
0
1
2
3
4
P
136
16
1336
13
19
题组一 独立重复试验及其概率计算
1.独立重复试验应满足的条件:
①每次试验之间是相互独立的;
②每次试验只有发生与不发生两种结果之一;
③每次试验发生的机会是均等的;
④各次试验发生的事件是互斥的.
其中正确的是( )
A.①②B.②③
C.①②③D.①②④
2.(2019福建厦门高二期末)某电子管的正品率为34,次品率为14,现对该批电子管进行测试,那么在五次测试中恰有三次测到正品的概率是( )
A.C53343B.C52142
C.C52342143D.C53343142
3.(2020黑龙江牡丹江第一中学高二月考)小明同学喜欢篮球,假设他每一次投篮投中的概率为23,则小明连续投篮四次,恰好两次投中的概率是( )
A.481B.881C.427D.827
4.(2020辽宁抚顺六校协作体高一上期末)已知袋中有3个红球,n个白球,有放回地摸球2次,则恰好第1次摸到红球且第2次摸到白球的概率是625,则n=( )
A.1B.2C.6D.7
5.(2020山东泰安高二模拟)在2019年女排世界杯比赛中,中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军,在比赛中她们充分发挥了团结协作、顽强拼搏的中国女排精神.为学习女排精神,A、B两校排球队进行排球友谊赛,采取五局三胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为35,设各局比赛相互间没有影响,则在此次比赛中,四局结束比赛的概率为( )
A.72625B.78625C.162625D.234625
6.某射击手射击1次,击中目标的概率是0.9,该射击手连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①该射击手第3次击中目标的概率是0.9;②该射击手恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;③该射击手至少击中目标1次的概率是1-0.14;④该射击手恰好连续2次击中目标的概率为3×0.93×0.1.其中正确结论的序号是 .
7.(2019黑龙江大庆铁人中学高二期末)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:
(1)两种大树各成活1株的概率;
(2)成活的株数ξ的分布列.
8.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率;
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分,对方得1分.求乙队得分X的分布列.
题组二 二项分布
9.已知随机变量X~B6,13,则P(X=2)=( )
A.80243 B.13243
C.4243 D.316
10.(2020四川成都龙泉第二中学高二模拟)设随机变量ξ~B(2,p),η~B(3,p),若P(ξ≥1)=59,则P(η≥2)的值为( )
A.2027B.827
C.727D.127
11.若随机变量X~B4,23,则( )
A.P(X=1)=P(X=3) B.P(X=2)=2P(X=1)
C.P(X=2)=P(X=3) D.P(X=3)=4P(X=1)
12.(2020湖南益阳高二月考)2019年10月20日,第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”,其中有5项成果属于芯片领域.现有3名学生从这15项成果中分别任选1项进行了解,且学生之间的选择互不影响,则恰好有1名学生选择芯片领域的概率为( )
A.49B.427C.1927D.48125
13.(2020天津新华中学高二期中)一个盒子里有形状、大小完全相同的3个红球和3个黑球,从盒子里随机取球,取到每个球的可能性是相同的,设取到一个红球得1分,取到一个黑球得0分.
(1)若从盒子里一次随机取出3个球,求得2分的概率;
(2)若从盒子里每次摸出一个球,记下颜色后放回,连续摸3次,求得分ξ的分布列.
深度解析
14.(2020江苏南京二十九中高三下模拟)某公司的一次招聘中,应聘者都要经过A,B,C三个独立项目的测试,通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A,B,C三个项目测试的概率都是12.
(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列.
15.某学校举行联欢会,所有参演的节目是否获奖都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张,每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须投票,并且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为13,且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票,则该节目最终获一等奖,否则,该节目不能获一等奖.
(1)求某节目最终获一等奖的概率;
(2)求某节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票的票数之和X的分布列.
能力提升练
一、选择题
1.(2019山东济南外国语学校高二月考,)“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则:出拳之前双方齐喊口令,然后在口令喊完的同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”,其中“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”,若所出的拳相同,则为和局.若小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是( )
A.127B.227C.281D.881
2.()在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p(0
C.[0.4,1) D.(0,0.4]
3.(2020东北育才学校高考模拟,)已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数题,每人均有23的概率解答正确,且三个人解答正确与否相互独立,在三人中至少有两人解答正确的条件下,甲解答不正确的概率为( )
A.1320B.920C.15D.120
4.(2019湖北荆州高二期末,)“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,是说集体智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率P1=0.3.与此同时,有n个智商水平相同的人也在研究项目M,他们各自独立地解决项目M的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M,且这n个人组成的团队也同时研究项目M,设这n个人的团队解决项目M的概率为P2,若P2≥P1,则n的最小值是( )
A.3B.4C.5D.6
5.(2019河南商丘九校高二下期末联考,)口袋中放有形状、大小均相同的2个红球和1个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{an}:an=-1,第n次摸到红球,1,第n次摸到白球.如果Sn为数列{an}的前n项和,则S7=3的概率为( )
A.C75235132 B.C72232135
C.C73232135 D.C73133234
二、填空题
6.(2020黑龙江哈尔滨第三中学高三二模,)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中记载了“田忌赛马”的故事.齐王有上等,中等,下等马各一匹;田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.现规定每场比赛从双方的马匹中随机各选取一匹进行比试,若有优势的马一定获胜,且每场比赛相互独立,则采取三局两胜制齐王获胜的概率为 .
7.(2019河北示范性高中高三下联考,)某种植户对一块地的n个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为12,且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,若至少有2粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.当n=
时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为 .
三、解答题
8.(2020重庆育才中学高二开学考试,)某中学开展了“最美教室”文化布置评比活动,工作人员随机抽取了16间教室进行量化评估,其中评分不低于9分的教室为优秀,以下表格记录了它们的评分情况:
(1)现从16间教室随机抽取3间,求至多有1间优秀的概率;
(2)以这16间教室的评分数据估计全校教室的布置情况,若从全校所有教室中任选3间,记X表示抽到优秀教室的间数,求X的分布列.
9.()甲、乙两队参加世博会知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错者得零分.假设甲队中每人答对的概率均为23,乙队中3人答对的概率分别为23,23,12,且每人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.
(1)求随机变量ξ的分布列;
(2)记“甲、乙两队总得分之和等于3”为事件A,“甲队总得分大于乙队总得分”为事件B,求P(AB).
10.(2020湖南古丈第一中学高二月考,)挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”,要想通过需要过五关:目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关,根据分析知道甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75,通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4,由于他们平时表现较好,都能通过政审关,且后三关之间通过与否没有影响.
(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检关的概率;
(2)设只要通过后三关就可以被录取,求录取人数X的分布列.
11.(2019安徽泗县第一中学高二月考,)有甲、乙两队学生参加“知识联想”抢答赛,比赛规则:①每局比赛分两轮,主持人依次给出两次提示,第一次提示后答对得2分,第二次提示后答对得1分,没抢到或答错者不得分;②主持人给出第一个提示后开始抢答,第一轮抢答错误则失去第二轮答题资格;③若第一轮抢答者答对,则此局比赛结束,若第一轮抢答者答错,主持人给出第二个提示后另一队直接答题.甲、乙两队抢到答题权的机会均等,并且第一个提示后答对的概率均为23,第二个提示后答对的概率均为34,记X为甲队在一局比赛中的得分.
(1)求X的分布列;
(2)若比赛共进行4局,求甲队4局比赛中至少得6分的概率.
12.(2019安徽合肥六中高二期中,)我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注,受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为23,女性观众认为《流浪地球》好看的概率为12.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众(其中2男2女).
(1)求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率;
(2)设ξ表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数,求ξ的分布列.
2.2.3 独立重复试验与二项分布
基础过关练
1.C 由独立重复试验的概念知①②③正确,④错误.
2.D 由题意可知,五次测试中恰有三次测到正品,则有两次测到次品,由独立重复试验的概率公式可知,所求事件的概率为C53·343·142,故选D.
3.D ∵每次投篮投中的概率是23,∴在连续四次投篮中,恰有两次投中的概率P=C42×232×1-232=827.故选D.
4.B 由题意知,摸到红球的概率为33+n,摸到白球的概率为n3+n,则有放回地摸球2次,恰好第1次摸到红球且第2次摸到白球的概率为33+n×n3+n=625,解得n=2或n=92(舍去),故选B.
5.D 四局结束比赛可分为A校排球队胜和B校排球队胜两种情况.
若A校排球队胜,即A校前三局中赢了两局,且A校还赢了第四局,
则概率P1=C32×352×1-35×35=162625;
若B校排球队胜,即B校前三局中赢了两局,且B校还赢了第四局,
则概率P2=C32×1-352×35×1-35=72625.
故四局结束比赛的概率P=P1+P2=234625,故选D.
6.答案 ①③
解析 ∵射击1次击中目标的概率是0.9,∴第3次击中目标的概率是0.9,∴①正确;
∵连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,∴本题是一个独立重复试验,由独立重复试验的概率公式得,恰好击中目标3次的概率是C43×0.93×0.1,∴②不正确;
易知射击1次未击中目标的概率为0.1,∴至少击中目标1次的概率是1-0.14,∴③正确;
∵恰好连续2次击中目标的概率为3×0.92×0.12,∴④不正确.故答案为①③.
7.解析 设事件Ak表示甲种大树成活k株,k=0,1,2,事件Bl表示乙种大树成活l株,l=0,1,2.
易知Ak,Bl相互独立.由独立重复试验的概率公式,得
P(Ak)=C2k23k132-k,
P(Bl)=C2l12l122-l,
∴P(A0)=19,P(A1)=49,P(A2)=49,
P(B0)=14,P(B1)=12,P(B2)=14.
(1)所求概率为P(A1∩B1)=P(A1)·P(B1)=29.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,且P(ξ=0)=P(A0∩B0)=136,
P(ξ=1)=P(A0∩B1)+P(A1∩B0)=16,
P(ξ=2)=P(A0∩B2)+P(A1∩B1)+P(A2∩B0)=1336,
P(ξ=3)=P(A1∩B2)+P(A2∩B1)=13,
P(ξ=4)=P(A2∩B2)=19.
∴ξ的分布列为
8.解析 (1)设“甲队以3∶0获胜”为事件A,“甲队以3∶1获胜”为事件B,“甲队以3∶2获胜”为事件C,则P(A)=23×23×23=827,P(B)=C32×232×1-23×23=827,P(C)=C42×232×1-232×12=427.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=P(A)+P(B)=1627,
P(X=1)=P(C)=427,
P(X=2)=C42×1-232×232×1-12=427,
P(X=3)=133+C32×132×23×13=19.
故X的分布列为
9.A 由二项分布公式知,P(X=2)=C62·132·234=80243.故选A.
10.C ∵随机变量ξ~B(2,p),P(ξ≥1)=59,∴P(ξ=0)=C20(1-p)2=1-59,解得p=13,则P(η≥2)=C33p3+C32p2(1-p)1=127+627=727.
11.D ∵随机变量X~B4,23,∴P(X=1)=C41231133=881,P(X=2)=C42·232132=827,P(X=3)=C43233·131=3281,∴P(X=3)=4P(X=1).
故选D.
12.答案 A
信息提取 ①15项成果中5项成果属于芯片领域;②3名学生从这15项成果中分别任选1项;③恰好有1名学生选择芯片领域的概率.
数学建模 以“世界互联网领先科技成果”芯片领域的选取为情境构建二项分布模型,先求出芯片被选和不被选的概率,再确定选择芯片领域的人数可取的值,最后构建二项分布模型求概率.
解析 由题意知,芯片领域被选的概率为515=13,不被选的概率为1-13=23,易知选择芯片领域的人数X={0,1,2,3},
∴X服从二项分布B3,13,则P(X=1)=C31131232=49.故选A.
13.解析 (1)“一次随机取出3个球得2分”的事件记为A,它表示取出的球中有2个红球和1个黑球,则P(A)=C32C31C63=920.
(2)由题意得ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
因为是有放回地摸球,所以每次摸到红球的概率为12,黑球的概率为12,
则ξ~B3,12,P(ξ=k)=C3k123(k=0,1,2,3),
所以ξ的分布列为
方法技巧
解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),必须在满足“独立重复试验”时才能运用,否则不能运用该公式.
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验独立重复地进行了n次.
14.解析 (1)甲恰好通过两个项目测试的概率为C321221-121=38.
(2)因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为C321221-121+123=12,所以可看作3次独立重复试验.
甲、乙、丙三人中被录用的人数X服从二项分布,即X~B3,12,
所以P(X=0)=1-123=18,
P(X=1)=C311211-122=38,
P(X=2)=C321221-121=38,
P(X=3)=123=18.
故X的分布列为
15.解析 (1)设“某节目最终获一等奖”为事件A,则事件A包括该节目获两张“获奖”票和获三张“获奖”票两种情况.
∴P(A)=C32132231+C33133=727.
(2)所含“获奖”票和“待定”票的票数之和X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=133=127,
P(X=1)=C31231132=29,
P(X=2)=C32232131=49,
P(X=3)=233=827.
因此X的分布列为
能力提升练
一、选择题
1.B 由题意得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为13.由题意可知,小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛中,小军和大明比赛至第四局小军胜出,是指前三局中小军胜两局,有一局不胜,第四局小军胜,∴小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是P=C32×132×231×13=227.故选B.
2.D 因为随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,所以C41p(1-p)3≥C42p2(1-p)2,解得p≤0.4,即p的范围是(0,0.4],故选D.
3.C 记“三人中至少有两人解答正确”为事件A;“甲解答不正确”为事件B,
则P(A)=C32232131+C33233=2027,P(AB)=13×23×23=427,
∴P(B|A)=P(AB)P(A)=15,故选C.
4.B 由题意知P2=1-0.9n,
∵P2≥P1,∴1-0.9n≥0.3,又n∈N*,∴n≥4,∴n的最小值是4.故选B.
5.B 由题意知S7=3说明摸球七次,只有两次摸到红球,
因为每次摸球的结果之间没有影响,摸到红球的概率是23,摸到白球的概率是13,
所以只有两次摸到红球的概率是C72232×135,故选B.
二、填空题
6.答案 2027
信息提取 ①齐王和田忌分别有上等,中等,下等马各一匹;②齐王的马各等次都优于田忌的马的各等次;③有优势的马一定获胜;④三局两胜制齐王获胜的概率.
数学建模 以“田忌赛马”的故事为情境,构建古典概型和独立重复试验模型,先根据齐王的马各等次都优于田忌的马的各等次,对齐王和田忌的各等次马进行对阵排布,分析事件发生的各种情况,求出齐王获胜的概率,然后结合三局两胜制的比赛规则,应用独立重复试验的概率公式求概率.
解析 设齐王的上、中、下等马分别为A、B、C,田忌的上、中、下等马分别为a、b、c,
则共有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc这9种情况,
其中齐王获胜的有Aa,Ab,Ac,Bb,Bc,Cc这6种情况,故齐王获胜的概率P1=69=23,
故所求概率P=232+C21×23×13×23=2027.
7.答案 5或6;516
解析 对一个坑而言,要补播种的概率P=C30123+C31123=12,
则有3个坑要补播种的概率为Cn3123·12n-3=Cn312n.
要使Cn312n最大,
只需Cn312n≥Cn-1312n-1,Cn312n≥Cn+1312n+1,
解得5≤n≤6,又n∈N*,所以n=5或n=6.
当n=5时,C53125=516,
当n=6时,C63126=516,
所以当n=5或n=6时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为516.
三、解答题
8.解析 (1)设Ai表示所抽取的3间教室中有i间优秀,抽取的3间教室中至多有1间优秀为事件A,则P(A)=P(A0)+P(A1)=C123C163+C122C41C163=121140.
(2)由题中表格数据可知,从16间教室中任选1间为优秀的概率为416=14,
由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3,则
P(X=0)=343=2764,
P(X=1)=C31141342=2764,
P(X=2)=C32142341=964,
P(X=3)=143=164.
所以X的分布列为
9.解析 (1)甲队中3人回答问题相当于进行了3次独立重复试验,所以ξ~B3,23,易知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=C30×1-233=127,
P(ξ=1)=C31×23×1-232=29,
P(ξ=2)=C32×232×1-23=49,
P(ξ=3)=C33×233=827.
所以随机变量ξ的分布列为
(2)记“甲队得2分,乙队得1分”为事件C,“甲队得3分,乙队得0分”为事件D,则AB=C+D,且事件C与D互斥.
又P(C)=49×23×13×12+13×23×12+13×13×12=1081,
P(D)=827×13×13×12=4243,
所以P(AB)=P(C)+P(D)=1081+4243=34243.
10.解析 (1)设A,B,C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检关”,则所求概率
P=P(AB-C-)+P(A-BC-)+P(A-B-C)
=0.5×(1-0.6)×(1-0.75)+(1-0.5)×0.6×(1-0.75)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.75
=0.275.
(2)甲被录取的概率P甲=0.5×0.6=0.3,同理,P乙=0.6×0.5=0.3,P丙=0.75×0.4=0.3.
所以甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3,即X~B(3,0.3),X的所有可能取值为0,1,2,3,其中P(X=k)=C3k(0.3)k·(1-0.3)3-k,k=0,1,2,3.
故P(X=0)=C30×0.30×(1-0.3)3=0.343,
P(X=1)=C31×0.3×(1-0.3)2=0.441,
P(X=2)=C32×0.32×(1-0.3)=0.189,
P(X=3)=C33×0.33=0.027.
故X的分布列为
11.解析 (1)由题意得,随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=12×23+12×1-23×1-34+12×1-23=1324,
P(X=1)=12×1-23×34=18,
P(X=2)=12×23=13.
所以X的分布列为
(2)由(1)可得甲队在每局中得0分、1分、2分的概率分别为1324、18、13.
甲队4局比赛中至少得6分可分为以下情况:①四个2分;②三个2分和一个1分;③三个2分和一个0分;④两个2分和两个1分.故甲在4局比赛中至少得6分的概率为
P=134+C43133×18+C43133×1324+C42132×182=35288.
12.解析 (1)设事件A表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”,
则P(A)=C22122·C21231131+C22122·C20132+C21121·121·C20132=736.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.
设X,Y分别表示女性和男性认为好看的人数,
则P(ξ=0)=P(X=0,Y=0)=C20122·C20132=136,
P(ξ=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=C21121121·C20132+C20·122·C21231131=16,
P(ξ=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=1,Y=1)+P(X=0,Y=2)=C22122·C20132+C21·121121·C21231131+C20·122·C22232=1336,
P(ξ=3)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=C21·121121·C22232+C22·122·C21231131=13,
P(ξ=4)=P(X=2,Y=2)=C22122·C22·232=19.
∴ξ的分布列为
分数段
[0,7)
[7,8)
[8,9)
[9,10]
教室间数
1
3
8
4
1.C
2.D
3.D
4.B
5.D
9.A
10.C
11.D
12.A
ξ
0
1
2
3
4
P
136
16
1336
13
19
X
0
1
2
3
P
1627
427
427
19
ξ
0
1
2
3
P
18
38
38
18
X
0
1
2
3
P
18
38
38
18
X
0
1
2
3
P
127
29
49
827
1.B
2.D
3.C
4.B
5.B
X
0
1
2
3
P
2764
2764
964
164
ξ
0
1
2
3
P
127
29
49
827
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
X
0
1
2
P
1324
18
13
ξ
0
1
2
3
4
P
136
16
1336
13
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