数学选修2-32.1离散型随机变量及其分布列测试题

这是一份数学选修2-32.1离散型随机变量及其分布列测试题，共28页。试卷主要包含了1　离散型随机变量及其分布列，同时掷两枚质地均匀的硬币，已知随机变量X的分布列如下表等内容，欢迎下载使用。

第二章　随机变量及其分布
2.1　离散型随机变量及其分布列
2.1.1　离散型随机变量
2.1.2　离散型随机变量的分布列
基础过关练
题组一　随机变量与离散型随机变量的概念
1.下列随机变量不是离散型随机变量的是(　　)
A.某景点一天的游客数ξ
B.某寻呼台一天内收到的寻呼次数ξ
C.水文站观测到的江水的水位数ξ
D.某收费站一天内通过的汽车辆数ξ
2.袋中有形状、大小均相同的3个白球、5个黑球,若从中任取2个,则下列可以作为随机变量的是(　　)
A.至少取到1个白球
B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数
D.取到的球的个数
3.某同学在某考试中需回答三个问题,考试规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是　　　　　　　　　. 

4.某地上网的费用为月租10元,上网时每分钟0.04元(不足1分钟的按1分钟计算),某学生在一个月内上网的时间为随机变量X(分钟),求该学生在一个月内上网的费用Y(元),并判断X与Y是不是离散型随机变量.







5.同时掷两枚质地均匀的硬币.
(1)用X表示掷出正面的硬币个数,要表示试验的全部可能结果,X可取哪些值?
(2)X<2和X>0各表示什么?







题组二　离散型随机变量的分布列
6.一个袋子中装有形状、大小均相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5.在袋子中同时取出3个球,用X表示取出的3个球中的最小号码,写出随机变量X的分布列.







7.(2019河北邯郸高二期中)设集合S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.
(1)设“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举事件A包含的基本事件;
(2)设ξ=m2,求ξ的分布列.






题组三　离散型随机变量的分布列的性质
8.已知随机变量X的分布列如下表(其中m为常数):
X
1
2
3
4
5

P
115
215
m
415
13

则m的值为(　　)
A.115 B.15 C.215 D.415
9.(2019河南信阳高一期末)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数):
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果错误的是(　　)
A.a=0.1
B.P(X≥2)=0.7
C.P(X≥3)=0.4
D.P(X≤1)=0.3
10.(2019安徽合肥高二期中)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=i2a(i=1,2,3,4),则P(2 A.34 B.710 C.35 D.12
11.(2019广东广州高二检测)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=ck(1+k),其中k=1,2,3,c为常数,则P(ξ≥2)等于　(　　)
A.89 B.23 C.13 D.29
12.设随机变量X的分布列为PX=k5=ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求常数a的值;
(2)求PX≥35的值;
(3)求P110












题组四　两点分布与超几何分布
13.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)
A.将一枚质地均匀的硬币连抛3次,记正面向上的次数为X
B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部,记选出女生的人数为X
C.某射手射击的命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中目标的次数为X
D.盒中有形状、大小均相同的4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,记首次摸出黑球时的总次数为X
14.某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ表示1次试验的成功次数,则P(ξ=1)=(　　)
A.0 B.12 C.13 D.23
15.(2019江苏启东中学高一期中)某贫困县共管辖15个小镇,其中有9个小镇交通比较便利,有6个不太便利.现从中任意选取10个小镇,若其中有X个小镇交通不太便利,则下列概率中等于C64C96C1510的是(　　)
A.P(X=4) B.P(X≤4)
C.P(X=6) D.P(X≤6)
16.若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,则P(Y=-2)等于(　　)
A.0.8　 B.0.2　 C.0.4　 D.0.1
17.(2019重庆第八中学高二期末)10名学生中有a名女生,若从中抽取2名作为学生代表,恰好抽到1名女生的概率为1645,则a等于(　　)
A.1　 B.2或8　 C.2　 D.8
18.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛,则所选3人中,女生的人数不超过1的概率为　　　. 
19.(2019福建厦门一中高二期中)某支教队有8名老师,现欲从中随机选出2名老师参加志愿者活动.
(1)若规定选出的老师中至少有1名女老师,则共有18种不同的选取方案,试求该支教队男、女老师的人数;
(2)在(1)的条件下,记X为选出的2名老师中女老师的人数,写出X的分布列.










能力提升练　　　　　　　　　
一、选择题
1.(2019宁夏育才中学高二下期末,★★☆)设离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
110
x
310
110
则x等于(　　)
A.110　　 B.15　　 C.25　　 D.12
2.(★★☆)抛掷2枚骰子,正面所得点数之和ξ是一个随机变量,则P(ξ≤4)等于(　　)
A.16　　 B.13　　 C.12　　 D.23
3.(2019河北邢台第一中学高二月考,★★☆)已知随机变量X的分布列为
X
-2
-1
0
1
2
3
P
112
14
13
112
16
112
若P(X2 A.4≤t≤9 B.4 4.(2019广东惠州高二下期末,★★☆)盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,则概率是310的事件为(　　)
A.恰有1个是坏的　 B.4个全是好的
C.恰有2个是好的　 D.至多有2个是坏的
5.(★★☆)若P(X≤x2)=1-β,P(X≥x1)=1-α,其中x1 A.(1-α)(1-β) B.1-(α+β)
C.1-α(1-β) D.1-β(1-α)
6.(2019山西康杰中学高二下学期期末,★★☆)若离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=m·2k(2k+1-1)(2k-1)(1≤k≤5,k∈Z),则P32 A.631　　 B.6162　　 C.2531　　 D.6263
二、填空题
7.(2019福建福州实验中学高二下学期期末,★★☆)设ξ是一个离散型随机变量,其分布列为
ξ
-1
0
1
P
12
1-2q
q2
其中q为常数,则P(ξ≤0)=　　　　. 
8.(2019吉林高二期中,★★☆)设随机变量X的分布列为P(X=i)=k2i(i=1,2,3),则P(X≥2)=　　　　. 
9.(★★☆)袋中装有形状、大小均相同的5个红球和4个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得3分,取到1个黑球得1分,设得分为随机变量ξ,则P(ξ≥8)=　　　　. 
10.(★★☆)一批产品分为四个等级,从这批产品中随机抽取一个检验其质量,其中抽到一级产品的概率是抽到二级产品概率的两倍,抽到三级产品的概率是抽到二级产品概率的一半,抽到四级产品的概率与抽到三级产品的概率相等,用随机变量ξ表示抽到的该产品的等级,则P(ξ>1)=　　　　. 
11.(2019江苏盐城模拟,★★☆)一个袋子中装有10个形状、大小均相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79.若从袋中任意摸出3个球,记得到的白球个数为X,则P(X=2)=　　　. 
三、解答题
12.(★★☆)已知随机变量ξ的分布列如下表:
ξ
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差数列,公差为d.
(1)求P(|ξ|=1)的值;
(2)求公差d的取值范围;
(3)求函数f(x)=x2+ξ有且只有一个零点的概率.








13.(2019甘肃武威第五中学高二月考,★★☆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有形状、大小均相同的3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有形状、大小均相同的1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出的4个球中红球与蓝球的个数,设置一、二、三等奖如下(其余情况无奖,且每次摸奖最多只能获得一个奖级):
奖级
摸出红、蓝球的个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
(1)求在一次摸奖中,恰好摸到1个红球的概率;
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列.










14.(2019淮北师范大学附属实验中学高二月考,★★☆)箱中装有形状、大小均相同的4个白球和m(m∈N*)个黑球.现从箱中任取3个球,规定取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,假设每个球被取出的可能性相等.记随机变量X为取出的3个球所得分数之和.
(1)若P(X=6)=25,求m的值;
(2)当m=3时,求X的分布列.





15.(2019四川成都外国语学校高二月考,★★☆)在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件.求:
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列;
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.







16.(2019河南信阳高二期中,★★☆)从装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出2个球,规定:每取出1个黑球赢2元,每取出1个白球输1元,取出黄球无输赢.用X表示赢得的钱数.
(1)随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;
(2)求赢钱(即X>0)的概率.













答案全解全析
基础过关练
1.C　随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.对于C选项,江水的水位数可以是任意实数,是一个连续的变量,不是离散型随机变量.
2.C　由离散型随机变量的定义可知选项C中取到白球的个数是离散型随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,可以一一列出.易知选项A、选项B中“至少”“至多”取到1个白球是可以用随机变量表示的随机事件,选项D中取到的球的个数只能是2,是固定值,不是变量,故选C.
3.答案　-300,-100,100,300
解析　都回答不正确得-300分;答对1个问题得-100分;答对2个问题得100分;问题全答对得300分.故答案为-300,-100,100,300.
4.解析　因为上网时间不足1分钟的按1分钟计算,所以X的取值可以一一列举出来,所以X是离散型随机变量.
由题意得Y=0.04X+10,所以Y也是离散型随机变量.
5.解析　(1)同时掷两枚质地均匀的硬币时,掷出正面的硬币个数可能是0,1,2,所以X可取0,1,2.
(2)“X<2”表示事件“掷出正面的硬币个数小于2”,即事件“掷出正面的硬币个数为0或1”;“X>0”表示事件“掷出正面的硬币个数大于0”,即事件“掷出正面的硬币个数为1或2”.
6.解析　随机变量X的所有可能取值为1,2,3.
当X=1时,即取出的3个球中最小号码为1,则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取,故有P(X=1)=C42C53=610=35;
当X=2时,即取出的3个球中最小号码为2,则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取,故有P(X=2)=C32C53=310;
当X=3时,即取出的3个球中最小号码为3,则其他2个球只能是编号为4,5的2个球,故有P(X=3)=C22C53=110.
因此随机变量X的分布列为
X
1
2
3

P
35
310
110

7.解析　(1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}.
由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,
所以事件A包含的基本事件为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).
(2)由于m的所有可能取值为-2,-1,0,1,2,3,
所以ξ=m2的所有可能取值为0,1,4,9,且有P(ξ=0)=16,P(ξ=1)=26=13,P(ξ=4)=26=13,P(ξ=9)=16.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
4
9
P
16
13
13
16
8.B　由分布列中概率之和为1,得115+215+m+415+13=1,解得m=15,故选B.
9.C　易得a=0.1,则P(X≥3)=0.3,故选C.
10.B　依题意,得12a+22a+32a+42a=1,解得a=5,所以P(2 11.C　根据分布列中所有概率的和为1,得c1×2+c2×3+c3×4=1,解得c=43,
则P(ξ=k)=43·1k(1+k),所以P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=43×12×3+13×4=13.故选C.
12.解析　(1)由分布列的性质可知,a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=115.
(2)∵PX=k5=115k(k=1,2,3,4,5),
∴PX≥35=PX=35+PX=45+P(X=1)=315+415+515=45.
(3)当110 13.B　由超几何分布的定义可知B正确.
14.D　∵该项试验的成功率是失败率的2倍,用离散型随机变量ξ表示1次试验成功的次数,∴设失败率为p,则成功率为2p.
则ξ的分布列为
ξ
0
1
P
p
2p
∴p+2p=1,解得p=13,∴P(ξ=1)=23.故选D.
15.A　由题意得X服从超几何分布,因为该贫困县管辖的15个小镇中有6个小镇交通不太便利,所以从这6个交通不太便利的小镇中选取4个,其概率P(X=4)=C64C96C1510,故选A.
16.A　因为Y=3X-2,所以X=13(Y+2).当Y=-2时,X=0,所以P(Y=-2)=P(X=0)=0.8.
17.B　由题意知,1645=Ca1C10-a1C102,解得a=2或a=8.
18.答案　45
解析　设所选3人中女生的人数为随机变量X,则X服从超几何分布,所以P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C20C43C63+C21C42C63=45.
19.解析　(1)设男老师总共有x人,则女老师共有(8-x)人(1≤x≤8,x∈N*),
若选出的老师中至少有1名女老师,则共有C82-Cx2=28-x(x-1)2=18种不同的选取方案,
即x(x-1)=20,解得x=5(x=-4舍去),所以8-x=3,所以该支教队共有男老师5人,女老师3人.
(2)易知X的所有可能取值为0,1,2,
则X=0表示选出2名男老师,P(X=0)=C52C82=1028=514,
X=1表示选出1名男老师与1名女老师,P(X=1)=C51C31C82=1528,
X=2表示选出2名女老师,P(X=2)=C32C82=328,
故X的分布列为
X
0
1
2
P
514
1528
328
能力提升练
一、选择题
1.D　由离散型随机变量的分布列的性质知,110+x+310+110=1,解得x=12,故选D.
2.A　正面所得点数之和ξ的所有可能取值为2,3,4,…,12,所以P(ξ≤4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=136+236+336=16,故选A.
3.B　由随机变量X的分布列知,X2的所有可能取值为0,1,4,9,且P(X2=0)=13,
P(X2=1)=14+112=13,P(X2=4)= 112+16 = 14,P(X2=9)= 112,
∵P(X2 4.C　设“X=k”表示“取出的螺丝钉中恰有k个是好的”,则P(X=k)=C7kC34-kC104(k=1,2,3,4).所以P(X=1)=130,P(X=2)=310,P(X=3)=12,P(X=4)=16,故选C.
5.B　显然P(X>x2)=β,P(Xx2)-P(X 6.A　由题意得P(X=k)=m12k-1-12k+1-1(1≤k≤5,k∈Z),则由离散型随机变量的分布列的性质可得P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=5)=m121-1-122-1+122-1-123-1+…+125-1-126-1=m1-126-1=1,∴m=6362,故P32 二、填空题
7.答案　2-12
解析　由离散型随机变量的分布列的性质,得1-2q≥0,12+(1-2q)+q2=1,
解得q=1-22或q=1+22(舍去).
所以P(ξ≤0)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)=12+1-2×1-22=2-12.
8.答案　37
解析　因为随机变量X的分布列为P(X=i)=k2i(i=1,2,3),所以P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=k2+k22+k23=78k=1,解得k=87,
因此P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=38k=37.故答案为37.
9.答案　56
解析　由题意知P(ξ≥8)=1-P(ξ=6)-P(ξ=4)=1-C51C43C94-C44C94=56.
10.答案　12
解析　依题意,P(ξ=1)=2P(ξ=2),P(ξ=3)=12P(ξ=2),P(ξ=4)=P(ξ=3),由离散型随机变量的分布列的性质得,P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=1,
∴4P(ξ=2)=1,解得P(ξ=2)=14,
∴P(ξ=3)=18,P(ξ=4)=18.∴P(ξ>1)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=12.
11.答案　512
解析　设10个球中有m个白球,则C10-m2C102=1-79,
解得m=5或m=14(舍去).
所以P(X=2)=C52C51C103=512.

三、解答题
12.解析　(1)因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,又a+b+c=1,解得b=13,则P(|ξ|=1)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)=a+c=23.
(2)由(1)可知,a=13-d,c=13+d,由分布列的性质,得0≤13-d≤23且0≤13+d≤23,所以-13≤d≤13.
(3)因为函数f(x)=x2+ξ有且只有一个零点,
所以ξ=0,又P(ξ=0)=13,故函数f(x)有且只有一个零点的概率为13.
13.解析　(1)设Ai(i=0,1,2,3)表示在一次摸奖中摸到i个红球,则恰好摸到1个红球的概率为
P(A1)=C31C42C73=1835.
(2)X的所有可能取值为0,10,50,200,
则P(X=200)=C33C11C73C31=1105,P(X=50)=C33C21C73C31=2105,
P(X=10)=C32C41C11C73C31=12105=435,P(X=0)=1-1105-2105-435=67,
∴X的分布列为
X
200
50
10
0
P
1105
2105
435
67
14.解析　(1)由题意得,取出的3个球都是白球时,X=6,
∴P(X=6)=C43Cm+43=25,即Cm+43=10,解得m=1.
(2)由题意得,当m=3时,X的所有可能取值为3,4,5,6,
则P(X=3)=C33C73=135,P(X=4)=C32C41C73=1235,P(X=5)=C31C42C73=1835,P(X=6)=C43C73=435.
∴X的分布列为
X
3
4
5
6
P
135
1235
1835
435
15.解析　(1)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,且X服从参数为N=10,M=3,n=3的超几何分布,因此P(X=k)=C3kC73-kC103(k=0,1,2,3).所以P(X=0)=C30C73C103=35120=724,P(X=1)=C31C72C103=63120=2140,P(X=2)=C32C71C103=21120=740,P(X=3)=C33C70C103=1120.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
724
2140
740
1120
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1,
“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取出3件一等品”为事件A3,
则事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1+A2+A3,
又P(A1)=C31C32C103=340,P(A2)=P(X=2)=740,P(A3)=P(X=3)=1120,
所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=340+740+1120=31120.
16.解析　(1)从箱中取2个球的情形有6种:
{2个白球},{1个白球,1个黄球},{1个白球,1个黑球},{2个黄球},{1个黑球,1个黄球},{2个黑球}.当取到2个白球时,随机变量X=-2;当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1;当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1;
当取到2个黄球时,随机变量X=0;　
当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2;
当取到2个黑球时,随机变量X=4;
所以随机变量X的所有可能取值为-2,-1,0,1,2,4.
P(X=-2)=C62C122=522,P(X=-1)=C61C21C122=211,
P(X=0)=C22C122=166,P(X=1)=C61C41C122=411,
P(X=2)=C41C21C122=433,P(X=4)=C42C122=111.
所以X的分布列为
X
-2
-1
0
1
2
4
P
522
211
166
411
433
111
(2)P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=411+433+111=1933.