高中数学2.4正态分布巩固练习

这是一份高中数学2.4正态分布巩固练习，共20页。试卷主要包含了下列关于正态分布N的命题，已知三个正态分布密度函数，4 kg，设随机变量X~N,P=0等内容，欢迎下载使用。

题组一 正态曲线及其特点
1.(2019山东烟台栖霞二中高二下学期期末)下列关于正态分布N(μ,σ2)(σ>0)的命题:
①正态曲线关于y轴对称;
②当μ一定时,σ越大,正态曲线越“矮胖”,σ越小,正态曲线越“瘦高”;
③设随机变量X~N(2,4),则D12X等于2;
④当σ一定时,正态曲线的位置由μ确定,随着μ的变化曲线沿x轴平移.
其中正确的是( )
A.①②B.③④C.②④D.①④
2.(2019贵州思南中学高二月考)已知三个正态分布密度函数
φi(x)=12πσ1e-(x-μi)22σi2(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则( )
A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3B.μ1=μ2<μ3,σ1=σ2<σ3
C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
3.(2019四川眉山一中高二上学期期中)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正态分布密度曲线如图所示,则下列说法错误的是( )
A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99
4.江先生上班通常乘坐公交或乘坐地铁,且他从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些,但乘坐公交的路上经常拥堵,所需时间Z(单位:分钟)服从正态分布N(33,42),下车后从公交站步行到单位要12分钟;乘坐地铁畅通,但路线长且乘客多,所需时间Y(单位:分钟)服从正态分布N(44,22),下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.若江先生要在9点钟之前赶到单位打卡上班,则①若8:00出门,则乘坐公交不会迟到;②若8:02出门,则乘坐地铁不迟到的可能性更大;③若8:06出门,则乘坐公交不迟到的可能性更大;④若8:12出门,则乘坐地铁几乎不可能不迟到.从统计的角度认为,以上说法中所有合理说法的序号是 .
参考数据:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ0.682 7,P(μ-2σ5.已知随机变量X~N(μ,σ2),且正态分布密度函数在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,P(72(1)求参数μ,σ的值;
(2)求P(64附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ题组二 正态分布的概率计算
6.(2020天津南开中学高二期末)设随机变量X~N(3,1.52),P(X<4)=0.7,则P(X≤2)=( )
A.0.3 B.0.4
C.0.2 D.0.1
7.(2019海南枫叶国际学校高二期末)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X≤4)=0.88,则P(0

8.若随机变量ξ~N(0,1),且ξ在区间(-3,-1)和(1,3)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的大小关系为( )
A.p1>p2B.p1=p2C.p19.设随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),若P(ξ<-2)=0.1,则函数f(x)=13x3+2x2+ξ2x有极值点的概率为( )
A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5
10.随机变量ξ~N(μ,σ2),若P(μ-2<ξ≤μ)=0.241,则P(ξ>μ+2)= .
11.(2020广东华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学高三上学期期末联考)已知随机变量X~B(2,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.64,P(0≤Y≤2)=p,则P(Y>4)= .
题组三 正态分布的应用
12.(2020安徽六安高三上学期第一次月考)已知随机变量X服从正态分布N(100,4),若P(m(附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.100B.101C.102D.103
13.(2020江西新余高二上学期期末)设随机变量X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,若向正方形ABCD中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )
(附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.7 539B.7 028
C.6 587D.6 038
14.(2019山东济南高二下学期期末)某工厂生产的零件外直径X(单位:cm)服从正态分布N(10,0.04),今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为9.75 cm和9.35 cm,则可认为( )
A.上午生产情况异常,下午生产情况正常
B.上午生产情况正常,下午生产情况异常
C.上、下午生产情况均正常
D.上、下午生产情况均异常
15.已知某次数学考试的成绩X近似服从正态分布N(112,16),则
10 000名考生中成绩在120分以上的人数约为 .(附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ16.(2019湖北宜昌高二期末)在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100),已知成绩在80到90分之间的学生有120名,若该校计划奖励竞赛成绩在90分以上(含90分)的学生,估计获奖的学生有 名.(计算结果取整)(参考数据:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ17.为了监控某种零件在一条生产线上的生产质量,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位: cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检的零件中,如果出现了尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,试用所学知识说明上述监控生产质量的方法的合理性.
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ能力提升练
一、选择题
1.(2019湖南长郡中学高二期末,★★☆)已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布N(1,32),若从这批零件中任取一件,其长度误差落在区间(4,7]内的概率为( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5)
6 9
8 4
2.(2019贵州安顺第一高级中学高二期末,★★☆)某面粉供应商所供应的某种袋装面粉的质量服从正态分布N(10,0.12)(单位:kg),现随机抽取500袋样本,用X表示抽取的面粉质量在(10,10.2]内的袋数,则X的数学期望约为(计算结果保留整数)( )
(附:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-2σA.171 B.239
C.341 D.477
3.(★★☆)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示,则( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≥σ2)≥P(X≥σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
二、填空题
4.(★★☆)如果随机变量X~N(μ,σ2),E(X)=3,D(X)=1,且P(2≤X≤4)≈0.682 7,则P(X>4)= .
三、解答题
5.(★★★)山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成,总分为750分.其中,统一高考科目为语文、数学、外语,自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6门科目中选择的3门,其中语、数、外三科各占150分,选考科目成绩则采用“赋分制”,即原始分数不直接用,而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此进行转换得到最后得分.根据高考综合改革方案,每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到91~100、81~90、71~80,61~70、51~60、41~50、31~40、21~30八个分数区间,得到考生的等级成绩.
例如,某考生化学学科的原始分为65分,该学科C+等级的原始分分布区间为58~69,则该同学化学学科的原始成绩属C+等级,而C+等级的转换分区间为61~70,若设该同学化学学科的转换等级分为x分,则该同学化学学科的转换分为
69-6565-58=70-xx-61,解得x≈66.73,四舍五入后可得该同学化学学科的赋分成绩为67分.
(1)某校高一年级共2 000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六门选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩ξ近似服从正态分布N(60,122).
(i)若小明同学在这次考试中物理学科的原始分为84分,等级为B+,其所在原始分分布区间为82~93,求小明转换后的物理成绩;
(ii)求物理学科原始分在区间[72,84]内的人数;
(2)按新的高考改革方案,若从全省考生中随机抽取4人,记X表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数,求X的分布列和数学期望.
(附:若随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈
0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3)
答案全解全析
基础过关练
1.C ①正态曲线关于直线x=μ对称,故①不正确;②当μ一定时,σ越大,正态曲线越“矮胖”,σ越小,正态曲线越“瘦高”,故②正确;③若随机变量X~N(2,4),则D12X的值等于1,故③不正确;④当σ一定时,正态曲线的位置由μ确定,随着μ的变化曲线沿x轴平移,故④正确.故选C.
2.D 由正态分布密度曲线的特点可知,当正态分布密度函数为
φi(x)=12πσ1e-(x-μi)22σi2(x∈R,i=1,2,3)时,其对应图象的对称轴为直线x=μi,由题图易知,y=φ2(x)与y=φ3(x)的图象的对称轴重叠,且均位于y=φ1(x)的图象的对称轴的右侧,故μ1<μ2=μ3.又当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,故σ2<σ3,由题图易知y=φ1(x)与y=φ2(x)的图象形状相同,故σ1=σ2<σ3.故选D.
3.D 由题图可知,甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg,乙类水果的平均质量μ2=0.8 kg,且甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故A,B,C中说法正确;乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足12πσ2=1.99,∴σ2≠1.99,故D中说法错误,故选D.
4.答案 ③④
解析 ①若8:00出门,江先生乘坐公交,因为从家到公交站要5分钟,下公交后步行到公司要12分钟,并且乘坐公交车所需时间Z服从正态分布N(33,42),所以当满足Z≤43时,江先生不会迟到,又P(Z>45)=1-P(210.841 35,故江先生乘公交不会迟到的概率约为0.841 35;若8:06出门,江先生乘坐地铁,因为从家到地铁站要5分钟,下地铁后步行到公司要5分钟,并且乘坐地铁所需时间Y服从正态分布N(44,22),故当满足Y≤44时,江先生不会迟到,又P(Y≤44)=12=0.5,故江先生乘地铁不会迟到的概率为0.5,此时比较两种上班方式,显然江先生乘坐公交不迟到的可能性更大,故③正确.
④若8:12出门,江先生乘坐地铁,因为从家到地铁站要5分钟,下地铁后步行到公司要5分钟,并且乘坐地铁所需时间Y服从正态分布N(44,22),故当满足Y≤38时,江先生不会迟到,又P(Y≤38)=1-P(385.解析 (1)由题意得,正态曲线关于直线x=80对称,即参数μ=80.
因为P(72所以结合P(μ-σ(2)P(μ-2σ因为P(X≤64)=P(X>96),
所以P(X≤64)≈12×(1-0.954 5)
=12×0.045 5=0.022 75.
所以P(X>64)=0.977 25.
又P(X≤72)=12[1-P(72≈12×(1-0.682 7)=0.158 65,
所以P(X>72)=0.841 35,
P(6464)-P(X>72)=0.135 9.
6.A 由于P(X<4)=0.7,故P(X≥4)=0.3,则P(X≤2)=P(X≥4)=0.3,故选A.
7.B 因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),所以其对应函数的图象的对称轴为直线x=2,又P(X≤4)=0.88,所以P(X≥4)=P(X≤0)=1-0.88=0.12,
所以P(08.B 画出该正态分布密度函数的图象,如图:
由图象的对称性可得,P(-3<ξ<-1)=P(1<ξ<3),故p1=p2.故选B.
9.C ∵函数f(x)=13x3+2x2+ξ2x有极值点,∴f '(x)=x2+4x+ξ2=0有解,
∴Δ=16-4ξ2≥0,∴-2≤ξ≤2,
∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ<-2)=0.1,∴P(ξ>6)=P(ξ<-2)=0.1,
∴P(-2≤ξ≤2)=1-2×0.12=0.4.故选C.
10.答案 0.259
解析 ∵ξ~N(μ,σ2),∴2P(ξ>μ+2)=1-2P(μ-2<ξ≤μ)=0.518,∴P(ξ>μ+2)=0.259.故答案为0.259.
11.答案 0.1
解析 ∵随机变量X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-C20(1-p)2=0.64,解得p=0.4(p=1.6舍去).又Y~N(2,σ2),∴P(Y>4)=P(Y<0)=0.5-P(0≤Y≤2)=0.5-0.4=0.1,故答案为0.1.
12.C 因为P(μ-σP(μ-2σ所以P(μ-2σ13.C 由题意知,正方形ABCD的边长为1,所以其面积S=1,又因为随机变量X~N(1,1),所以其正态分布密度曲线关于直线x=1对称,且σ=1,又由P(μ-σ14.B ∵X服从正态分布N(10,0.04),∴μ=10,σ=0.2,∴X∈(10-0.2×3,10+0.2×3),即X∈(9.4,10.6),∴上午生产情况正常,下午生产情况异常,故选B.
15.答案 228
解析 由已知得μ=112,σ=4,则P(104P(X>120)≈12(1-0.954 5)=0.022 75,
又0.022 75×10 000≈228,故成绩在120分以上的人数约为228.
16.答案 20
解析 由题意可得,μ=70,σ=10.
若参赛学生的竞赛分数记为X,则P(800.135 9,
∵1200.135 9≈883,∴参赛的学生共约有833名,
又883×1-0.954 52≈20,∴估计获奖的学生有20名.
解析 (1)由题意可知尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ]之内的概率约为0.997 3,则其落在(μ-3σ,μ+3σ]之外的概率约为1-0.997 3=
0.002 7,因为P(X=0)=C160×0.002 70×0.997 316≈0.957 7,所以P(X≥1)=1-P(X=0)≈0.042 3,又因为X~B(16,0.002 7),所以E(X)=16×0.002 7=0.043 2.
如果生产状态正常,则一个零件的尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有0.002 7,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ]之外的零件的概率只有0.042 3,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,可见上述监控生产质量的方法是合理的.
能力提升练
一、选择题
1.B 因为ξ服从正态分布N(1,32),所以μ=1,σ=3,所以P(-2<ξ≤4)=P(1-3<ξ≤1+3)≈0.682 7,P(-5<ξ≤7)=P(1-2×3<ξ≤1+2×3)≈0.954 5,
所以P(4<ξ≤7)=P(-5<ξ≤7)-P(-2<ξ≤4)2≈0.135 9,故选B.
2.B 由题意,设该种袋装面粉的质量为Z,易知Z服从正态分布N(10,0.12),所以μ=10,σ=0.1,
又P(μ-2σ3.C 由题图得,P(Y≥μ2)=12σ1>0,得P(X≥σ2)二、填空题
4.答案 0.158 65
解析 画出该正态分布密度函数的图象,如图.μ=E(X)=3,
σ2=D(X)=1,P(3≤X≤4)=12P(2≤X≤4)≈0.341 35,观察图象得P(X>4)=0.5-P(3≤X≤4)=0.5-0.341 35=0.158 65.
三、解答题
5.解析 (1)(i)易知B+等级的转换分区间为81~90.设小明转换后的物理等级分为x分,则93-8484-82=90-xx-81,解得x≈82.64.
即小明转换后的物理成绩为83分.
(ii)因为物理考试原始成绩ξ近似服从正态分布N(60,122),
所以P(72≤ξ≤84)=P(60≤ξ≤84)-P(60≤ξ≤72)=12P(36≤ξ≤84)-12P(48≤ξ≤72)≈12(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
所以物理学科原始分在区间[72,84]内的人数为2 000×0.135 9≈272.
(2)由题意得,随机抽取1人,其等级成绩在区间[61,80]内的概率为16%+24%=40%=25,
则这4人中等级成绩在[61,80]的人数X~B4,25.
P(X=0)=354=81625,
P(X=1)=C41×251×353=216625,
P(X=2)=C42×252×352=216625,
P(X=3)=C43×253×351=96625,
P(X=4)=254=16625.
故X的分布列为
数学期望E(X)=4×25=85.X
0
1
2
3
4
P
81625
216625
216625
96625
16625