高中数学人教版新课标A选修2-32.2二项分布及其应用同步练习题

2.2　二项分布及其应用

2.2.1　条件概率

2.2.2　事件的相互独立性

基础过关练

题组一　条件概率

1.(2020北京昌平高三第三次月考)将三枚质地均匀的骰子各掷一次并观察其正面朝上的点数,设事件A为“三个点数都不相同”,事件B为“至少出现一个6点”,则P(A|B)的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

2.(2019河南南阳高二期末)某班有6名班干部,其中4名男生,2名女生,从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为(　　)

A.     B.

C.     D.

3.(2019吉林长春实验中学高二期末)某市气象台统计,7月15日该市某区下雨的概率为,刮风的概率为,既刮风又下雨的概率为,设事件A表示这一天会下雨,事件B表示这一天会刮风,那么P(A|B)=(　　)

A.     B.

C.     D.

4.(2019江西九江高二上学期期末)某射击手射击一次命中的概率为0.8,连续射击两次均命中的概率是0.6,已知该射击手第一次命中,则他第二次也命中的概率是　(　　)

A.　　 B.　　

C.　　 D.

5.(2019内蒙古赤峰第二中学高二期末)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“四名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(B|A)=(　　)

A.     B.

C.     D.

6.(2019重庆江津中学、合川中学等七校高二下学期期末联考)袋中装有10个形状、大小均相同的小球,其中有6个红球和4个白球.从中不放回地依次摸出2个球,记事件A为“第一次摸出的是红球”,事件B为“第二次摸出的是白球”,则P(B|A)=(　　)

A.　　 B.　　

C.　　 D.

7.(2019广西桂林高二期末)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为(　　)

A.0.75 B.0.6

C.0.52 D.0.48

8.(2019广东广州高二期末)从1、2、3、4、5、6中任取两个数,记事件A:取到的两个数之和为偶数,事件B:取到的两个数均为偶数,则P(B|A)=(　　)

A.     B.

C.    D.

9.(2019福建莆田六中高二上学期期中)已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)=　　　　. 

题组二　事件的相互独立性的判断

10.(2019陕西咸阳高二期末)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,在下列事件中,与事件“第一次得到6点”不是相互独立事件的是(　　)

A.“两次得到的点数和是12”

B.“第二次得到6点”

C.“第二次的点数不超过3”

D.“第二次的点数是奇数”

11.(2019天津耀华中学高二期末)设M,N为两个随机事件,给出以下命题:(1)若M,N为互斥事件,且P(M)=,P(N)=,则P(M∪N)=;

(2)若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件;

(3)若P()=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件;

(4)若P(M)=,P()=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件;(5)若P()=,P()=,P(　)=,则M,N为相互独立事件.其中正确命题的个数为(　　)

A.1    B.2

C.3    D.4

题组三　事件的相互独立性的应用

12.(2020天津高三上学期期中)现让两个实习生每人加工一个零件.已知他们加工的零件为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)

A.     B.

C.  D.

13.甲骑自行车从A地到B地,途中要经过三个十字路口.已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是,且在每个路口是否遇到红灯相互独立,那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才遇到红灯的概率是(　　)

A.　　 B.　　

C.　　 D.

14.(2019福建莆田一中高二期中)为了提高学生的身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校一篮球运动员正进行投篮练习,若他前一球投进则后一球投进的概率为,若他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1个球投进的概率为,则他第3个球投进的概率为(　　)

A.     B.

C.  D.

15.(2019北京大兴高二期末)甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛,首先甲、乙一组,丙、丁一组进行比赛,然后两组的胜者进入决赛,决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如表所示,表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率.

那么甲获得冠军且丙获得亚军的概率是(　　)

A.0.15 B.0.105 C.0.045 D.0.21

16.(2020四川广安、遂宁、资阳等七市高三上学期第一次诊断性考试)某项羽毛球单打比赛采用三局两胜制,若运动员甲、乙两人进入了男子羽毛球单打决赛,假设甲每局比赛获胜的概率都为,且每局比赛是否获胜互不影响,则由此估计甲获得冠军的概率为　　　　. 

17.(2020湖南益阳高三上学期期末)在一个不透明的箱中装有形状、大小均相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人轮流从箱中摸球,每次摸取一个球,规则如下:若摸到绿球,则将此球放回箱中可继续再摸;若摸到红球,则将此球放回箱中改由对方摸球.若甲先摸球,则在前四次摸球中,甲恰好摸到两次绿球的概率是　　　　. 

18.(2020江西南昌第八中学高三上学期期末)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.7,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　. 

19.(2019江西上饶高二月考)在一只布袋中装有形状、大小均相同的32颗棋子,其中有16颗红棋子,16颗绿棋子.某人无放回地依次从中摸出2颗棋子,则第1次摸出红棋子,第2次摸出绿棋子的概率是　　　　. 

20.一射击手对同一目标独立地进行4次射击,已知他至少命中一次的概率为,则此射击手的命中率是　　　　. 

21.若事件A,B,C相互独立,且P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=　　　;P(B)=　　　. 

能力提升练

一、选择题

1.(2019湖南长沙一中高二月考,★★☆)在形状如图所示的两个游戏盘(图①是半径分别为2和4的两个同心圆,圆心为O;图②是正六边形,点P为其中心)中各有一个玻璃小球,依次摇动2个游戏盘后,将它们水平放置,就完成了一局游戏,则一局游戏后,这两个盘中的小球都停在阴影部分的概率是(　　)

A. B.  C.   D.

2.(2019广东广州执信中学上学期高二测试,★★☆)某公交线路的某区间内共设置四个站点(如图),分别记为A0,A1,A2,A3,现有甲、乙两人同时从A0站点上车,且他们中的每个人在站点Ai(i=1,2,3)下车是等可能且相互独立的,则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为(　　)

A.　　 B.　　 C.　　 D.

3.(2019四川成都第七中学高三一模,★★☆)如果{an}不是等差数列,但∃k∈N*,使得ak+ak+2=2ak+1,那么称{an}为局部等差数列.已知数列{xn}的项数为4,记事件A为“{x1,x2,x3,x4}⊆{1,2,3,4,5}”,事件B为“{xn}为局部等差数列”,则P(B|A)=(　　)

A.　　 B.　　 C.　　 D.

4.(2019山东潍坊寿光现代中学高二期末,★★☆)在荷花池中,有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶上),如图所示,而且按逆时针方向跳的概率是按顺时针方向跳的概率的两倍.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后仍停在A叶上的概率是(　　)

A.　　 B.　　 C.　　 D.

二、填空题

5.(★★☆)某家公司用三台机器A1,A2,A3生产同一种产品,生产量分别占总产量的,,,且其产品的不良率分别占其产量的2.0%,1.2%,1.0%,则任取此公司的一件产品,其为不良品的概率是　　　　,若已知此产品为不良品,则其是由A1生产出来的概率是　　　. 

6.(★★☆)在一次象棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比赛顺序如下:第一局,甲对乙;第二局,第一局胜者对丙;第三局,第二局胜者对第一局败者;第四局,第三局胜者对第二局败者,则乙连胜四局的概率为　　　　. 

7.(★★☆)甲、乙两人进行跳绳比赛,规定:若甲赢一局,则比赛结束,甲胜出;若乙赢两局,则比赛结束,乙胜出.已知每一局中甲、乙两人获胜的概率分别为、,则甲胜出的概率为　　　　. 

8.(★★☆)甲袋中有形状、大小均相同的5个白球,7个红球;乙袋中有形状、大小均相同的4个白球,2个红球,从两个袋子中选出一袋,然后从其中任取一球,则取到白球的概率是　　　. 

三、解答题

9.(2019四川成都高二期末,★★☆)为了促进学生的全面发展,某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设,2019年该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”,已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立,根据报名情况和他本人的才艺能力判断,该学生两个社团都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为,并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率.

(1)求该同学通过考核选拔进入“电影社”的概率p1和进入“心理社”的概率p2;

(2)学校根据这两个社团的活动安排情况,对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分,对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1的概率.

答案全解全析

基础过关练

1.A　∵P(A|B)= ,P(AB)= = ,P(B)=1-P()=1-=1-=,

∴P(A|B)===,故选A.

2.A　由题意,设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,则P(A)= = = ,P(AB)= = ,所以P(B|A)= = ,故选A.

3.B　由题意,可知P(A)=,P(B)=,P(AB)=,利用条件概率的计算公式,可得P(A|B)===,故选B.

4.A　设该射击手第一次命中,第二次也命中的概率为P,∵该射击手射击一次命中的概率为0.8,连续射击两次均命中的概率是0.6,

∴0.8P=0.6,解得P=.故选A.

5.A　易知事件AB为“四名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”,

则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==·=.

故选A.

6.C　由题意得,P(A)==,

P(AB)=×=,

所以P(B|A)==,故选C.

7.A　记事件A:该元件使用寿命超过1年,事件B:该元件使用寿命超过2年,

则P(A)=0.8,P(AB)=P(B)=0.6,因此,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概 率为P(B|A)===0.75,故选A.

8.D　事件A包含两种情况:取到的两个数均为奇数和取到的两个数均为偶数,所以P(A)==,P(AB)==,由条件概率的计算公式可得,P(B|A)==,故选D.

9.答案　

解析　∵P(B|A)=,P(A)=,

∴P(AB)=P(B|A)P(A)=,故答案为.

10.A　“第二次得到6点”“第二次的点数不超过3”“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立,而“两次得到的点数和是12”说明第一次和第二次都得到6点,故二者不是相互独立事件,故选A.

11.C　若M,N为互斥事件,且P(M)=,P(N)=,则P(M∪N)=+=,

故(1)正确;若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则由相互独立事件的定义可知M,N为相互独立事件,故(2)正确;若P()=,P(N)=,P(MN)=,则P(M)=1-P()=,P(MN)=P(M)·P(N),所以M,N为相互独立事件,故(3)正确;若P(M)=,P()=,P(MN)=,则当M,N为相互独立事件时,P(N)=1-P()=,P(MN)=×=≠,故(4)错误;若P()=,P()=,P(　)=,则P(　)=P()×P()=×=≠,

所以M,N不是相互独立事件,故(5)错误.故选C.

12.B　记事件A为“这两个零件中恰有一个一等品”,事件A1为“仅第一个实习生加工的零件为一等品”,事件A2为“仅第二个实习生加工的零件为一等品”,则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×=,故选B.

13.C　由题意知甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才遇到红灯的概率P=××=.故选C.

14.D　分以下两种情况讨论:

①第2个球投进,其概率为×+×=,第3个球投进的概率为×=;

②第2个球投不进,其概率为1-=,第3个球投进的概率为×=.

综上所述,第3个球投进的概率为+=,故选D.

15.C　甲、乙比赛中甲获胜的概率是0.3,丙、丁比赛中丙获胜的概率是0.5,甲、丙决赛中甲获胜的概率是0.3,由相互独立事件的定义可知,甲获得冠军且丙获得亚军的概率为0.3×0.5×0.3=0.045.故选C.

16.答案　

解析　因为甲获胜的方式有2∶0和2∶1两种,所以甲获得冠军的概率P=+×××=.故答案为.

17.答案　

解析　设“甲摸到绿球”为事件A,“甲摸到红球”为事件,“乙摸到绿球”为事件B,“乙摸到红球”为事件,则P(A)=,P()=,P(B)=,P()=,则在前四次摸球中,甲恰好摸到两次绿球的情况是AA(B+),A　A,　AA,所以P=×××1+×××+×××=.故答案为.

18.答案　0.245

解析　甲队以4∶1获胜包含的情况有:

①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,其概率p1=0.3×0.7×0.5×0.5×0.7=0.036 75;

②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,其概率p2=0.7×0.3×0.5×0.5×0.7=0.036 75;

③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,其概率p3=0.7×0.7×0.5×0.5×0.7=0.085 75;

④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,其概率p4=0.7×0.7×0.5×0.5×0.7=0.085 75,

则甲队以4∶1获胜的概率p=p1+p2+p3+p4=0.036 75+0.036 75+0.085 75+0.085 75=0.245.

故答案为0.245.

19.答案　

解析　由题意,无放回地依次从中摸出2颗棋子,则第1次摸出红棋子的概率是=,

第2次摸出绿棋子的概率是,由相互独立事件的定义可得,第1次摸出红棋子,第2次摸出绿棋子的概率P=×=.故答案为.

20.答案　

解析　设此射击手每次射击命中的概率为P,分析可得,至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中,由题意可知,四次全都没有命中的概率为1-=,所以(1-P)4=,解得P=或P=(舍去),故答案为.

21.答案　;

解析　由题意得,

又所以

所以P(B)=P()P(B)=×=.

能力提升练

一、选择题

1.A　记一局游戏后,这两个盘中的小球分别停在其阴影部分为事件A1,A2,

由题意知,A1,A2相互独立,且P(A1)==,P(A2)=,

所以“一局游戏后,这两个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为P(A1A2)=P(A1)·P(A2)=×=.故选A.

2.A　设事件A为“甲、乙两人不在同一站点下车”,

由题意知甲、乙两人同在A1站点下车的概率为×=;

甲、乙两人同在A2站点下车的概率为×=;

甲、乙两人同在A3站点下车的概率为×=,

所以甲、乙两人在同一站点下车的概率P()=3×=,则P(A)=1-=,故选A.

3.C　由题意知,事件A共包含·=120个基本事件,事件B共包含24个基本事件,其中含1,2,3的局部等差数列分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3,共3个,含3,2,1的也有3个,总共6个,

同理,含3,4,5的和含5,4,3的有6个,

含2,3,4的和含4,3,2的有4个,

含1,3,5的和含5,3,1的有8个,

∴P(B|A)==.故选C.

4.A　设按顺时针方向跳的概率为P,则按逆时针方向跳的概率为2P,由题意可得P+2P=3P=1,解得P=,即按顺时针方向跳的概率为,按逆时针方向跳的概率为,若现在青蛙在A叶上,跳三次之后仍停在A叶上,则需满足按逆时针方向跳三次或者按顺时针方向跳三次.①若按逆时针方向跳,则对应的概率为××=;②若按顺时针方向跳,则对应的概率为××=,则所求概率为+=,故选A.

二、填空题

5.答案　;

解析　由题意知,事件“任取此公司的一件产品,其为不良品”的概率P1=×2.0%+×1.2%+×1.0%=,

事件“已知此产品为不良品,则其是由A1生产出来”的概率P2==.

6.答案　0.09

解析　乙连胜四局,即乙先胜甲,然后胜丙,接着再胜甲,最后再胜丙,所以所求概率P=(1-0.4)×0.5×(1-0.4)×0.5=0.09.

7.答案　

解析　甲胜出的情况有两种,一种是甲第一局获胜,另外一种是甲第一局输了,第二局获胜.设事件Ai为“甲在第i局获胜”(i=1,2),事件B为“甲胜出”,则P(B)=P(A1)+P(A2).依题意可得P(A1)=P(A2)=,因为两场比赛相互独立,所以P(A2)=P()×P(A2)=×=,从而P(B)=+=.

8.答案　

解析　设事件A为“取到甲袋”,事件B为“取到白球”,分两种情况进行讨论.若取出的是甲袋,则此时取到白球的概率P1=P(A)·P(B|A),依题意可得P(A)=,P(B|A)=,所以P1=×=;若取出的是乙袋,则此时取到白球的概率P2=P()·P(B|),依题意可得P()=,P(B|)==,所以P2=×=.综上所述,取到白球的概率P(B)=P1+P2=.

三、解答题

9.解析　(1)由题意得

解得

(2)记该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为ξ,易知ξ的所有可能取值为0,0.5,1,1.5.

又P(ξ=1)=×=,P(ξ=1.5)=×=,

∴该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1的 概 率P=+=.