人教版新课标A选修2-32.3离散型随机变量的均值与方差导学案

【考纲知识梳理】

一、随机变量及其分布列

1．离散型随机变量

所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。

2．离散型随机变量的分布列及性质

（1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为X取每一个值的概率，则表

称为X的分布列， 为X的分布列。

（2）离散型随机变量的分布列的性质

①≥0（）；②。

3．常见离散型随机变量的分布列

（1）两点分布

若随机变量X服从两点分布，即其分布列为

（2）超几何分布

其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈,称分布列

为超几何分布列。

二、二项分布及其应用

1．条件概率及其性质（1）条件概率的定义

A、B为两个事件，且P（A）＞0，P（B|A）=P（AB）/P（A）

若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。

（2）条件概率的性质

①0≤P（B|A）≤1；

②如果B、C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）。

2．事件的相互独立性

如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。

3．独立重复试验与二项分布

那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）=，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n,p）

三、离散型随机变量的均值与方差

1．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

EX=++……++……+为随机变量X的均值或数学期望DX=为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作。

2．均值与方差的性质

（1）E(aX+b)=aEX+b(2)D(aX+b)=a2DX.(a,b为常数)

3．两点分布与二项分布的均值、方差

（1）若X服从两点分布，则EX=p，DX=p(1-p).

（2）若X～B（n,p），则EX=np.DX=np(1-p).

四、正态分布

1.正态曲线及性质

（1）正态曲线的定义

（2）正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x=对称；

③曲线在x=处达到峰值

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移

⑥当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散

2．正态分布

（1）正态分布的定义及表示

P（a<X≤b）=,则称X为正态分布，记作。

（2）正态总体在三个特殊区间取值的概率值

①P（-＜X≤+）=0.6826;

②P(-2＜X≤+2)=0.9544;

③P(-3＜X≤+3)=0.9974.

（3）3原则

五、回归分析以及独立性检验的基本思想（见教材）

【热点难点精析】

一、离散型随机变量及其分布列

〖例〗一袋装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列。

（二）离散型随机变量分布列的性质

〖例〗设离散型随机变量X的分布列为

求：（1）2X+1的分布列；（2）|X-1|的分布列。

（三）利用随机变量分布解决概率分布问题

〖例〗某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；     

（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（3）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。             

二、二项分布及其应用

（一）条件概率

〖例〗1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问从2号箱取出红球的概率是多少?

(二)事件的相互独立性

〖例〗甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：

（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；

（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望.

(三)二项分布

〖例〗某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力.每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.

(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;

(2)任选3名下岗人员,记为3人中参加过培训的人数,求的分布列.

(四)独立重复试验

〖例〗甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分布是和。假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响。

(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率;

(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;

(3)假设某人连续2次未击中目标,则终止其射击.

问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少?

三、离散型随机变量的均值与方差的计算

〖例〗甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.

（Ⅰ）求随机变量分布列和数学期望； 

(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).

（二）均值与方差的实际应用

〖例〗现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0<p<1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整。记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资十万元，X取0、1、2时。随机变量，分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润。

（1）求，的概率分布列和均值，；

（2）当＜时，求p的取值范围。

(三)均值与方差性质的应用

〖例〗设随机变量具有分布P(=k)=,k=1,2,3,4,5,求E(+2)2,D(2-1),(-1).

四、正态分布

（一）正态分布下的概率计算

〖例〗设X～N（5，1），求P（6＜X＜7）。

（二）正态曲线的性质

〖例〗如图是一个正态曲线。

试根据该图象写出其正态曲线函数解析式，求出总体随机变量的期望和方差。

（三）正态分布的应用

〖例〗设在一次数学考试中，某班学生的分数服从，且知满分150分，这个班的学生共54人。求这个班在这次数学考试中及格（不小于90分）的人数和130分以上的人数。

五、回归分析以及独立性检验的基本思想

例：关于与有如下数据：

为了对、两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：，，试比较哪一个模型拟合的效果更好.

例题2一台机器使用时间较长，但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：

         对变量y与x进行相关性检验；

（2）如果y与x有线性相关关系，求回归直线方程；

（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？