高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试测试题

这是一份高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试测试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第二章　学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为(　D　)
A．5　　　 B．4　　　
C．9　　　 D．1
[解析]　由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．
2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线(　B　)
A．平行 B．垂直
C．相交 D．异面
[解析]　当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时，D不对．
3．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　D　)
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
[解析]　A项，α，β可能相交，故错误；
B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交，平行或异面，故错误；
C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；
D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．
4．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　B　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．不确定
[解析]　　l∥m
5．已知α，β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有(　A　)
A．①③⇒②；①②⇒③
B．①③⇒②；②③⇒①
C．①②⇒③；②③⇒①
D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①
[解析]　因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α
又因为l⊥α，所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②；
因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n
又因为l⊥α，所以n⊥α
又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③．
6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有(　B　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
[解析]　如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．

7．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　C　)
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
[解析]　选项A，只有当m∥β或m⊂β时，m∥l；选项B，只有当m⊥β时，m∥n；选项C，由于l⊂β，∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n，故选C．
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为(　C　)

A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析]　如图，连接A1C1，BC1，A1B．
∵M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，
∴MN∥BC1．
又A1C1∥AC，
∴∠A1C1B为异面直线AC与MN所成的角．
∵△A1BC1为正三角形，
∴∠A1C1B＝60°.故选C．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　C　)

A． B．
C． D．
[解析]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD∥AB，所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB，设正方体边长为2a，则由E为棱CC1的中点，可得CE＝a，所以BE＝a．

则tan∠EAB＝＝＝.故选C．
10．已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC(　A　)
A．垂直 B．平行
C．相交 D．位置关系不确定
[解析]　过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，连结BO

∵AB⊥CD，由三垂线定理可得BO⊥CD．
同理DO⊥BC，∴O为△ABC的垂心
所以CO⊥BD，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面ADC，所以BD⊥AC．
故选A．
11．设a，b是异面直线，则以下四个结论：①存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a和b的两个平行平面；③经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；④经过直线a有且只有一个平面平行于直线b，其中正确的个数有(　C　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　对于①，可对在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确；对于③，当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误；对于④，假设过直线a有两个平面α，β与直线b平行，则面α，β相交于直线a，过直线b做一平面γ与面α，β相交于两条直线m，n都与直线b平行，可得a与b平行，所以假设不成立，所以④正确，故选C．
12． 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　A　)
A． B．
C． D．
[解析]　根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，
所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，
同理平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，
要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间，
且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为S＝6×·()2＝，故选A．
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是__直角三角形__.

[解析]　如图，过点A作AE⊥BD，E为垂足．
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥BC．
又∵DA⊥平面ABC，∴DA⊥BC．
又∵AE∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，
∴BC⊥AB．
∴△ABC为直角三角形．
14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于__90°__.

[解析]　因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN．
又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，
所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°．
15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__DM⊥PC(或BM⊥PC)__时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).

[解析]　连接AC，则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，平面MBD⊥平面PCD．

16．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为__36π__.
[解析]　如图，连接OA，OB．

由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC．
由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB．
设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，
∴三棱锥S－ABC的体积V＝×(SC·OB)·OA＝，
即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD．

(1)证明：A1O∥平面B1CD1；
(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．
[解析]　(1)证明：取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，
由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，
所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，
因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，
又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，
所以A1O∥平面B1CD1．

(2)证明：因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，
所以EM⊥BD．
又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以A1E⊥BD，
因为B1D1∥BD，
所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1．
又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，
所以B1D1⊥平面A1EM．
又B1D1⊂平面B1CD1，
所以平面A1EM⊥平面B1CD1．
18．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
[解析]　(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．
因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．
而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．

证明如下：连结AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．
连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．
MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．
19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．
[解析]　(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC．
又因为BD⊂平面ABC，
所以PA⊥BD．

(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．
由(1)知，PA⊥BD，
所以BD⊥平面PAC，
所以平面BDE⊥平面PAC．
(3)解：因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，
所以PA∥DE．
因为D为AC的中点，
所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝．
由(1)知，PA⊥平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，
所以三棱锥E－BCD的体积V＝BD·DC·DE＝．
20．(本小题满分12分)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2，∠BAD＝90°.

(1)求证：AD⊥BC；
(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
[解析]　(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．
(2)取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．

在Rt△DAM中，AM＝1，故DM＝＝.因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．
在Rt△DAN中，AN＝1，故DN＝＝.在等腰三角形DMN中，MN＝1，
可得cos∠DMN＝＝.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．
(3)连接CM.因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM＝.又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD＝＝4．
在Rt△CMD中，sin∠CDM＝＝.所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．
21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.

(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
[解析]　(1)解：如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．

因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．
在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝，
故cos∠DAP＝＝．
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．
(2)证明：由(1)知AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC．
又PD⊥PB，PB∩BC＝B，
所以PD⊥平面PBC．
(3)解：过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，
所以PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1．
由已知，得CF＝BC－BF＝2．
又AD⊥DC，所以BC⊥DC．
在Rt△DCF中，可得DF＝＝2，
在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝．
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．
22．(本小题满分12分)如图，四面体ABCD中，O，E分别为BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.

(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求点E到平面ACD的距离．
[解析]　(1)连结OC．因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD．因为BO＝DO，CB＝CD，所以CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝.而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2，所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC．因为BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD．
(2)设点E到平面ACD的距离为h.因为VE－ACD＝VA－CDE，所以h·S△ACD＝·AO·S△CDE．
在△ACD中，CA＝CD＝2，AD＝，所以S△ACD＝××＝．
而AO＝1，S△CDE＝××22＝，所以h＝＝＝．
所以点E到平面ACD的距离为．