数学必修24.1 圆的方程同步练习题

4．1．1　圆的标准方程

A级　基础巩固

一、选择题

1．圆心是(4，－1)，且过点(5，2)的圆的标准方程是(　A　)

A．(x－4)2＋(y＋1)2＝10 B．(x＋4)2＋(y－1)2＝10

C．(x－4)2＋(y＋1)2＝100 D．(x－4)2＋(y＋1)2＝

[解析]　设圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝r2，把点(5，2)代入可得r2＝10，即得选A．

2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)满足(　C　)

A．是圆心　　　　　　 B．在圆上

C．在圆内  D．在圆外

[解析]　因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，故点P(3，2)在圆内．

3．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心坐标和半径分别为(　A　)

A．(－1，2)，2  B．(1，－2)，2

C．(－1，2)，4  D．(1，－2)，4

[解析]　圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心坐标为(－1，2)，半径r＝2．

4．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　D　)

A．(x＋1)2＋(y－2)2＝1  B．(x－2)2＋(y－1)2＝1

C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1  D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

[解析]　由题意得，圆C的圆心为(2，－1)，半径为1，故圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1．

5．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　A　)

A．－  B．－

C．  D．2

[解析]　配方得(x－1)2＋(y－4)2＝4，

∴圆心为C(1，4)．

由条件知＝1．解之得a＝－．

6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　A　)

A．x－y－3＝0  B．2x＋y－3＝0

C．x＋y－1＝0  D．2x－y－5＝0

[解析]　∵点P(2，－1)为弦AB的中点，又弦AB的垂直平分线过圆心(1，0)，

∴弦AB的垂直平分线的斜率k＝＝－1，

∴直线AB的斜率k′＝1，

故直线AB的方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0．

二、填空题

7．以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是__(x－2)2＋(y＋1)2＝__．

[解析]　将直线x＋y＝6化为x＋y－6＝0，圆的半径r＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝．

8．圆心既在直线x－y＝0上，又在直线x＋y－4＝0上，且经过原点的圆的方程是__(x－2)2＋(y－2)2＝8__．

[解析]　由，得．

∴圆心坐标为(2，2)，半径r＝＝2，

故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8．

三、解答题

9．圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求

(1)周长最小的圆的方程；

(2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．

[解析]　(1)当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝．则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10．

(2)解法一：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x．即x－3y＋3＝0，

由，得．

即圆心坐标是C(3，2)．

r＝|AC|＝＝2．

∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20．

解法二：待定系数法

设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

则，．

∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20．

10．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．

(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；

(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．

[解析]　(1)因为点M在圆上，

所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，

又由a>0，可得a＝．

(2)由两点间距离公式可得

|PN|＝＝，

|QN|＝＝3，

因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆内、另一个在圆外，由于3<，所以3<a<．即a的取值范围是(3，)．

B级　素养提升

一、选择题

1．点与圆x2＋y2＝的位置关系是(　C　)

A．在圆上  B．在圆内

C．在圆外  D．不能确定

[解析]　将点的坐标代入圆的方程可知()2＋()2＝1>．

∴点在圆外．

2．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y＋1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　B　)

A．(－∞，1]  B．(－1，1)

C．(2，5)  D．(1，＋∞)

[解析]　点(2a，a－1)在圆x2＋(y＋1)2＝5的内部，则(2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1．

3．若点P(1，1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为(　D　)

A．2x＋y－3＝0  B．x－2y＋1＝0

C．x＋2y－3＝0  D．2x－y－1＝0

[解析]　圆心C(3，0)，kPC＝－，又点P是弦MN的中点，∴PC⊥MN，∴kMNkPC＝－1

∴kMN＝2，∴弦MN所在直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．

4．点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为(　D　)

A．9  B．8

C．5  D．2

[解析]　圆心(5，3)到直线3x＋4y－2＝0的距离为d＝＝5．又r＝3，则M到直线的最短距离为5－3＝2．

二、填空题

5．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为__(x－2)2＋y2＝10__．

[解析]　设所求圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2，

把所给两点坐标代入方程得

，解得，

所以所求圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10．

6．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为__x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20__．

[解析]　令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2，

∴直线与两轴交点坐标为A(0，4)和B(2，0)，以A为圆心过B的圆方程为x2＋(y－4)2＝20，

以B为圆心过A的圆方程为(x－2)2＋y2＝20．

C级　能力拔高

1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在的直线上．求AD边所在直线的方程．

[解析]　因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3．

又因为点T(－1，1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0．

2．求圆心在直线4x＋y＝0上，且与直线l：x＋y－1＝0切于点P(3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径．

[解析]　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意有，

化简得，

解得．所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以2为半径的圆．