数学必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程教案

§4.1.2  圆的一般方程

一、教材分析

    教材通过将二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后化为(x+)2+(y+)2=后只需讨论D2+E2-4F＞0、D2+E2-4F=0、D2+E2-4F＜0.与圆的标准方程比较可知D2+E2-4F＞0时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆；当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);当D2+E2-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.

    从而得出圆的一般方程的特点：(1)x2和y2的系数相同,不等于0；(2)没有x·y这样的二次项；(3)D2+E2-4F＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件,只有三条同时满足才是充要条件.

    同圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2含有三个待定系数a、b、r一样,圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中也含有三个待定系数D、E、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.同样可以用待定系数法求得圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定.圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径,因此,对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题,一般采用圆的标准方程.如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系,通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它可避免解三元二次方程组.

    圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.

二、教学目标

1．知识与技能

（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.

（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.

（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.

2．过程与方法

通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.

3．情感态度与价值观

渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.

三、教学重点与难点

教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1.①说出圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程.

②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.

③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.

④能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容,教师板书课题:圆的一般方程.

思路2.问题：求过三点A (0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式.教师板书课题:圆的一般方程.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?

②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?

③给出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.

④把式子(x－a)2＋(y－b)2=r2与x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.

⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?

讨论结果：①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.

②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.

③把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(x+)2+(y+)2=.

④(x－a)2＋(y－b)2=r2中,r＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r＜0时不表示任何图形.

因此式子(x+)2+(y+)2=.

(ⅰ)当D2+E2-4F＞0时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆；

(ⅱ)当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);

(ⅲ)当D2+E2-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.

    综上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2+E2-4F＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F＞0.

    我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.

    ⑤圆的一般方程形式上的特点:

    x2和y2的系数相同,不等于0.没有xy这样的二次项.

    圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.

    与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.

（三）应用示例

思路1

例1  判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.

(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;

(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.

解:(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=,

而D2+E2-4F=1+9-9=1＞0,

所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(,-),半径为；

(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得

D=-1,E=3,F=,D2+E2-4F=1+9-11=-1＜0,

所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.

点评:对于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件D2+E2-4F与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.

变式训练

    求下列圆的半径和圆心坐标：

(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.

解:(1)把x2+y2-8x+6y=0配方,得(x－4)2＋(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为5；

(2)x2+y2+2by=0配方,得x2＋(y+b)2=b2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.

例2  求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.

解:方法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圆上,则有

解得D=-8,E=6,F=0,

故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x－4)2＋(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.

方法二：先求出OM1的中点E(,),M1M2的中点F(,),

再写出OM1的垂直平分线PE的直线方程y-=-(x-),                             ①

AB的垂直平分线PF的直线方程y-=-3(x-),                                    ②

联立①②得得则点P的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.

方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,

即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5为半径.

方法四：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a、b、r的方程组,即

解此方程组得所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为5.

点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.

例3  已知点P(10,0),Q为圆x2+y2=16上一动点.当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程.

活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.

图1

解法一:如图1,作MN∥OQ交x轴于N,

则N为OP的中点,即N(5,0).

因为|MN|=|OQ|=2(定长).

所以所求点M的轨迹方程为(x-5)2+y2=4.

点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M的运动情况,探求它是由什么样的点控制的.

解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x0,y0).

因为M是PQ的中点,所以                        (*)

又因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=16上,所以x02+y02=16.将(*)代入得

(2x-10)2+(2y)2=16.

故所求的轨迹方程为(x-5)2+y2=4.

点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x0,y0).

②求出点M与点Q坐标间的关系                              (Ⅰ)

③从(Ⅰ)中解出                                                (Ⅱ)

④将(Ⅱ)代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程.

这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用.

变式训练

    已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.

解:设点M的坐标是(x,y),

点A的坐标是(x0,y0).

由于点B的坐标是(4,3)且M是线段AB的中点,所以x=,y=.于是有x0=2x-4,y0=2y-3.                                                             

因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4.②

把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-)2+(y-)2=1.

所以点M的轨迹是以(,)为圆心,半径长为1的圆.

思路2

例1  求圆心在直线l：x+y=0上,且过两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.

活动:学生审题,教师引导,强调应注意的问题,根据题目特点分析解题思路,确定解题方法.由于两圆的交点可求,圆心在一直线上,所以应先求交点再设圆的标准方程.

解:解两圆方程组成的方程组得两圆交点为(0,2),(-4,0).

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线l上,所以得方程组

解得a=-3,b=3,r=.故所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.

点评：由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程.

例2  已知圆在x轴上的截距分别为1和3,在y轴上的截距为-1,求该圆的方程.

解法一:利用圆的一般方程.

设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知,该圆经过点(1,0),(3,0)和(0,-1),则有,解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圆的方程为x2+y2-4x+4y+3=0.

解法二:利用圆的标准方程.

由题意该圆经过P(1,0),Q(3,0),R(-1,0),

设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心C(a,b)在PQ的垂直平分线上,故a=2.

因为|PC|=|RC|,所以.将a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).

而r=|PC|=,故所求圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=5.

例3  试求圆C:x2+y2-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的曲线C′的方程.

活动：学生先思考,然后解答,教师引导学生抓住本质的东西,即圆的圆心坐标变化、半径不变,另外可利用相关点法来求.

解法一:设P′(x,y)为所求曲线C′上任意一点,P′关于l的对称点为P(x0,y0),则P(x0,y0)在圆C上.

由题意可得解得                            (*)

因为P(x0,y0)在圆C上,所以x02+y02-x0+2y0=0.将(*)代入

得(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0,

化简得x2+y2+4x-3y+5=0,即为C′的方程.

解法二:(特殊对称)圆C关于直线l的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只需求圆心C′,即求(,-1)关于直线l:x-y+1=0的对称点C′(-2,),因此所求圆C′的方程为(x+2)2+(y-)2=.

点评：比较解法一与解法二看出,利用几何性质解题往往较简单.

（四）知能训练

课本练习1、2、3.

（五）拓展提升

问题：已知圆x2+y2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求实数m的值.

解:设P(x1,y1)、Q(x2,y2),

由消去y得5x2+4m-60=0.                               ①

由题意,方程①有两个不等的实数根,所以60-4m＞0,m＜15.

由韦达定理

因为PR⊥QR,所以kPRkQR=-1.所以=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0,

即x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0.                                                 ②

因为y1=3-,y2=3,所以y1y2=(3-)(3)=9-(x1+x2)+=9+,

y1+y2=6,代入②得x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.

所以m=10,适合m＜15.所以实数m的值为10.

（六）课堂小结

1.任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有D2+E2-4F＞0时,方程表示圆心为(-,-),半径为r=的圆.

2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.

3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.

（七）作业

习题4.1  A组1、6,B组1、2、3.