高中数学人教版新课标A必修24.1 圆的方程达标测试

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课后提升作业 二十八

直线与圆的方程的应用

(45分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.(2016·新乡高一检测)一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过　(　　)

A.1.4米       B.3.0米

C.3.6米       D.4.5米

【解析】选C.可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得OD= =3.6(米)..Com]

2.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为　(　　)

A.10    B.20    C.30    D.40

【解析】选B.圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1.根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2=4，所以四边形ABCD的面积为|AC||BD|=×10×4=20.

3.已知点A(-1，1)和圆C：(x-5)2+(y-7)2=4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是　(　　)

A.6-2         B.8

C.4          D.10

【解析】选B.点A关于x轴的对称点A′(-1，-1)，A′与圆心(5，7)的距离为=10.

所以所求最短路程为10-2=8.

4.某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为　(　　)

A.(12-24)m     B.(12+24)m

C.(24-12)m     D.不确定

【解析】选A.如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(-18，0)，(18，0)，(0，6).

设圆拱所在的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.

因为A，B，P在此圆上，故有

解得

故圆拱所在圆的方程是x2+y2+48y-324=0.

将点P2的横坐标x=6代入上式，

结合图形解得y=-24+12.

故支柱A2P2的长约为(12-24)m.

【方法锦囊】建立适当的直角坐标系应遵循三点原则
①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②常选特殊点作为直角坐标系的原点；③尽量使已知点位于坐标轴上.

5.圆C：(x-4)2+(y-4)2=4与直线y=kx的交点为P，Q，原点为O，则|OP|·|OQ|的值为　(　　)

A.2        B.28

C.32        D.由k确定

【解题指南】由平面几何知识可知|OP|·|OQ|等于过O点圆的切线长的平方.

【解析】选B.如图，过原点O作☉C的切线OA，连接AC，OC，

在Rt△OAC中，|OA|2=|OC|2-r2=32-4=28，

由平面几何知识可知，

|OP|·|OQ|=|OA|2=28.

6.若P(x，y)在圆(x+3)2+(y-3)2=6上运动，则的最大值等于　(　　)

A.-3+2      B.-3+

C.-3-2      D.3-2

【解析】选A.设=k，则y=kx.当直线y=kx与圆相切时，k取最值.所以=，

解得k=-3±2..Com]

故的最大值为-3+2.

7.若曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个交点，则实数k的取值范围为

　(　　)

A.       B.

C.       D.

【解题指南】画出曲线y=1+及直线y=k(x-2)+4的图象，利用数形结合求k的取值范围.

【解析】选D.如图，曲线y=1+表示上半圆，直线y=k(x-2)+4过定点P(2，4)，且A(-2，1).因为kPA=，PC与半圆相切，所以易求kPC=，所以<k≤.

8.由y=|x|和圆x2+y2=4所围成的较小扇形的面积是　(　　)

A.    B.π    C.    D.

【解析】选B.由题意围成的面积为圆面积的，所以S=πr2=π.

二、填空题(每小题5分，共10分)

9.中国南海某岛驻岛部队的地面雷达搜索半径为200海里，外国一海洋测量船正在该岛正东250海里处以每小时20海里的速度沿西北方向航行，问该岛雷达能否发现该外国测量船，如能，则能观测到该测量船的时间为________.

【解析】以该岛为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.

则雷达最大观测范围是一个圆面，圆的方程为：x2+y2=2002，外国测量船的航行路线所在的直线方程为：x+y=250，该岛到外国测量船的航行路线距离为：d==125≈176.78<200，故能被观测到，航行路线被圆截得的弦|BC|=2=50，

所以能观测到的时间为t==(小时).

答案：小时

10.一条光线从点A(7，2)射入，经过x轴上点P反射后，通过圆B：(x+3)2+(y-3)2=25的圆心，则反射点P的坐标为________.

【解析】B关于x轴的对称点B′(-3，-3).

直线AB′：=，即5x-35=10y-20，

即5x-10y-15=0，所以直线AB′与x轴交点为(3，0)，所以反射点坐标为(3，0).

答案：(3，0)

【延伸探究】若把题干中“通过圆B：(x+3)2+(y-3)2=25的圆心”改为“与圆B：(x+3)2+(y-3)2=25相切”，则反射点的坐标为________.
【解析】圆B：(x+3)2+(y-3)2=25关于x轴对称的圆的方程为圆B′：(x+3)2+(y+3)2=25.设入射光线的方程为y-2=k(x-7)即kx-y-7k+2=0，又圆心B′(-3，-3)到kx-y-7k+2=0的距离等于半径5，所以=5，
所以k=或k=0(舍)，所以入射光线的方程为x-y-=0，所以入射光线与x轴交点为，所以反射点坐标为.
答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

11.AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|=|AB|，求证：直线CP必过一定点.

【证明】以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x2+y2=r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD.令C(x0，y0)，则D(-x0，-y0)，所以P(-x0，-y0-2r).

所以直线CP的方程为y-y0=(x-x0)，即(y0+r)x-(y+r)x0=0.所以直线CP过直线：x=0，y+r=0的交点(0，-r)，即直线CP过定点.

12.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离.

【解析】以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2+y2=1.因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为+=1，即x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离，此时DE长的最小值为-1=(4-1)km.

【能力挑战题】

有一种商品，A，B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A，B相距10km，问这个居住地的居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？ (仅从运费的多少来考虑)

【解析】以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.

|AB|=10，所以A(-5，0)，B(5，0)，设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，

则从A地运往P地的运费为|PA|·3a，当运费相等时，就是|PB|·a=3a·|PA|，

即3=，

整理得+y2=.①

所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买.

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