初中华师大版2 垂线精品综合训练题

5.1.2垂线同步练习华师大版初中数学七年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列语句中：一条直线有且只有一条垂线；相等的两个角是对顶角；若，则与互为邻补角；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．其中错误的有

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

2. 下列选项中，不是运用“垂线段最短”这一性质的是

A. 立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离
B. 从一个村庄向一条河引一条最短的水渠
C. 把弯曲的公路改成直道可以缩短路程
D. 直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短

3. 如图，E是直线CA上一点，，射线EB平分，则的度数为   

A.  B.  C.  D.

4. 如图，若AB，CD相交于点O，过点O作，则下列结论不正确的是   

A. 与互为余角
B. 与互为余角
C. 与互为补角
D. 与是对顶角
 

5. 观察如图所示图形，下列说法正确的有
    

线段AB的长一定大于点A到直线l的距离线段BC的长小于线段AB的长，其依据是两点之间线段最短图中的对顶角共有9对线段CD的长是点C到直线AD的距离．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

6. 若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为

A. 10cm B. 4cm C. 10cm或4cm D. 至少4cm

7. 在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的度数为

A.  B.  C. 或 D. 或

8. 已知点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，，，，则点P到直线m的距离为

A.  B.  C. 小于 D. 不大于

9. 如图，将一副三角尺的直角顶点重合放置于点A处，下列结论：
   ；；；；其中结论正确的个数是

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

10. 在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使，当时，的度数是     

A.  B.  C. 或 D. 或

11. 已知，，则的度数为   

A.  B.  C. 或 D. 无法确定

12. 如图，P为直线l外一点，A、B、C在l上，且，下列说法中：、PB、PC三条线段中，PB最短；线段PB的长度叫做点P到直线l的距离；线段AB的长度是点A到PB的距离；线段AC的长度是点A到PC的距离，正确的个数是

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，体育课上老师要测量学生的跳远成绩，其测量时主要依据是__________．
    
     

14. 如图，计划把河水引到水池A中，先引，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计是依据公理：______________________．

15. 已知直线AB和CD相交于O点，射线，交CD于O，且，则的度数为          ．
16. 在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使，当时，的度数是__________．
17. 如图，A、B、C三点在同一条直线上，若，，则的度数是____________．
     

18. 如图，点A，B，C在直线l上，，，则点P到直线l的距离是______cm。
     

三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）

19. 在如图的各图中，分别过点P作AB的垂线．

20. 如图，某人在公路的左侧A处，要到公路的右侧，怎样走最近？为什么？若他要到公路对面的B处，怎样走最近？为什么？
    
    
     

21. 如图，于点E，于点F，，BD与AC垂直吗为什么
    
     

22. 如图，已知和射线CM，，请用尺规作图法，在CM上求作一点P，使得点C到直线BP的距离等于保留作图痕迹，不写作法

23. 如图，，FD过点H，，求．
    解：因为已知，
    所以垂直的意义，
    设，则．
    请完成后面求解过程

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了垂线，点到直线的距离，对顶角的定义，邻补角的定义，垂线段最短，是基础概念题．
根据对顶角的定义，邻补角的定义，垂线，点到直线的距离，以及垂线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：一条直线有无数条垂线，故此选项错误；
相等的两个角不一定是对顶角，如图：，，但不是对顶角，故此选项错误；
若，则与不一定是邻补角，如图：，，但和不是邻补角，故此选项错误；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故此选项正确；
在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直，故此选项正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故此选项错误．
因此错误的是，共4个．
故选C  

2.【答案】C
 

【解析】

 【分析】
本题主要考查垂线段最短，解答本题的关键是知道垂线段最短的特点．
【解答】
解： 立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离，运用了“垂线段最短”这一性质，不符合题意；
B.从一个村庄向一条河引一条最短的水渠，运用了“垂线段最短”这一性质，不符合题意； 
C.把弯曲的公路改成直道可以缩短路程，运用了“两点之间线段最短”这一性质，符合题意； 
D.直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短，运用了“垂线段最短”这一性质，不符合题意； 
故选C．  

3.【答案】B
 

【解析】略
 

4.【答案】C
 

【解析】略
 

5.【答案】A
 

【解析】提示：线段AB的长一定大于点A到直线l的距离，故正确线段BC的长小于线段AB的长，其依据是垂线段最短，故错误图中的对顶角共有12对，故错误线段CD的长是点D到直线AC的距离，故错误，所以只有正确．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为，其它情况下大于4cm，
当A、B在直线l的两侧时，，
故选：D．
应结合题意，分类画图．根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可得线段AB的长度至少为4cm．
此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
 

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查垂线，需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到与相等或互补．因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设是x度，利用方程即可解决问题．
【解答】
解：设是x度，根据题意，得
两个角相等时，如图1：

，
则，
解得，，
故，
两个角互补时，如图2：
可得，
所以，

故的度数为：或．
故选D．  

8.【答案】D
 

【解析】解：当直线m时，PC是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离2cm，
当PC不垂直直线m时，点P到直线m的距离小于PC的长，即点P到直线m的距离小于2cm，
综上所述：点P到直线m的距离不大于2cm，
故选：D．
根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．
本题考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：由图可得：．
．
故正确．
由题意得：，．
．
．
故正确．
欲证，需证．
由题得：．
题目已知条件无法证得．
故无法得证．
由题意得：，．
．
．
故正确．
由题意得：，．
，．
．
故正确．
综上：正确有，共4个．
故选：C．
根据三角形内角和定理以及角的和差关系解决此题．
本题主要考查角的和差关系、三角形内角和定理以及垂直的定义，熟练掌握角的和差关系、三角形内角和定理以及垂直的定义是解决本题的关键．
 

10.【答案】D
 

【解析】略
 

11.【答案】C
 

【解析】，，
如图1，，
．
如图2，，
．
综上所述，的度数为或．

 

12.【答案】C
 

【解析】解：、PB、PC三条线段中，PB最短，正确；
线段PB的长度叫做点P到直线l的距离，正确；
线段AB的长度是点A到PB的距离，正确；
线段AC的长度不是点A到PC的距离，错误．
故选：C．
根据点到直线的距离的定义，可得答案．
本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的定义是解题关键．
 

13.【答案】垂线段最短
 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是垂线段最短体育课上测量的跳远成绩是：落地时脚跟所在点到起跳线的距离，根据垂线段最短即可得到答案．

【解答】

解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故答案为垂线段最短．

14.【答案】垂线段最短
 

【解析】

【分析】
本题考查了垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【解答】
解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，
所以沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：垂线段最短．  

15.【答案】或
 

【解析】分两种情况：
如图，

，．
又，

，
．
如图，，

，又，
，
又直线AB和CD相交于O点，
．

16.【答案】或120 
 

【解析】

【分析】
本题考查了垂线，余角和补角，解答此类问题时，要注意对不同的情况进行讨论，避免出现漏解先根据题意可得OC分在AB同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据与，计算的度数．
【解答】
解：当OC、OD在直线AB同侧时，如图：

，；
；
当OC、OD在直线AB异侧时，如图：
，；

，
故答案为或120 ．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了垂直的定义，平角的定义以及角的计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．
根据垂直定义可得，由平角定义可得，再代入可得的度数．
【解答】
解：因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
故答案为．  

18.【答案】5
 

【解析】解：，
到l的距离是垂线段PB的长度5cm，
故答案为：5。
根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案。
本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度。
 

19.【答案】解：如图所示．

【解析】见答案
 

20.【答案】解：某人在公路的左侧A处，要到公路的右侧，
如图，沿垂线段AC的方向走最近，理由是垂线段最短．
若他要到公路对面的B处，
如图，连结AB，沿线段AB走最近，理由是两点之间线段最短．

【解析】见答案
 

21.【答案】解：垂直．

理由：，
，

，
，

，即．

【解析】见答案
 

22.【答案】解：如图，点P即为所求．

 

【解析】在BC的下方作，BP交CM于点P，点P即为所求．
本题考查作图复杂作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是学会利用角平分线的性质定理解决问题．
 

23.【答案】解：因为已知，
所以垂直的意义，
设，则，
，，
，
解得，
．
 

【解析】根据平角定义和垂直的意义列出方程，，解得x的值，进而可得结果．
本题考查了垂线，角的计算，解决本题的关键是掌握垂线．