2021学年22.1 二次函数的图象和性质综合与测试教学设计及反思

这是一份2021学年22.1 二次函数的图象和性质综合与测试教学设计及反思，共11页。

第一节：二次函数的图像与性质
知识结构导图

高频核心考点
知识点一：二次函数的定义
定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
注意：（1）任何一个二次函数的解析式都可以化成y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的形式，因此，把y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般形式.二次项系数a不能为0，而b，c可以为0，所以二次函数y=ax2+bx+c的特殊形式有：
①y=ax2（a≠0,b=0,c=0）；
② y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0)；
③ y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).
当a=0时，b≠0，函数就变为一次函数y=ax+c;若a=0，b=0,则y=c是一个常数.
一个函数是二次函数必须同时满足三个条件：
①函数解析式是整式；
②化简后自变量的最高次数是2 ；
③二次项系数不等于0.
函数自变量的取值范围：
①y=ax2+bx+c（a≠0）中，x的取值范围是全体实数.
②函数关系式是分式，自变量取值应使得分母不等于0.
③函数关系式是偶次根式，自变量取值为被开方数为非负数.
④实际问题的函数式，使实际问题有意义.（如大于0，取正整数或某两非负数之间取值）
例1、下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x+ ； ②y=3（x-1）2+2 ③y=（x+3）2-2x2；④y=+
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
知识巩固：如果函数y=(a-1)x2是二次函数，那么a的取值范围是
知识点二：二次函数y=a(x-h)2+k(a,h，k是常数，a≠0)的图像和性质
二次函y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是x=h，顶点坐标为(h,k)，是由抛物线y=ax2(a≠0)向右（左）平移|h|个单位长度，再向上（下）平移|k|个单位长度得到的
2、性质
例2、已知二次，函数y=a（x-1）2-c的图像如图所示，则一次函数y=ax+c 的大致图像可（ ）
知识巩固：
（1）下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0,1)的是( )
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
（2）二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（ ）
A． ﹣2 B． 2 C． ﹣1 D． 1
（3）对于抛物线 y=（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线x=1； ③顶点坐标为（-1，3）； ④x>1时，y随x的增大而减小， 其中正确结论的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点三：二次函数y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的图像和性质
1.二次函数y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的图 像的画法：
（1）描点法，步骤如下：
①利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成 y=a(x-h)2+k的形式.
②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图.
（2）平移法，步骤如下：
①利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成 y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点（h，k）.
②作出函数y=ax2的图像
③将函数y=ax2的图像平移，使其顶点平移到(h,k）
性质
例3、对于抛物线y=-4x+x2-7,有下列说法：
（1）抛物线的开口向上；（2）对称轴为x=2；（3）顶点坐标为（2，-3）；（4）点（- ,-9）在抛物线上.其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
例4、已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y)，(2，y)，试比较y和y的大小：y________y.(填“＞”“＜”或“＝”)
解析：点(－1，y)，(2，y)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y，y的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点(0，y)与点(2，y)关于直线x＝1对称．∴y＝y.
∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．∴y＞y.∴y＞y.
答案：＞
知识巩固：
（1）二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是( )
A．(－1,8) B．(1,8)
C．(－1,2) D．(1，－4)
（2）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A．a＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0
D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
知识点四：二次函数解析式
一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）
顶点式：二次函数y=a(x-h)2+k(a,h，k是常数，a≠0)
交点式(两根式）：（a0，是抛物线与x轴两交点的横坐标，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根）
二次函数关系式的确定
⑴设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
⑵设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最大(小)值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
⑶设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
例5、已知二次函数y=﹣+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．求这个二次函数的解析式；
【解析】二次函数图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，两点代入y=﹣+bx+c，算出b和c，即可得解析式．
例6、若抛物线y=ax+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 ．
【解析】待定系数法求二次函数解析式．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，将点B（1，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，
将B（1，0）代入y=a（x﹣2）2+1得，a=﹣1，
函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，展开得y=﹣x2+4x﹣3．
故答案为y=﹣x2+4x﹣3．
知识巩固：
（1）抛物线上有三点(-2, 3）、（2,-8）、（1,3)，此抛物线的解析式为
（2）已知抛物线的顶点坐标为M(l,-2 )，且经过点N(2,3)．此二次函数的解析式为 ．
知识点五：二次函数图像的变换
二次函数的平移变换
平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量即上下平移变常数，左右平移变x
例如，将抛物线y＝ax2＋bx＋c向左平移m个单位，再向上平移n个单位得
将抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移m个单位再向下平移n个单位得
二次函数的对称变换
关于X轴对称
抛物线y＝ax2＋bx＋c关于x轴对称后，系数全变号，得到的抛物线是y＝-ax2 -bx-c抛物线y＝a(x－h)2＋k关于x轴对称后，得到的抛物线是y＝-a(x－h)2-k
关于Y轴对称
抛物线y＝ax2＋bx＋c关于Y轴对称后，系数变中间，得到的抛物线是y＝ax2 -bx+c抛物线y＝a(x－h)2＋k关于x轴对称后，得到的抛物线是y＝a(x+h)2+k
例7、二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( )
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位 就得到y＝－2x2的图象．
答案：C
知识巩固：
（1）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2
（2）将二次函数y=﹣（x﹣1）2﹣2的图象沿y轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数解析式为 ．
（3）如果把抛物线y=2x2-1向左平移l个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是 .
课后作业
1．抛物线y＝x－6x＋5的顶点坐标为( )
A．(3，－4) B．(3,4)
C．(－3，－4) D．(－3,4)
2．二次函数y=x2﹣2x﹣3，下列说法中错误的是（ ）
A． 函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
B． 顶点坐标是（1，﹣3）
C． 函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）
D． 当x＜0时，y随x的增大而减小
3. 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1>x>1，则y1 y2（填“＞”、“＜”或“=”）．
4.抛物线y=-2x+x2＋7的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 .
5.已知二次函数y=x2-6x+n的最小值为1，那么n的值是 .
6.将抛物线y＝x＋x向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．
7.抛物线y＝－x＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．

出门考：
日期：_______ 姓名：
1、在下列关系式中,y是x的二次函数的关系式是 ( )
A.2xy+x2=1 B.y2-ax+2=0 C.y+x2-2=0 D.x2-y2+4=0
2、已知抛物线y=-x+mx+n的顶点坐标是（-1，- 3 )，则m和n的值分别是（ ）
A.2 ，4 B.-2 ，-4 C.2 ，-4 D.-2 ，0
3、由二次函数y＝2(x－3)2＋1，可知( )
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝－3
C．其最小值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
4、将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=（x+2）2﹣3B．y=（x+2）2+3C．y=（x﹣2）2+3D．y=（x﹣2）2﹣3
5、抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)
①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；
②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线x＝eq \f(1,2)；
④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
a的符号
a>0
a<0

图像


开口方向
向上
向下
对称轴
x=h
x=h
顶点坐标
(h,k)
(h,k)

增减性
当x当x>h时，y随x的增大而增大
当x当x>h时，y随x的增大而减小
最值
当x=h时，y有最小值，
y最小值=k
当x=h时，y有最大值，
y最大值=k
a的符号
a>0
a<0

图像


开口方向
向上
向下
对称轴

顶点坐标
（，）

增减性
当x<时，y随x的增大而减小；
当x>时，y随x的增大而增大
当x<时，y随x的增大而增大；
当x>时，y随x的增大而减小
最值
当x=时，y有最小值，
y最小值=
当x=时，y有最大值，
y最大值=
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…