数学必修44.3向量平行的坐标表示巩固练习

2020-2021学年北师大版必修四  2.4.3 向量平行的坐标表示 作业

一、选择题

1、已知点A（，1），B（0，0）C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于（      ）

A   2              B             C   －3            D   －

2、中，边的高为，若，，，，，则（ )

A.     B.     C.     D.

3、若分别为的边上是中线，，则=（    ）

A．     B．      C．     D．

4、如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）

A.     B.     C.     D.

5、如图，在中，点是的中点，过点的直线交直线、于不同的两点、，若， ，则（   ）

A．1        B．2        C．         D．3

6、向量，，若与平行，则等于(   )

A        B        C        D 

7、在中，是边上一点，，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8、若均为单位向量，则是的    （　　）

　　Ａ．充分不必要条件　　　　　  Ｂ．必要不充分条件　　

Ｃ．充分必要条件　　　　　　　Ｄ．既不充分又不必要条件

9、如图，中，，记，则（   ）（用和表示）

A.     B.     C.     D.

10、下列各组平面向量中，可以作为基底的是

A.     B.

C.     D.

11、四面体中，分别是的中点，是的三等分点（靠近N），若，， ，则 (    )

A．    B．

C．    D．

12、若向量分别是直线ax+(b－a)y－a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a,  b的值分别可以是                                       （    ）

A.　 －1 ，2       

B. －2 ，1         

C. 1 ，2       

D. 2，1

二、填空题

13、已知正方形的边长为1，，，，则        .

14、已知扇形的圆心角为，半径为2，是其弧上一点，若，则的最大值为__________．

15、
已知菱形的边长为2，，点是上靠近的三等分点，则__________．

16、已知,且,则点的坐标为_____________.

三、解答题

17、（本小题满分10分）如图，中，为的中点，，与交于点．设，．

（1）用和表示，；

（2）若，求实数的值．

18、（本小题满分12分）设两个非零向量不共线.

（1）如果，求证：三点共线；

（2）试确定实数的值，使和共线.

19、（本小题满分12分）已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．

（1）用表示向量；

（2）若向量与共线，求的值．

20、（本小题满分12分）在△ABC中，点D在边CB的延长线上，且＝4＝r－s，求s＋r的值．

参考答案

1、答案C

解析设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，

那么 

2、答案D

解析由，，可知

考点：平面向量基本定理

3、答案B

解析

4、答案C

解析若在线段上，设，则有，所以,又由，则，所以，若点在线段上，设，则有，当时，最小值为，当时，最大值为，所以范围为，由于在中，分别是的中点，则，则，故由，当时有最小值，当时，有最大值，所以范围为，若点在边界上，则，故选C．

考点：平面向量的基本定理及其意义．

方法点晴本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义的应用，其中解答中涉及到平面向量的三角形法则，平面向量的基本定理等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及学生推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据向量的数形结合的特征，利用向量的运算法则和平面向量的基本定理，得出的关系式是解答的关键，同时注意发挥向量的数形结合的优点．

5、答案B

解析因为是的中点，所以，即，即,所以.

考点：平面向量基本定理．

6、答案D

解析，

，则。

7、答案D

解析根据，用基向量表示，然后与题目条件对照，即可求出。

详解

由在中，是边上一点，，

则，

即，故选．

点睛

本题主要考查了平面向量基本定理的应用及向量的线性运算。

8、答案B

解析若，当时，得，

若，当，则，

所以是的必要不充分条件．故选Ｂ．

9、答案B

详解：由题中，，可得

则

故选B.

点睛： 本题考查向量的运算，考查向量基本定理的运用，考查运算能力，属于基础题．

10、答案B

解析能做基底的两个向量必须不共线，所以A选项中有零向量，不符。C选项中，不符。D选项中，不符。B选项中,两向量不平行。所以选B.

11、答案B

解析由题意结合向量的加法公式、减法公式确定的表达式即可.

详解

由题意可得：

，

，

.

本题选择B选项.

点睛

本题主要考查空间向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12、答案D

13、答案

解析.

考点：向量的几何运算．

14、答案

解析以为基底，表示，这是一个正交的基底，故，再由基本不等式求得的最大值.

详解

以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于相互垂直，以为基底，这是一个正交的基底，表示，根据图像可知，即，故，当且仅当时，等号成立.故的最大值为.

点睛

本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得这个基本的形式，还要注意它的变形.

15、答案

详解：，

，故答案为.

点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
 

16、答案(4,？3)

解析设点,则由,得,

即,解得,

点的坐标为(4,？3).

17、答案（1），；（2）．

（2）用为基底表示出，根据、共线列方程组，解方程组求得实数的值.

详解：（1）．

．

（2），

．

因为、共线，所以存在，使．

所以，所以，得．

点睛

本小题主要考查用基底表示向量，考查向量共线的表示，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

解析

18、答案（1）略；（2）

解析（1）证明：，即，所以三点共线;

（2）解：要使和共线，只需存在实数，使成立，整理得，因为不共线，所以有，解得

19、答案（1）,；（2）

（2）先由(1)得，再由与共线，设，列出方程组求解即可.

详解

解：（1）为BC的中点，，

可得，

而

（2）由（1）得，

与共线，设

即，

根据平面向量基本定理，得

解之得，．

点睛

本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.

解析

20、答案解：

如图所示，由题意，

得＝4 ，∴＝.

又∵＝－，

∴＝ (－)

＝－.

∴r＝s＝.∴s＋r＝.

解析