数学必修44.3向量平行的坐标表示课时练习

2020-2021学年北师大版必修四  2.4.3 向量平行的坐标表示   作业

一、选择题

1、设e1，e2是平面内两个向量，则有(　　)．

A．e1，e2一定平行

B．e1，e2的模一定相等

C．对于平面内的任意向量a都有a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)

D．若e1，e2不共线，则对平面内的任何一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)

2、中为其内角，设， ，且，则（    ）

A．    B．    C．    D．

3、已知空间四边形，其对角线为，，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（ ）

A．  

B．

C．   

D．

4、
如图，已知， ， ， ，则（   ）

A．     B．     C．     D．

5、设是内一点，且，，则（    ）

A．     B．     C．     D．

6、如图，A、B、C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若，则λ+μ的取值范围是(      )

A． (-∞,-1)    B． (-1,0)    C． (0,1)    D． (1,+∞)

7、如图，中，，记，则（   ）（用和表示）

A.     B.     C.     D.

8、
如图，在同一个平面内，三个单位向量满足条件：与的夹角为，且，与与的夹角为45°.若，则的值为(    )

A． 3    B．     C．     D．

9、若，是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（   ）

A．，       B．，

C．，  D．，

10、已知向量, 且,那么实数的值是

A.     B.

C. 4    D. 7

11、在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则（    ）

A.     B.     C.     D.

12、已知，，点是线段上的点，且，则点的坐标为（    ）.

A.    B.    C.    D.

二、填空题

13、如图，在中， 是上一点，且，设   ，则＝__________.(用表示)

14、正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=（0，3），=（4，0），则=(     )

A、（）     B、（）      

C、（7，4）         D、（）

15、
已知向量， ， ，则向量的坐标为___________．

16、如图，在平行四边形中，点是边上的中点，点是边上靠近的三等分点．若， ，则__________．

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知a，b不共线，＝2a＋kb，＝a＋3b，＝2a－b，若A，B，D三点共线，求实数k的值．

18、（本小题满分12分）已知向量，向量

（1）当，求.  （2）当时，求. （3）求的最大和最小值

19、（本小题满分12分）设两个非零向量不共线.

（1）如果，求证：三点共线；

（2）试确定实数的值，使和共线.

20、（本小题满分12分）如图，D是△ABC中BC边的中点，点F在线段AD上，且||＝2||，若＝a，＝b，试用a，b表示.

参考答案

1、答案D

解析由平面向量基本定理可知，只有e1，e2不共线时，才能成为基底．

2、答案B

详解： =（， ），=（， ）且∥，

∴ ==，∴ =1，∵a是锐角，

所以 =90°，∴ =45°．

.

故选：B

点睛：本题考查向量共线的充要条件的应用，三角函数的化简求值，属于基础题．

3、答案A

解析 分别是边的中点，

；故选A．

考点：平面向量的基本定理及其意义

思路点睛空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则求解．向量的线性表示充分利用向量加减运算的三角形法则、平行四边形法则，以及共线向量的基本定理．

4、答案D

解析由题意可得： ， ，

则： .

本题选择D选项.
 

5、答案A

解析分析

由题意可知，点P为三角形 的重心，据此结合平面向量基本定理整理计算即可求得最终结果.

详解

如图所示，设E为AB的中点，由可知点P为△ABC的重心，

故，

，

，

故.

本题选择A选项.

点睛

本题主要考查平面向量基本定理及其应用，向量的加法、减法运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6、答案B

解析首先由C,O,D三点共线且点D在圆外可设，再由B,A,D三点共线且点D在圆外可得，然后结合三角形法则可得，进而可得， 所以得到，从而

，最后将其与已知向量式对比即可求出λ与μ，据此问题即可解答．

详解

由点D是圆O外一点且C,O,D三点共线，可设，

由B,A,D三点共线且点D在圆外可得，

又，

∴，

∴，

∴．

又，

∴，

∴．

故选B．

点睛

本题难度较大，解题的关键是根据题意将向量再次用基底表示，然后根据平面向量基本定理得到λ与μ的表达式，进而转化成一个变量的问题，体现了“算两次”的思想方法的利用，考查转化能力和处理数据的能力．

7、答案B

详解：由题中，，可得

则

故选B.

点睛： 本题考查向量的运算，考查向量基本定理的运用，考查运算能力，属于基础题．

8、答案B

解析建立如图所示的平面直角坐标系，

由知为锐角，且，故，

．

∴点B,C的坐标为，

∴．

又，

∴，

∴，解得，

∴．选B．
 

9、答案D

解析不共线的向量就能作为基底，D选项对于的坐标分别是不共线，故可以作为基底.

考点：向量基本运算.

10、答案A

解析因为向量,且

所以,解得

本题选择A选项.

11、答案D

详解：如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在，使得，

因为M是线段AD的中点，所以：

，

又，所以，，

所以.

本题选择D选项.

点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

12、答案D

解析设，则，，

13、答案

解析

点睛： (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

14、答案A

15、答案

解析∵， ， ，

∴．
 

16、答案

解析用表示，解出，然后利用向量的模的公式计算即可得到的值.

详解

,

则，则

故答案为：

点睛

本题考查平面向量基本定理的应用，考查数量积的计算方法和向量的模的求法，属于基础题.

17、答案∵＝＋＝－＋＝a－4b，

而a与b不共线，∴≠0.

又∵A，B，D三点共线，∴，共线．

故存在实数λ，使＝λ，即2a＋kb＝λa－4λb.

又∵a与b不共线，

∴由平面向量基本定理，得？k＝－8.

解析

18、答案（1）θ=；   （2）θ=；   （3）最大值为4，最小值为2(－1)

解析

19、答案（1）略；（2）

解析（1）证明：，即，所以三点共线;

（2）解：要使和共线，只需存在实数，使成立，整理得，因为不共线，所以有，解得

20、答案∵D是BC的中点，

∴＝ (＋)＝ (a＋b)．

∵||＝2||，

∴＝＝× (a＋b)＝ (a＋b)．

解析