高中数学北师大版必修44.2平面向量线性运算的坐标表示精练

2020-2021学年北师大版必修四  2.4.2 平面向量线性运算的坐标表示   作业

一、选择题

1、在正方形中，是的中点，与交于点，若，则的值是（  ）

A． B． C． D．

2、边长为的菱形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与相交于点.若，则（     ）

A．    B．    C．    D．

3、已知，，为坐标原点，点在内，，且，设，则的值为（   ）

A．              B．            C．            D．

4、是所在平面内一点，，为中点，则的值为（  ）

A．                B．               C．                 D．

5、在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为(     )

A．        B．        C．        D．1

6、已知向量，，，若向量与共线，则的值为（   ）

A．       B．         C．        D．

7、如图，在的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN与CM交于点P，若，，则的值为　　

A． B． C． D．6

8、已知为原点，点的坐标分别为,其中常数，点在线段 上，且=()，则·的最大值为（    ）

      A．          B．2              C．3          D．

9、如图，在中，为线段上的一点，，且，则（  ）

A． B．

C． D．

10、

在△ABC中，点M为边BC上任意一点，点N为AM的中点，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为（　　）

A． B． C． D．

11、下列各组向量中可以作为基底的是（  ）

A．=（0，0），=（1，﹣2） 

B．=（1，2），=（3，4）

C．=（3，5），=（6，10） 

D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）

12、
设向量=(m，n)， =(s，t)，定义两个向量， 之间的运算“⊕”为⊕=(ms，nt).若向量=(1，2)， ⊕=(-3，4)，则向量等于=(　　)

A． (-3，2)    B． (3，-2)    C． (-3，-2)    D． (3，2)

二、填空题

13、设e1、e2是平面内两个向量，则有________．(写出正确的所有序号)

①e1、e2一定平行；②e1、e2的模一定相等；③对于平面内的任意向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)；④若e1、e2不共线，则对平面内的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)．

14、如图所示，A，B，C是☉O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于☉O外的一点D，若=m+n，则m+n的取值范围是________.

15、已知向量且则向量等于____________

16、如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=     ．

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知计算

18、（本小题满分12分）在△ABC中，点D在边CB的延长线上，且＝4＝r－s，求s＋r的值．

19、（本小题满分12分）如图所示，P是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令＝p，用p表示.

20、（本小题满分12分）求连接下列两点的线段的长度和中点坐标：

(1)；

(2)；

(3).

参考答案

1、答案D

解析根据可知，根据平面向量基本定理可求得，从而求得和的值，进而求得结果.

详解

在正方形中，可知

，   

本题正确选项：

点睛

本题考查平面向量基本定理的应用，关键是利用三角形相似得到.

2、答案B

解析根据两个三角形相似对应边成比例，得到，运用向量的加减运算和向量中点的表示，结合向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，将向量用表示，利用数量积公式计算即可得到结果．

详解

由题意可知，做出菱形ABCD的草图，如下图：

由题意易知，，可得，

所以，又，所以

，故选B.

点睛

本题考查平面向量的基本定理，向量数量积的定义及性质，考查了学生的归纳分析能力，和运算能力，属于中档题．

3、答案D

解析由题意得，设，则，又，由，得，解得，故选D.

考点：平面向量的基本定理．

方法点晴本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义，其中解答中涉及到平面向量的基本定理、平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的相等的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中设出点，从而得到向量的坐标，利用题设条件列出等式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.

4、答案A

解析结合题意，画出图形，利用图形，延长MD至E，使DE=MD，得到平行四边形MAEC，求出与的关系，即可得出正确的结论．

如图所示，∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD，∴四边形MAEC为平行四边形，

，故选A．

考点：平面向量基本定理的应用

5、答案A

试题解析：解：设

则=

==

=（）

∴

∴

故选A．

考点：向量的共线定理．

6、答案D

解析由题意得，，故由与共线得，解得，故D项正确．

考点：平面向量的运算及共线定理．

7、答案D

解析用，作为基底分别表示，根据平面向量基本定理，求出，，即可得到结论．

详解

由题意，

，

根据平面向量基本定理，可得，

，

．

故选D．

点睛

本题考查向量知识的运用，考查平面向量基本定理，考查学生的计算能力，属于中档题

8、答案D

解析

9、答案A

解析由题可知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝，故选A.

10、答案A

解析

解：设=t，

则==（+）=+，

=+×t=+（﹣），

=（﹣）+，

∴λ=﹣，μ=，

∴λ+μ=，

故选：A．

11、答案B

解析判断向量是否共线，即可推出结果．

解：由题意可知=（1，2），=（3，4）不共线，可以作为基底．

故选：B．

考点：平面向量的基本定理及其意义．

12、答案A

解析设向量=(x，y)， ⊕=(x，2y)=(-3，4)，所以x=-3，y=2，故向量=(-3，2).

故选：A
 

13、答案④

解析

14、答案(-1，0)

解析如图所示，由A，B，D三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ满足，，t＜﹣1，t=，即=+，与两比较，即可得出．

详解

如图所示，

∵A，B，D三点共线，

∴存在实数λ满足，

又，t＜﹣1，

∴t=，

即=+，与两比较，

可得，n=，

则m+n=∈（﹣1，0）．

∴m+n的取值范围是（﹣1，0）．

故答案为：（﹣1，0）．

点睛

题主要考查了平面向量基本定理的应用，运用了向量共线的条件，属于中档题.

15、答案

解析

16、答案

解析如图所示，建立直角坐标系．通过向量的坐标运算及共面向量定理即可得出．

解：如图所示，建立直角坐标系．

设A（a，0），C（0，b），则B（a，b）．

∵AB=3AE，BC=3CF，

∴E，F．

∵=+，

∴（a，b）=+，

∴，解得λ+μ=．

故答案为：．

考点：平面向量的基本定理及其意义．

17、答案

解析

18、答案解：

如图所示，由题意，

得＝4 ，∴＝.

又∵＝－，

∴＝ (－)

＝－.

∴r＝s＝.∴s＋r＝.

解析

19、答案∵＝＋，

＝＋，

∴(＋)＋2(＋)＋3＝0.

∴＋3＋2＋3＝0.

又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，

∴＝λ，＝μ.

∴λ＋3＋2＋3μ＝0.

∴(λ＋2) ＋ (3＋3μ) ＝0.

而，为不共线向量，

∴∴

∴＝－＝.

故＝＋＝2＝2p.

解析

20、答案（1）,中点；（2），中点；（3），中点.

详解：(1)，中点坐标.

(2)，中点坐标.

(3)，中点坐标.

点睛

本小题主要考查两点间的距离公式，考查中点坐标公式，属于基础题.

解析