高中数学北师大版必修46平面向量数量积的坐标表示课堂检测

课时作业20　平面向量数量积的坐标表示

时间：45分钟　　满分：100分

——基础巩固类——

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于(　C　)

A．3   B.

C．－    D．－3

解析：3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－.

2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的射影为(　C　)

A.   B.

C.   D.

解析：|a|cosθ＝＝＝.

3．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于(　C　)

A.    B．－

C.    D．－

解析：设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得故b＝(－5,12)，所以cos〈a，b〉＝＝.

4．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　C　)

A.   B.

C．5    D．25

解析：|a|＝，∵a·b＝10，|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，即5＋2×10＋b2＝50，

∴|b|＝5.

5．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于(　D　)

A．4    B．2

C．8    D．8

解析：易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.

6．已知i、j是互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a、b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(　D　)

A．(－∞，)

B．[，＋∞)

C．[－2，)∪(，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(－2，)

解析：a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，a、b的夹角为锐角，则cos〈a·b〉＝＝>0，∴λ<，∴λ<且λ≠－2.

7．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　C　)

A.    B．2

C．5    D．10

解析：本题考查了平面向量的运算．∵＝(1,2)，＝(－4,2)，∴AC⊥BD，又||＝，||＝2，

∴S＝××2＝5.

8．直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，若直角三角形ABC中，＝2i＋j，＝3i＋kj，则k的可能值个数是(　B　)

A．1    B．2

C．3    D．4

解析：不妨取A(0,0)，则B(2,1)，C(3，k)．

当AB⊥BC时，·＝2＋k－1＝0，

∴k＝－1；

当AB⊥AC时，·＝6＋k＝0，

∴k＝－6；

当AC⊥BC时，·＝3＋k2－k＝0，无解；

所以满足要求的k的值可能有2个，故选B.

二、填空题(每小题5分，共15分)

9．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝10.

解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2××＝10.

10．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为5.

解析：本题考查了向量的坐标运算及垂直的条件．

易知⊥，而＝－＝(3,2－t)，＝(2,2)，

∴·＝0，即3×2＋2(2－t)＝0，∴t＝5.

11．设a＝(4,3)，a在b上的射影为，b在x轴上的射影为2，且|b|≤4，则b为(2，－)．

解析：设b＝(m，n)，

则⇒或.

∵|b|≤4，∴b＝(2，－)．

三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

12．(12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．

(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；

(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.

解：(1)设c＝(x，y)，

∵|c|＝2，∴＝2，即x2＋y2＝20.

由c∥a和|c|＝2，可得

解得或

故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．

(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，∴cosθ＝＝－1.

又θ∈[0，π]，∴θ＝π.

13．(13分)四边形ABCD中，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．

(1)若∥，求x与y间的关系式；

(2)满足(1)问的同时又有⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．

解：(1)＋＋＝，

∴＝(4＋x，y－2)，∴＝(－4－x，－y＋2)．

∵∥，∴x(y－2)－y(4＋x)＝0，即x＋2y＝0，

∴x与y的关系式为x＋2y＝0.①

(2)＋＝，∴＝(6＋x,1＋y)．

＋＝，∴＝(x－2，y－3)．

若⊥，∴·＝0，

即x2＋y2＋4x－2y－15＝0.②

由①②列方程组

，解得或.

∴或.

∴S四边形ABCD＝||·||＝×4×8＝16.

——能力提升类——

14．(5分)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，定义运算“*”为a*b＝(x1y2，x2y1)，则下列命题：①若a＝(1,2)，b＝(3,4)，则a*b＝(6,4)；②a*b＝b*a；③(a*b)*c＝a*(b*c)；④(a＋b)*c＝(a*c)＋(b*c)，其中正确的是④(只填序号)．

解析：对于①，已知a*b＝(x1y2，x2y1)，若a＝(1,2)，b＝(3,4)，则a*b＝(1×4,2×3)＝(4,6)，故①不正确；对于②， a*b＝(x1y2，x2y1)，b*a＝(x2y1，x1y2)，而(x1y2，x2y1)与(x2y1，x1y2)不一定相等，故②不正确；对于③，可举反例说明，若a＝(1,2)，b＝(3,4)，c＝(2,5)，则(a*b)*c＝(4,6)*(2,5)＝(20,12)，a*(b*c)＝(1,2)*(15,8)＝(8,30)，故③不正确；对于④，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，∴(a＋b)*c＝(x1＋x2，y1＋y2)*(x3，y3)＝((x1＋x2)y3，(y1＋y2)x3)＝(x1y3＋x2y3，y1x3＋y2x3)．而(a*c)＋(b*c)＝(x1y3，x3y1)＋(x2y3，x3y2)＝(x1y3＋x2y3，y1x3＋y2x3)，∴(a＋b)*c＝(a*c)＋(b*c)，故④正确．

15．(15分)如图，已知A(1,1)，B(5,4)，C(2,5)，设向量a是与向量垂直的单位向量．

(1)求单位向量a的坐标；

(2)求向量在向量a上的射影；

(3)求△ABC的面积S△ABC.

解：(1)设a＝(x，y)，依题意有

＝(4,3)，|a|＝1，且a⊥，即a·＝0，有

⇒或

所以a＝或a＝.

(2)设向量与单位向量a的夹角为θ，在a上的射影为h，则h＝||cosθ＝＝·a，又＝(1,4)，

当a＝时，h＝1×＋4×＝；

当a＝时，h＝1×＋4×＝－.

(3)S△ABC＝|||h|＝×5×＝.