高中数学北师大版必修44.2平面向量线性运算的坐标表示精练

2020-2021学年北师大版必修四  2.4.2 平面向量线性运算的坐标表示   作业

一、选择题

1、已知向量，，若与共线，则的值为（    ）.

  A.            B.             C.            D.

2、如图所示，已知空间四边形，其对角线为，，、分别为、的中点，点在线段上，且，若，则（    ）

A．        B．       C.        D．1

3、设是△所在平面上的一点，若，则的最小值为

A.     B.     C.     D.

4、设向量，不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ）．

A. 或    B. 或    C. 或    D. 或

5、给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

③（为实数），则必为零.

④为实数，若，则与共线.

其中正确的命题的个数为(    )

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

6、下列各组向量中，可以作为基底的是(   )

A．，  B．，

C．，  D．，

7、已知圆，点是直线上的动点，若在圆上总存在两个不同的点，使，则的取值范围是

A．    B．    C．    D．

8、=（-1，1），=（1，m）若，则实数m的值为          

9、我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，为的中点，则（  ）

A． B． C． D．

10、若向量＝（﹣1，2），＝（2，﹣3），＝（4，﹣5），则＝（　　）

A．    B．    C．    D．

11、已知空间四面体的每条棱长都等于1，点分别是的中点，则等于（     ）

A.     B.     C.     D.

12、已知向量，如果，那么(    ) w.w.w.k.s.5.u.

       A．且与同向                        B．且与反向

       C．且与同向                      D．且与反向

二、填空题

13、如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与 的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．

14、在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.

15、
直角中， ， 为边上的点，且，则______；若，则________．

16、如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为_________.

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知点A(－1,2)，B(2,8)以及，求点C，D的坐标和的坐标．

18、（本小题满分12分）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，求实数m的值．

19、（本小题满分12分）已知并与向量的关系为,

（Ⅰ）求向量的坐标；（Ⅱ）求的值.

20、（本小题满分12分）设两个非零向量不共线.

（1）如果，求证：三点共线；

（2）试确定实数的值，使和共线.

参考答案

1、答案D

解析，，

     .

2、答案C

解析由得；∴；根据已知条件，

，；∴；∴根据平面向量基本定理， ．故选C．

考点：平面向量的基本定理及其意义．

3、答案C

详解：由，可得.

设的中点为D，即.

点P是△ABC所在平面上的任意一点，为AD中点.

∴

.

当且仅当，即点与点重合时，有最小值.

故选：C.

点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

4、答案C

详解：∵，，，

∴，

，

∵，，三点共线，

∴与共线，

∴，化简得，即，

∴或．

故选．

点睛：向量共线：

（1），

（2）

（3）若，则三点共线

（4）三点共线

5、答案A

解析因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若（为实数），则也可以零，因此命题也是错误的；若为0，尽管有，则与也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案A。

6、答案B

解析可以作为基底的两个向量必须不能共线，因此判断四个选项中的两个向量是否共线即可.

详解

选项A: 是零向量，而零向量与任意一个向量共线，故不能作为基底；

选项B: ，所以不共线，故可以作为基底；

选项C：因为， ，所以，故不能作为基底；

选项D: 因为， ，所以，故不能作为基底，故本题选B.

点睛

本题考查了基底的概念，以及判断共线向量的方法.

7、答案A

解析如图，∵；∴与互相垂直平分；∴圆心到直线的距离；∴①；又；∴，代入①得：；解得；∴的取值范围是．故选：A．

考点：平面向量的基本定理及其意义.

思路点晴考查向量加法的平行四边形法则，圆心和弦中点的连线垂直于弦，以及两点间的距离公式，一元二次不等式的解法，属中档题；根据条件可画出图形，根据图形便可看出的中点在圆内，从而可得到圆心到直线的距离小于半径即，这样联立，转化为关于的一元二次不等式，即可得出的取值范围．

8、答案1

解析

9、答案A

解析把向量分解到方向，求出分解向量的长度即可得答案.

详解

设，则，在中，可得.

过点作于点,则，，

.

所以.

所以.故选A.

点睛

本题考查平面向量的基本定理，用基向量表示目标向量.平面内的任意一个向量都可以用一对基向量(不共线的两个向量)来线性表示.

10、答案B

解析根据向量的坐标表示得出不共线，可设，利用坐标运算求出的值即可.

详解

因为，所以不共线，且，

所以设，，则，

即，解得，

所以，

故选B.

点睛

该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，在解题的过程中，注意两个非共线向量就可以作为一组基底来表示平面中的任意向量，之后应用向量的运算法则，求得结果.

11、答案B

详解：根据向量的基本定理得到

故答案为：B.

点睛：这个题目考查的是向量基本定理，以及空间向量的加减法运算，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

12、答案D

解析∵a，b，若，则cab，dab，

       显然，a与b不平行，排除A、B.

       若，则cab，dab，

即cd且c与d反向，排除C，故选D.

13、答案6

解析

如图，以OA、OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，

则＝＋.

在Rt△OCD中，∵||＝2，

∠COD＝30°，∠OCD＝90°，

∴||＝4，||＝2，故＝4，

＝2，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.

14、答案

解析设＝a，＝b则＝a＋b，＝a＋b，又∵＝a＋b∴＝ (＋)即λ＝μ＝∴λ＋μ＝.

15、答案  4 

解析建立直角坐标系，设 ，所以 ，由得
 

16、答案

详解：设，则 .

由平面向量基本定理可得：，解得：，

，令，，

则，

，且，.

，

当且仅当，即，即时等号成立.

即.

点睛：本题主要考查平面向量基本定理，利用均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

17、答案设点C，D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，

由题意得

因为所以有

和

解得和

所以点C，D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而

解析

18、答案由点B，P，N共线，得＝m＋(1－m) .

又＝，因此＝，

＝m＋ (1－m) ＝m＋，

所以 (1－m)＝，m＝.

解析

19、答案（Ⅰ），

（Ⅱ）。

解析

20、答案（1）略；（2）

解析（1）证明：，即，所以三点共线;

（2）解：要使和共线，只需存在实数，使成立，整理得，因为不共线，所以有，解得