高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质第2课时导学案

3.2.1 单调性与最大（小）值

第2课时 函数的最大（小）值

【学习目标】

【自主学习】

一．函数的最大值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)∀x∈I，都有         ；

(2)∃x0∈I，使得          .

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，记作f(x)max＝M.

二．函数的最小值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：

              ；            ，就称N是函数y＝f(x)的最小值，记作f(x)min＝N.

思考1：函数f(x)＝－x2≤1总成立吗？ f(x)的最大值是1吗？

思考2：函数的最值与函数的值域有什么关系？

【小试牛刀】

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.(  )

（2）任何函数都有最大(小)值.(   )

（3）函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．(   )

（4）如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．(   )

【经典例题】

题型一　图象法求函数的最值

点拨：图象法求最值的一般步骤

①画出函数图象；

②观察图象，找出图象的最高点和最低点；

③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.)

例1　如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．

【跟踪训练】1已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．

题型二　利用单调性求函数的最大（小）值

点拨：1.运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.首先判断函数的单调性，再利用单调性求出最值.

2.①注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析，②注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.

例2　已知f(x)＝，

(1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．

(2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．

【跟踪训练】2 已知函数f(x)＝，求函数f(x)在[1,5]上的最值．

题型三　求二次函数的最值

点拨：二次函数的最值问题，解题策略一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系，往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧．在讨论时可结合函数图象，便于分析、理解．

例3-1（定轴定区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值。

例3-2 （定轴动区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值。

例3-3（动轴定区间）求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值。

【跟踪训练】3 已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．

【当堂达标】

1.函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3,3]的值域是(　 　)

A．(－∞，5]     B．[5，＋∞)    C．[－20,5]     D．[4,5]

2.已知函数f(x)＝，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)有最大值，无最小值      B．f(x)有最大值，最小值

C．f(x)有最大值，无最小值       D．f(x)有最大值2，最小值

3.函数f(x)＝的最大值为________．

4.函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.

5.求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．

6.已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．

(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；

(2)求该函数的最大值和最小值．

【参考答案】

【自主学习】

f(x)≤M   f(x0)＝M  x∈I，都有f(x)≥N  ∃x0∈I，使得f(x0)＝N

思考1：f(x)＝－x2≤1总成立，但是不存在x0使f(x0)＝1，所以f(x)的最大值不是1，而是0.

思考2：函数值域是指函数值的集合，函数最大(小)值一定是值域的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间两端点的值．

【小试牛刀】

×  ×  √  ×

【经典例题】

例1解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，

所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.

当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.

函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，

单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．

【跟踪训练】1 解析　f(x)的图象如图：

则f(x)的最大值为f(2)＝2.

例2 解：(1)函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数．

证明：任取x2>x1>1，则f(x1)－f(x2)＝－＝，

因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．

(2)由(1)可知f(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以f(x)在[2,6]上是减函数，

所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(6)＝，即f(x)min＝，f(x)max＝1.

【跟踪训练】2 解：先证明函数f(x)＝的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，f(x1)－f(x2)＝－＝.

由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝在区间上是减少的，所以函数f(x)在[1,5]上是减少的，因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.

例3-1 解：∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.

例3-2 解：∵对称轴x＝1，

①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.

②当≤1<t＋2，即－1<t≤0时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.

③当t≤1<，即0<t≤1时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.

④当1<t，即t>1时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.

设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有

g(t)＝φ(t)＝

例3-3  解：∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.

当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.

当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.

∴f(x)min＝

【跟踪训练】3 解：设＝t(t≥0)，则x－2－3=t2－2t－3.由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．

【当堂达标】

1.C 解析：∵f(x)＝－(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，函数有最大值5；当x＝3时，函数有最小值－20，故选C.

2.A 解析：f(x)＝＝2＋，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f(－8)＝，无最小值。

3.2 解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.

4.4 解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.

5.解：f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.

设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)．

当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；

当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；

当t＋1<2即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.

综上，g(t)＝

6.解：(1)函数f(x)在[3,5]上是增加的，

证明：设任意x1，x2，满足3≤x1<x2≤5.

因为f(x1)－f(x2)＝－＝＝

，

因为3≤x1<x2≤5，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．

所以f(x)＝在[3,5]上是单调递增的．

(2)f(x)min＝f(3)＝＝，f(x)max＝f(5)＝＝.