高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第2课时测试题

第2课时　分段函数

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.若f(x)=则f(5)的值为(　　)

A.8 B.9

C.10 D.11

答案A

解析由题意知,f(5)=f(f(11))=f(8)=f(f(14))=f(11)=8.故选A.

2.已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集为(　　)

A.[-1,1] B.[-1,2]

C.(-∞,1] D.[-1,+∞)

答案A

解析原不等式等价于解得-1≤x≤1.

3.函数f(x)=的值域是(　　)

A.R B.[0,2]∪{3}

C.[0,+∞) D.[0,3]

答案B

解析当0≤x≤1时,0≤2x≤2,即0≤f(x)≤2;当1<x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3.

综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}.

4.(2021江西名校联盟高一期末)已知函数y=若f(a)=10,则a的值是(　　)

A.3或-3 B.-3或5

C.-3 D.3或-3或5

答案B

解析若a≤0,则f(a)=a2+1=10,∴a=-3(a=3舍去);若a>0,则f(a)=2a=10,∴a=5.综上可得,a=5或a=-3,故选B.

5.已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　　　　　. 

答案f(x)=

解析当0≤x<1时,f(x)=-1;

当1≤x≤2时,设f(x)=kx+b(k≠0),

则

解得此时f(x)=x-2.

综上,f(x)=

6.(2021浙江浙东北名校高一期末联考)设函数f(x)=则f(f(8))=　　　　　,使得f(a)≥4a的实数a的取值范围是　　　　　. 

答案　(-∞,1]

解析因为f(x)=所以f(8)=,因此f(f(8))=f=+12=.

当a<1时,f(a)≥4a可化为(a+1)2≥4a,即(a-1)2≥0显然恒成立,所以a<1;

当a≥1时,f(a)=≥4a,解得a=1.综上a的取值范围为(-∞,1].

7.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲俱乐部每小时5元,乙俱乐部按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元;某公司准备下个月从这两家俱乐部中选择一家开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.设在甲家开展活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元,在乙家开展活动x小时的收费为g(x)元.

(1)试分别写出f(x)和g(x)的解析式;

(2)选择哪家比较合算?请说明理由.

解(1)由题意可知f(x)=5x,15≤x≤40,

g(x)=

(2)由5x=90,解得x=18,

即当15≤x<18时,f(x)<g(x);

当x=18时,f(x)=g(x);

当18<x≤40时,f(x)>g(x).

所以当15≤x<18时,选甲家比较合算;

当x=18时,两家一样合算;

当18<x≤40时,选乙家比较合算.

等级考提升练

8.(2020陕西华阴高一期末)设函数f(x)=若f(a)=a,则实数a的值为(　　)

A.±1 B.-1 

C.-2或-1 D.±1或-2

答案B

解析当a≥0时,有a-1=a,解得a=-2(不满足条件,舍去);当a<0时,有=a,解得a=1(不满足条件,舍去)或a=-1.所以实数a的值是-1.故选B.

9.已知函数f(x)=则f(x)的值域是 (　　)

A.[1,+∞) B.[0,+∞)

C.(1,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞)

答案B

解析由f(x)=知当x≤1时,x2≥0;

当x>1时,x+-3≥2-3=4-3=1,当且仅当x=,即x=2时等号成立.

综上,f(x)的值域是[0,+∞).故选B.

10.(多选题)(2020湖北黄冈黄州一中期中)已知f(x)=x,g(x)=x2-2x,且F(x)=则F(x)的最值情况是(　　)

A.有最大值3 B.有最小值-1

C.无最小值 D.无最大值

答案CD

解析由f(x)≥g(x)得0≤x≤3;由f(x)<g(x),得x<0或x>3,所以F(x)=作出函数F(x)的图象如图,可得F(x)无最大值,无最小值.

11.(2021福建厦门高一期末)“高斯函数”为y=[x],其中[x]表示不超过x的最大整数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)=|x-1|(3-[x]),x∈[0,2),若f(x)=,则x=　　　　　;不等式f(x)≤x的解集为　　　　　. 

答案　,2

解析由题意,得f(x)=

当0≤x<1时,3-3x=,即x=;

当1≤x<2时,2x-2=,即x=(舍),

综上x=.

当0≤x<1时,3-3x≤x,即≤x<1,当1≤x<2时,2x-2≤x,即1≤x<2,综上≤x<2.

12.设集合A=0,,B=,函数f(x)=已知m∈A,且f(f(m))∈A,则实数m的取值范围是　　　　. 

答案

解析∵m∈A,∴0≤m<,f(m)=m+∈,1.∴f(f(m))=2-2m+=1-2m.

∵f(f(m))∈A,∴0≤1-2m<,

则<m≤.

∵0≤m<,∴<m<.

∴m的取值范围是.

13.《中华人民共和国个人所得税》规定,公民月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不纳税,超过5 000元的部分为全月纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:

(1)已知张先生的月工资、薪金所得为10 000元,问他当月应缴纳多少个人所得税?

(2)设王先生的月工资、薪金所得为x元,当月应缴纳个人所得税为y元,写出y与x的函数关系式;

(3)已知王先生一月份应缴纳个人所得税为303元,那么他当月的工资、薪金所得为多少?

解(1)赵先生应交税为1500×3%+3000×10%+500×20%=445(元).

(2)y与x的函数关系式为

y=

(3)李先生一月份缴纳个人所得税为303元,故必有6500<x≤9500,

从而303=45+(x-6500)×10%,解得x=9080.所以王先生当月的工资、薪金所得为9080元.

新情境创新练

14.某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:当公司参加培训的员工人数不超过30时,每人的培训费用为850元;当公司参加培训的员工人数多于30时,则给予优惠:每多一人,培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元.

(1)写出y与x(x>0,x∈N*)之间的函数关系式;

(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求出最大利润.

解(1)参加培训的员工人数为x,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元,

当1≤x≤30且x∈N时,y=850;

当30<x≤60且x∈N时,y=850-10(x-30)=1150-10x.

所以y=

(2)当1≤x≤30且x∈N时,Q=850x-12000,Qmax=850×30-12000=13500(元);

当30<x≤60且x∈N时,Q=-10x2+1150x-12000,其对称轴为x==57.5,故当x=57或58时,Qmax=21060元.所以当公司参加培训的员工为57人或58人时,培训机构可获得最大利润,最大利润为21060元.