高中数学人教A版必修第一册3.2.2 奇偶性课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册3.2.2 奇偶性课时作业含解析，共1页。

[对应学生用书P40]
知识点 奇偶性
(1)偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝_f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数．
(2)奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数．
[微思考]
具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
提示：定义域关于原点对称．
[微体验]
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
B [B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．]
2．函数f(x)＝eq \f(1,x)在区间(0,1)内( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既不是奇函数又不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
C [f(x)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性．]
3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.]
4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝__________.
解析 ∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.
答案 3
[对应学生用书P40]
探究一 函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \f(3x,x2＋3)；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1).
解 (1)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝eq \f(3－x,－x2＋3)＝－eq \f(3x,x2＋3)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
[方法总结]
1．定义法判断函数的奇偶性
2．图象法判断函数的奇偶性
[跟踪训练1] (1)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝(x－2) eq \r(\f(2＋x,2－x))；
②f(x)＝x|x|.
解 ①由eq \f(2＋x,2－x)≥0，得定义域为[－2,2)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．
②函数的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x＋3，x<0，,0，x＝0，,－x2＋2x－3，x>0，))试判断函数f(x)的奇偶性．
解 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3
＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)；
当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．
∴f(x)是R上的奇函数．
探究二 奇、偶函数的图象及应用
如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
解 方法一：∵函数f(x)是偶函数，
∴其图象关于y轴对称，补全图象如下图．
由图象可知f(1)＜f(3)．
方法二：由图象可知f(－1)＜f(－3)．
又函数y＝f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．∴f(1)＜f(3)．
[变式探究] 只将本例中的“偶”改为“奇”呢？
解 方法一：∵函数f(x)是奇函数，
∴其图象关于原点对称，补全图象如下图．
由图象可知f(1)＞f(3)．
方法二：由图象可知f(－1)＜f(－3)．
又函数y＝f(x)是奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，f(－3)＝－f(3)．
∴－f(1)＜－f(3)．∴f(1)＞f(3)．
[方法总结]
奇、偶函数图象对称性的两大应用
应用一：巧作函数图象．
(1)奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称．
(2)根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图象，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图象问题．
应用二：求函数最值、单调性问题．
函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性，可以利用图象解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题，也可以解决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题，同时可以简化解题过程．
探究三 函数奇偶性的简单应用
(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5,2b－3]上的奇函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(9,8)
C．1 D．无法确定
(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
(1)B [奇函数定义域关于原点对称，∴2b－5＋2b－3＝0，即b＝2.又f(x)是奇函数，故f(－x)＋f(x)＝0，
∴2ax2＋2c＝0对任意x都成立，则a＝c＝0，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,8)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)＋1＝eq \f(9,8).]
(2)解析 令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
∴g(3)＝5.
又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.
答案 7
[变式探究] 把本例(2)的条件“f(－3)＝－3”换为“f(d)＝10”，求f(－d)的值．
解 令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，易知g(x)为奇函数，
所以f(d)＝g(d)＋2＝10，即g(d)＝8，所以f(－d)＝g(－d)＋2＝－g(d)＋2＝－8＋2＝－6.
[方法总结]
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a, b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．
[跟踪训练2] (1)函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则a＝________.
解析 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即ax2－2x＝－ax2－2x. 由对应项系数相等，得a＝0.
答案 0
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x≤0，,ax2＋bx，x>0))为奇函数，则a＋b＝________.
解析 当x＞0时，－x＜0，由题意得f(－x)＝－f(x)，
∴x2－x＝－ax2－bx， 解得a＝－1，b＝1.
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
答案 0
[对应学生用书P42]
1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．
2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．
3．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
课时作业(十五) 奇偶性
[见课时作业(十五)P155]
1．函数f(x)＝eq \r(x)的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
D [函数f(x)＝eq \r(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以此函数是非奇非偶函数．]
2．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A．－2 B．2 [来源:学+科+网Z+X+X+K]
C．1 D．0
A [由图知f(1)＝eq \f(1,2)，f(2)＝eq \f(3,2)，又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝－2.]
3．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4 B．2
C．1 D．0
D [根据偶函数图象关于y轴对称知，四个交点的横坐标是两对互为相反数的数，因此它们的和为0.]
4．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )
A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(－x)·f(x)≤0 D．eq \f(fx,f－x)＝－1
D [由于f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，由此可推A，B，C正确，由于f(－x)可能为0，故D错误．]
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
A [∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.]
6．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
解析 因为f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a为偶函数，所以a－4＝0，a＝4.
答案 4
7．若函数f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(a－x2)为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵函数f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(a－x2)为偶函数且非奇函数，∴f(－x)＝f(x)且f(－x)≠－f(x)．
又∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1≥0，,a－x2≥0，))∴a≥1.
当a＝1时，函数f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(a－x2)为偶函数且为奇函数，故a>1.
答案 a>1
8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函数为________(填序号)．
解析 因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以①为偶函数；因为f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝－f(x)，则g(－x)＝－f(－x)＝f(x)＝－g(x)，所以②为奇函数；令F(x)＝xf(x)，则F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函数；令h(x)＝ f(x)＋x，则h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函数．
答案 ②④
9．已知函数f(x)＝x－eq \f(a,x)的图象经过点(2,1)．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的奇偶性．
解 (1)因为函数f(x)＝x－eq \f(a,x)的图象经过点(2,1)，所以f(2)＝1，即2－eq \f(a,2)＝1，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝x－eq \f(2,x)，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－x－eq \f(2,－x)＝－x＋eq \f(2,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
10．已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.
分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得．
(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
1．函数f(x)＝x3＋eq \f(1,x)的图象关于( )
A．原点对称 B．y轴对称
C．y＝x对称 D．y＝－x对称
A [由于f(x)是奇函数，故其图象关于原点对称．]
2．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝( )
A．{x|x＜－2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜－2或x＞2}
B [由题意得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3－8，x≥0,－x3－8，x＜0))
∵f(x－2)＞0
∴(x－2)3－8＞0，x－2∈[0，＋∞)
或－(x－2)3－8＞0，x∈(－∞，0)．解得x＞4或x＜0.]
3．已知定义域为[a－4, 2a－2]的奇函数f(x)＝2019x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为________．
解析 奇函数的图象关于原点对称，所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2.因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.
答案 0
4．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝eq \r(x)＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
解析 由x＜0，则－x＞0，f(－x)＝eq \r(－x)＋1，
又函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)＝－f(－x)＝－eq \r(－x)－1.
因此，当x＜0时，f(x)的解析式为f(x)＝－eq \r(－x)－1.
答案 －eq \r(－x)－1
5．已知函数y＝f(x)(x∈R)对任意实数x，y，有f(x)＋f(y)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－y,2)))恒成立，且f(0)≠0.
(1)求f(0)的值；
(2)试判断函数y＝f(x)(x∈R)的奇偶性．
解 (1)令x＝y＝0，∴2f(0)＝2f(0)·f(0)．
∴f(0)＝0或f(0)＝1.
而f(0)≠0，∴f(0)＝1.
(2)令y＝－x，∴f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)．
由(1)知f(0)＝1，∴f(－x)＝f(x)．
∵f(x)的定义域为R，∴f(x)为偶函数．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
6．(拓广探索)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有eq \f(fa＋fb,a＋b)＞0.
(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解 (1)∵a＞b，∴a－b＞0.
由题意得eq \f(fa＋f－b,a－b)＞0.∴f(a)＋f(－b)＞0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－b)＝－f(b)．∴f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数．
∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)．
∴1＋m≥2m－3.∴m≤4.
∴实数m的取值范围是(－∞，4]．
课程标准
核心素养
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.
通过对函数奇偶性的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.