高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算学案设计

7.2.2　复数的乘、除运算

1．复数的乘法法则

(1)复数代数形式的乘法法则

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？

[提示]　复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．

(2)复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

思考2：|z|2＝z2，正确吗？

[提示]　不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1.

2．复数代数形式的除法法则

(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)

1．复数(3＋2i)i等于(　　)

A．－2－3i　　　　　 B．－2＋3i

C．2－3i   D．2＋3i

B　[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B.]

2．已知i是虚数单位，则＝(　　)

A．1－2i　　　B．2－i　　　C．2＋i　　　D．1＋2i

D　[＝＝＝1＋2i.]

【例1】　(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)　　　　　 B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)   D．(－1，＋∞)

(2)计算：

①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；

②(3＋4i)(3－4i)；

③(1＋i)2.

(1)B　[z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以解得a<－1 ，故选B.]

(2)[解]　①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)

＝－20＋15i.

②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25.

③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.

1．两个复数代数形式乘法的一般方法

复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．

2．常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

(3)(1±i)2＝±2i.

1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)

A．i(1＋i)2   B．i2(1－i)

C．(1＋i)2   D．i(1＋i)

(2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是        ．

(1)C　(2)5　[(1)A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．

B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．

C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．

D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．

故选C.

 (2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，

所以z的实部是5.]

【例2】　(1)＝(　　)

A．1＋2i   B．1－2i

C．2＋i   D．2－i

(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为(　　)

A．3＋5i   B．3－5i

C．－3＋5i   D．－3－5i

(1)D　(2)A　[(1)＝＝＝2－i.

(2)∵z(2－i)＝11＋7i，

∴z＝＝＝＝3＋5i.]

1．两个复数代数形式的除法运算步骤

(1)首先将除式写为分式；

(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．

2．常用公式

(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.

2.(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(　　)

A．第一象限　　　　 B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

(2)计算：8.

(1)B　[由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．]

(2)解：法一：8＝4＝4＝(－1)4＝1.

法二：因为＝＝＝i，

所以＝i8＝1.

[探究问题]

1．若z＝，则z是什么数？这个性质有什么作用？

[提示]　z＝⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．

2．若z≠0且z＋＝0，则z 是什么数？这个性质有什么作用？

[提示]　z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．

3．三个实数|z|，||，z·具有怎样的关系？

[提示]　设z＝a＋bi，

则＝a－bi，

所以|z|＝，||＝＝，

z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，

所以|z|2＝||2＝z·.

【例3】　(1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于(　　)

A.　　　B.  C．1　　　D．2

(2)已知复数z满足|z|＝，且(1－2i)z是实数，求.

[思路探究]　可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解．

(1)A　[法一：∵z＝＝＝＝＝＝－＋，

∴＝－－，∴z·＝.

法二：∵z＝，

∴|z|＝＝＝＝，

∴z·＝.]

(2)[解]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i.又因为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝，所以a2＋b2＝5.解得a＝±1，b＝±2.所以z＝1＋2i或－1－2i，所以＝1－2i或－1＋2i，即＝±(1－2i)．

1．在题设(1)条件不变的情况下，求.

[解]　由例题(1)的解析可知z＝－＋，＝－－，z·＝，∴＝＝＝－i.

2．把题设(2)的条件“(1－2i)z是实数”换成“(1－2i)z是纯虚数”，求.

[解]　设z＝a＋bi，则＝a－bi，由例题(2)的解可知a＝－2b，由|z|＝＝＝，得b＝1，a＝－2；或 b＝－1，a＝2.所以＝－2－i，或＝2＋i.

1．由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．

2．注意共轭复数的简单性质的运用．

1．复数代数形式的乘法运算类似于多项式的乘法，同时注意i2＝－1的应用.

2．复数代数形式的除法运算采用了分母实数化的思想，即应用z·＝|z|2解题．

3．记住几个常用结论：

(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．

(2)(1±i)2＝±2i.

(3)若z＝⇔z是实数；若z＋＝0，则z是纯虚数；z·＝||2＝|z|2.

1．判断正误

(1)实数不存在共轭复数．(　　)

(2)两个共轭复数的差为纯虚数．(　　)

(3)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

2．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)

A．5　　　B.　　　C．3　　　D.

A　[z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2

＝4＋1＝5.]

3．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)

A．1       B．2        C.       D.

C　[因为z(1＋i)＝2i，所以z＝＝＝1＋i，故|z|＝＝.]

4．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值．

[解]　z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i, z2＝＝＝＝＋i.

由于z1和z2互为共轭复数，所以有

解得