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勾股定理2020年成都数学八年级下学期常规版期末汇编
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这是一份勾股定理2020年成都数学八年级下学期常规版期末汇编，
△ABC 在平面直角坐标系中如图：
(1) 画出将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 所得到的 △A1B1C1，并写出 A1 点的坐标．
(2) 画出 △A1B1C1 关于原点成中心对称的 △A2B2C2，并直接写出 △AA1A2 的面积．
如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为线段 BC，CD 上的点，且 △AEF 为正三角形，则 BE 的长为 ．
如图，在一块含有 45∘ 角的直角三角板中，外框的一条直角边长为 8，三角板外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2，则图中阴影部分面积为 （结果保留根号）．
如图，已知在 △ABC 中，AB=3，AC=2，∠A=45∘，将这个三角形绕点 B 旋转，使点 A 落在射线 AC 上的点 A1 处，点 C 落在点 C1 处，那么 AC1= ．
如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为 △ABC 内一点，将 △ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACPʹ 重合，如果 AP=3，那么线段 PPʹ 的长等于 ．
如图，BC 为等边 △ABM 的高，AB=52，点 P 为射线 BC 上的动点（不与点 B，C 重合），连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 60∘，得到线段 PD，连接 MD，BD．
(1) 如图①，当点 P 在线段 BC 上时，求证：BP=MD；
(2) 如图②，当点 P 在线段 BC 的延长线上时，求证：BP=MD；
(3) 若点 P 在线段 BC 的延长线上，且 ∠BDM=30∘ 时，请直接写出线段 AP 的长度．
如图，在平面直角坐标系中，A1,1．
(1) 若 △ABC 和 △A1B1C1 关于原点 O 成中心对称图形，画出 △A1B1C1，并写出点 B1 的坐标；
(2) 点 C 绕 O 点逆时针方向旋转 90∘ 后所对应点 C2 的坐标为 ；
(3) 在 x 轴上存在一点 P，且满足点 P 到点 B1 和点 C1 距离之和最小，请直接写出 PB1 + PC1 的最小值 ．
如图，将等边 △ABC 向右平移得到 △DEF，其中点 E 与点 C 重合，连接 BD，若 AB=2，则线段 BD 的长为
A． 2 B． 4 C． 3 D． 23
已知 Rt△ABC 的面积为 3，斜边长为 7，两直角边长分别为 a，b．则代数式 a3b+ab3 的值为 ．
如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90∘，D 为 AC 边上任意一点，作 BD 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 F．连接 DE，DF，当 BC=1 时，△ADE 与 △CDF 的周长之和为 ．
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB 于点 D，若 BD=9，CD=12，求 AB 和 AC 的长．
如图，在 Rt△ABC 中，AC=4，∠BAC=90∘，∠B=30∘，D 是 BC 上一点，AE⊥AD，∠ADE=30∘，连接 CE．
(1) 求证：△ADE∽△ABC；
(2) 求证：△ACE∽△ABD；
(3) 设 CE=x，当 CD=2CE 时，求 x 的值．
如图，在 △ABC 中，∠B=∠ACB=45∘，AB=32，点 D 是 BC 上一点，作 DE⊥AD 交射线 AC 于 E，DF 平分 ∠ADE 交 AC 于 F．
(1) 求证：AB⋅CF=BD⋅CD；
(2) 如图 2，当 ∠AED=75∘ 时，求 CF 的长；
(3) 若 CD=2BD，求 AFEF．
如图，在等边 △ABC 中，BC=4，D，E 分别是 AB，AC 的中点，EF⊥BC 于点 F，连接 DF．则 DF 等于
A． 2 B． 3 C． 7 D． 22
在边长为 43 的正方形 ABCD 中，点 E,F 是 AD 上两点，且 AE=DF，∠BCE=60∘，CE 交对角线 BD 于 G，交 BF 于点 P，连接 AP，则四边形 ABGP 的面积为 ．
已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，CD⊥AB 于 D．
(1) 如图 1，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 CF，连接 AF 交 CD 于点 G．求证：AG=GF；
(2) 如图 2，点 E 是线段 CB 上一点（CE<12CB）．连接 ED，将线段 ED 绕点 E 顺时针旋转 90∘ 得到 EF，连接 AF 交 CD 于点 G．
①求证：AG=GF；
②若 AC=BC=7，CE=2，求 DG 的长．
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则 CD=
A． 2 B． 3 C． 4 D． 23
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠CAB，DE⊥AB 于点 E，若 AC=9，AB=15，则 DE= ．
如图，在 △ABC 中，∠A=60∘，BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，F 为 BC 边的中点，连接 EF，DF．
(1) 求证：EF=DF．
(2) 若 BC=6，求 △DEF 的周长．
(3) 在（2）的条件下，若 EC=2BF，求四边形 EFDA 的面积．
如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90∘，∠ABC=30∘，AC=4，N 是斜边 AB 上方一点，连接 BN，点 D 是 BC 的中点，DM 垂直平分 BN，交 AB 于点 E，连接 DN，交 AB 于点 F，当 △ANF 为直角三角形时，线段 AE 的长为 ．
答案
1. 【答案】 2+2
【解析】 ∵EF 垂直平分 BD，
∴EB=ED，FB=FD，
∵C△ADE=AD+AE+DE，
∴C△ADE=AD+AE+BE=AD+AB，
∵C△CDF=CD+CF+DF，
FB=FD，
∴C△CDF=CD+CF+BF=CD+BC，
∴C△ADE+C△CDF=AD+AB+CD+BC=AB+BC+AC，
∵BC=1，△ABC 是等腰直角三角形，
∵AC=1，AB=2，
∴C△ADE+C△CDF=1+1+2=2+2．
2. 【答案】
(1) 将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 所得到的 △A1B1C1 如图所示；
A1 点的坐标为 −3,2．
(2) △A1B1C1 关于原点成中心对称的 △A2B2C2 如图所示．
13．
【解析】
(2) ∵AA1=12+52=26，
AA2=12+52=26，
A1A2=42+62=52，
∴AA1=AA2=22A1A2，
∴△AA1A2 是等腰直角三角形，
∴S△AA1A2=12AA1⋅AA2=12×26×26=13．
3. 【答案】 2−3
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B=∠D=90∘，AB=AD，
∵△AEF 是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中 AE=AF,AB=AD,
∴Rt△ABE≌Rt△ADFHL，
∴BE=DF，
∴CE=CF，
设 BE=x，那么 DF=x，CE=CF=1−x，
在 Rt△ABE 中，AE2=AB2+BE2，
在 Rt△CEF 中，FE2=CF2+CE2，
∴AB2+BE2=CF2+CE2，
∴x2+1=21−x2，
∴x2−4x+1=0，
∴x=2±3，而 x<1，
∴x=2−3，
∴BE=2−3．
4. 【答案】 10+122
【解析】由题意得 AB=AC=8，
过 A 作 AH⊥BC 于 H，交 FG 于 M，
过 E 作 EN⊥AB 于 N，
△ABC 为等腰 Rt 三角形，
∴AB=2AH，
∴AH=42，
∵ 外框线与内框线距离为 2，
∴NE=MH=2，
又 △ANE 为等腰三角形，
∴AE=2NE=2，
∴ME=AH−AE−MH=32−2，
又 △EFM 为等腰 Rt△，
∴EF=2EM=EG=6−22，
∴EF=EG=6−22，
∴
S阴=S△ABC−S△EFG=12×82−12×6−222=10+122.
5. 【答案】 22
【解析】如图，连接 AC1，
由旋转知，△ABC≌△A1BC1，
∴AB=A1B=3，AC=A1C1=2，
∠CAB=∠C1A1B=45∘，
∴∠CAB=∠CA1B=45∘，
∴△ABA1 为等腰直角三角形，
∠AA1C1=∠CA1B+∠C1A1B=90∘，
在等腰直角三角形 ABA1 中，
AA1=2AB=32，
在 Rt△AA1C1 中，
AC1=AA12+A1C12=322+22=22．
6. 【答案】 32
【解析】 ∵△ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACPʹ 重合，
∴△ABP≌△ACPʹ，
即线段 AB 旋转后到 AC，
∴ 旋转了 90∘，
∴∠PAPʹ=∠BAC=90∘，AP=APʹ=3，
∴PPʹ=32．
7. 【答案】
(1) 如图①，连接 AD，
∵△AMB 是等边三角形，
∴AB=AM，∠BAM=60∘，
由旋转的性质可得：AP=DP，∠APD=60∘，
∴△APD 是等边三角形，
∴PA=PD=AD，∠PAD=60∘=∠BAM，
∴∠BAP=∠BAC−∠CAP，∠MAD=∠PAD−∠CAP，
∴∠BAP=∠MAD，
在 △BAP 与 △MAD 中，
BA=MA,∠BAP=∠MAD,AP=AD.
∴△BAP≌△MADSAS，
∴BP=MD．
(2) 如图②，连接 AD，
∵△AMB 是等边三角形，
∴AB=AM，∠BAM=60∘=∠AMB，
由旋转的性质可得：AP=DP，∠APD=60∘，
∴△APD 是等边三角形，
∴PA=PD=AD，∠PAD=60∘=∠BAM，
∴∠BAP=∠BAC+∠CAP，∠MAD=∠PAD+∠CAP，
∴∠BAP=∠MAD，
在 △BAP 与 △MAD 中，
BA=MA,∠BAP=∠MAD,AP=AD.
∴△BAP≌△MADSAS，
∴BP=MD．
(3) 52
【解析】
(3) ∵BC 为等边 △ABM 的高，
∴∠ABC=30∘，
∵△BAP≌△MAD，
∴∠ABP=∠AMD=30∘，
∴∠BMD=∠AMB+∠AMD=90∘，
∴∠BMD=90∘，
∵∠BDM=30∘，
∴∠DBM=60∘，
∴ 点 D 在 BA 的延长线上，
如图③，
∵∠BDM=30∘，∠BMD=90∘，
∴BD=2BM=102，
∴AD=BD−AB=52，
∵PA=PD=AD，
∴AP=AD=52．
8. 【答案】
(1) 如图，△A1B1C1 即为所求，
点 B1 的坐标为 −4,−4；
(2) −1,5；
(3) 26
【解析】
(2) 点 C2 的坐标为 −1,5，
故答案为：−1,5．
(3) 点 P 即为所求，
PB1+PC1 的最小值为 26，
故答案为：26．
9. 【答案】D
【解析】如图，过点 D 作 DH⊥CF 于 H，
∵ 将等边 △ABC 向右平移得到 △DEF，
∴△DEF 是等边三角形，
∴DF=CF=2，∠DFC=60∘，
∵DH⊥CF，
∴∠FDH=30∘，CH=HF=1，
∴DH=3HF=3，BH=BC+CH=3，
∴BD=BH2+DH2=3+9=23．
10. 【答案】 143
【解析】 ∵Rt△ABC 的面积为 3，
∴12ab=3，
解得 ab=23，
根据勾股定理得：a2+b2=72=7，
则代数式 a3b+ab3=aba2+b2=23×7=143．
11. 【答案】 2+2
【解析】 ∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AC=BC=1，AB=2BC=2，
∵EF 是 BD 的垂直平分线，
∴BE=DE，BF=DF，
∵△ADE 的周长 =AD+DE+AE=AD+BE+AE=AD+AB，
△CDF 的周长 =CD+CF+DF=CD+CF+BF=CD+BC，
∴△ADE 与 △CDF 的周长之和 =AD+AB+CD+BC=AC+AB+BC=2+2．
12. 【答案】 ∵ 在 Rt△ABC 中，CD⊥AB，
∴∠CDB=90∘，
∵BD=9，CD=12，
由勾股定理得：BC=CD2+BD2=122+92=15，
设 AC=x，AD=y，
则 12⋅15⋅x=12⋅129+y, ⋯⋯①152+x2=9+y2, ⋯⋯②
由①得：9+y=54x, ⋯⋯③
把③代入②得：152+x2=25x216，
解得：x=20 或 −20（舍），
∴AC=20，AB=16+9=25．
13. 【答案】
(1) ∵AE⊥AD，∠BAC=90∘，
∴∠EAD=∠CAB=90∘，
∵∠B=30∘，∠ADE=30∘，
∴∠B=∠ADE，
∴△ADE∽△ABC．
(2) ∵∠EAD=∠CAB=90∘，
∴∠EAC=∠DAB=90∘−∠CAD，
∵△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB，
∴EAAD=ACAB，
∴△ACE∽△ABD．
(3) 在 Rt△ABC 中，∠CAB=90∘，AC=4，∠B=30∘，
∴BC=2AC=8，AB=BC2−AC2=82−42=43，
∵CE=x，CD=2CE，
∴CD=2x，
∵△ACE∽△ABD，
∴CEBD=ACAB，
∴xBD=443，
∴BD=3x，
∴BC=CD+BD=2x+3x=8，解得：x=16−83．
14. 【答案】
(1) 如图 1 中，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90∘，
∵DF 平分 ∠ADE，
∴∠ADF=∠FDC=45∘，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADF+∠FDC，∠B=∠ADF=45∘，
∴∠BAD=∠FDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△CDF，
∴ABCD=BDCF，
∴AB⋅CF=BD⋅CD．
(2) 如图 2 中，过点 A 作 AH⊥BC 于 H．
∵∠B=∠C=45∘，
∴AB=AC=32，
∴BC=2AB=6，
∵AH⊥BC，
∴BH=CH=3，AH=BH=CH=3，
∵AD⊥DE，∠AED=75∘，
∴∠ADE=90∘，∠DAE=15∘，
∴∠ADH=∠DAE+∠C=60∘，
∴∠DAH=30∘，DH=AH⋅tan30∘=3，
∴BD=3+3，CD=3−3，
∵AB⋅CF=BD⋅CD，
∴32⋅CF=3+33−3，
∴CF=2．
(3) 如图 2−1 中，过点 A 作 AH⊥BC 于 H，过点 E 作 EG⊥CD 于 G．
设 BD=a，则 CD=2a，BC=3a．
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴AH=HB=HC=1.5a，DH=0.5a，∠C=∠B=45∘，
∵∠AHD=∠ADE=∠DGE=90∘，
∴∠ADH+∠EDG=90∘，∠EDG+∠DEG=90∘，
∴∠ADH=∠DEG，
∴△ADH∽△DEG，设 EG=CG=y，则 DG=a−y，
∴AHDG=DHEG，
∴1.5a2a+y=0.5ay，解得 y=a，
∴CG=EG=a，EC=2a，
∵CF=BD⋅CDAB=a×2a322=223a，
∴AF=AC−CF=322a−223a=526a，EF=CF+CE=223a+2a=523a，
∴AFEF=526a523a=12．
15. 【答案】C
【解析】 ∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=12BC=2，DE∥BC，
∵EF⊥BC，
∴DE⊥EF，
∵∠EFC=90∘，EC=2，∠C=60∘，
∴EF=EC⋅sin60∘=3，
在 Rt△DEF 中，
∵∠DEF=90∘，
∴DF=DE2+EF2=22+32=7．
16. 【答案】 243−24
【解析】解：如图：过点 P 作 PH⊥A 于 H，过点 G 作 GM⊥CD 于 M，过点 B 作 BN⊥EC 于 N．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=43，∠BAF=∠CDE=90∘，
∵AE=DF，
∴AF=DE，
∴△BAF≌△CDESAS，
∴∠ABF=∠CDE，
∵∠ABC=∠DCB=90∘，
∴∠PCB=∠PBC=60∘，
∴△PBC 是等边三角形，
∴PB=BC=PC=43，
∵GM⊥CD，∠GDM=45∘，
∴DM=GM ,，设DM=GM=x，
在 Rt△GCM 中，∵∠GCM=30∘，
∴CM=3GM=3x，CG=2GM=2x，
∴x+3x=43，
∴x=6−23，
∴CG=12−43，PG=PC=CG=43−12−43=83−12，
在 Rt△BCN 中，BN=BC⋅sin60∘=43×32=6，
在 Rt△PBH 中，PH=PB⋅sin30∘=23，
∴S四边形ABGP=S△ABP+S△PBG=12⋅AB⋅PH+12⋅PG⋅BN=12×43×23+12×83−12×6=243−24．
故答案为 243−24．
17. 【答案】
(1) ∵ 将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 CF，
∴∠FCD=90∘，CF=CD，
∵∠ACB=90∘，AC=BC，CD⊥AB 于 D，
∴AD=BD，CF∥AD，
∴CD=AD=BD，
∴CF=AD，
又 ∵∠AGD=∠CGF，
∴△ADG≌△FCGAAS，
∴AG=GF．
(2) ①过点 E 作 EM⊥CB 交 CD 于点 M，连接 MF，
由（1）知 D 为 AB 的中点，
∴∠DCB=45∘，CD=AD，
∴△CEM 为等腰直角三角形，
∴CE=ME，
又 ∵∠CEM=∠DEF=90∘，DE=EF，
∴∠CED=∠MEF，
∴△CED≌△MEFSAS，
∴CD=MF，∠MEF=∠ECD=45∘，
∴AD=MF，∠CMF=90∘，
又 ∵∠ADG=90∘，
∴∠ADG=∠FMG，
∵∠MGF=∠AGD，
∴△ADG≌△FMGAAS，
∴AG=GF．
② ∵∠ACB=90∘，AC=BC=7，
∴AB=AC2+BC2=72，
∴CD=12AB=722，
∵CE=2，CE=ME，
∴CM=CE2+ME2=22+22=22，
∴DM=CD−CM=722−22=322，
又 ∵△ADG≌△FMG，
∴DG=MG=12DM=342．
18. 【答案】C
【解析】 ∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CE 为 AB 边上的中线，CE=5，
∴AE=CE=5，
∵AD=2，
∴DE=3，
∵CD 为 AB 边上的高，
∴ 在 Rt△CDE 中，CD=CE2−DE2=52−32=4．
19. 【答案】 92
【解析】 ∵AD 平分 ∠CAB，
∴∠DAC=∠DAE，
∵∠C=90∘，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90∘，
在 △ADC 和 △ADE 中，
∵∠C=∠AED=90∘,∠DAC=∠DAE,AD=AD,
∴△ADC≌△ADEAAS，
∴DC=DE，AC=AE，
∵AC=9，
∴AE=9，
∵AB=15，
∴BE=AB−AE=15−9=6，
在 △ABC 中，
∵∠C=90∘，AC=9，AB=15，
∴BC=AB2−AC2=152−92=12，
设 CD=DE=x，则 BD=12−x，
在 Rt△BDE 中，
∴DE2+BE2=DB2，
∴x2+62=12−x2，x=92，
∴DE=92．
20. 【答案】
(1) ∵BD⊥AC 且点 F 为 BC 中点，
∴DF=12BC，
∵CE⊥AB 点 F 为 BC 中点，
∴EF=12BC，
∴EF=DF．
(2) ∵BD⊥AC 且 ∠A=60∘，
∴∠ABD=90∘−60∘=30∘，
∵CE⊥AB 且 ∠A=60∘，
∴∠ACE=90∘−60∘=30∘，
在 △ABC 中，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180∘，
∴∠DBC+∠ECB=180∘−∠A−∠ABD−∠ACE=180∘−60∘−30∘−30∘=60∘,
由（1）得：EF=DF=12BC=BF=CF，
∴∠BFE=2∠ECB，
∠DFC=2∠DBC，
∴∠BFE+∠DFC=2∠ECB+2∠DBC=2∠ECB+∠DBC=2×60∘=120∘,
∴∠EFD=180∘−120∘=60∘，
由（1）得：EF=DF，
∴△DEF 是等边三角形，
∵BC=6，
∴EF=12BC=12×6=3，
∴C△DEF=3×3=9．
(3) ∵BC=6 且 F 为 BC 中点，
∴BF=12BC=12×6=3，
∵EC=2BF，
∴EC=2×3=32，
∵CE⊥AB，
∴BE=BC2−CE2=62−322=32，
∵∠A=60∘，
∴AE=CE3=323=6，
AC=2AE=26，
∵AE=6，BE=32，
∴AB=AE+BE=6+32,
∵∠A=60∘，
∴AD=12AB=12×6+32=6+322,
BD=3AD=3×6+322=32+362，
∴DC=AC−AD=26−6+322=36−322,
∴S△ABC=12AB⋅EC=12×6+32×32=33+9.
∴S△BEF=12S△BEC=12×12×BE×EC=12×12×32×32=92.
∴S△CDF=12S△BCD=12×12×CD×BD=12×12×36−322×32+362=92.
∴S四边形EFDA=S△ABC−S△BEF−S△CDF=33+9−92−92=33.
21. 【答案】 6 或 285
【解析】①当 ∠AFN=90∘ 时，如图 1 所示，连接 AD，
∵∠C=90∘−∠ABC=30∘ 且 AC=4，
∴BC=3AC=3×4=43，
∵D 为 BC 中点，
∴CD=BD=12BC=12×43=23，
∵DM 垂直平分 BN，
∴DN=DB=23，
∵∠AFN=90∘，
∴∠DFB=90∘，
∵∠ABC=30∘，
∴DF=12BD=12×23=3，
∴FN=DN−DF=23−3=3，
∴ 点 F 为 DN 中点，
∵∠DFB=90∘，
∴DB=NB，
∴DB=NB=DN，
∴△BDN 是等边三角形，
∵EF⊥DN，EM⊥BN，
∴ 点 E 为 △DBN 的内心，
∴∠FDE=12∠BDN=12×60∘=30∘，
∴EF=DF3=33=1，
在 Rt△ACD 中，
∵AC=4，CD=23，
∴AD2=AC2+CD2=42+232=28，
在 Rt△ADF 中，
AF=AD2−DF2=28−32=5，
∴AE=AF+EF=5+1=6.
②当 ∠ANF=90∘ 时，如图 2 所示，
连接 AD，过点 E 作 BC 的垂线交于点 H，
在 △ADC 和 △ADN 中，
∵∠C=∠AND=90∘,CD=DN,AD=AD,
∴△ADC≌△ADNHL，
∴∠ADC=∠ADN，
∵DM 垂直平分 BN，
∴∠NDM=∠BDM，
∴∠ADN+∠NDM=∠ADC+∠BDM=12×180∘=90∘,
∴∠ADE=90∘，
∵∠C=∠ADE=∠DHE=90∘，
∴△ACD∽△DHE，
∵ACDH=CDHE，
∵∠ABC=30∘ 且 EH⊥BC，
∴ 设 EH=x，则 BH=3x，BE=2x，
∵BD=23，
∴DH=BD−BH=23−3x，
∵AC=4，DC=23，
∴423−3x=23x，
x=65，
∴EH=65，BE=2×65=125，
∵∠ABC=30∘，∠C=90∘ 且 AC=4，
∴AB=2AC=2×4=8，
∴AE=AB−BE=8−125=285.
③当 ∠FAN=90∘ 时，不符合题意（舍），
综上所述当 △ANF 为直角三角形时，AE=6 或 AE=285．
△ABC 在平面直角坐标系中如图：
(1) 画出将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 所得到的 △A1B1C1，并写出 A1 点的坐标．
(2) 画出 △A1B1C1 关于原点成中心对称的 △A2B2C2，并直接写出 △AA1A2 的面积．
如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为线段 BC，CD 上的点，且 △AEF 为正三角形，则 BE 的长为 ．
如图，在一块含有 45∘ 角的直角三角板中，外框的一条直角边长为 8，三角板外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2，则图中阴影部分面积为 （结果保留根号）．
如图，已知在 △ABC 中，AB=3，AC=2，∠A=45∘，将这个三角形绕点 B 旋转，使点 A 落在射线 AC 上的点 A1 处，点 C 落在点 C1 处，那么 AC1= ．
如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为 △ABC 内一点，将 △ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACPʹ 重合，如果 AP=3，那么线段 PPʹ 的长等于 ．
如图，BC 为等边 △ABM 的高，AB=52，点 P 为射线 BC 上的动点（不与点 B，C 重合），连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 60∘，得到线段 PD，连接 MD，BD．
(1) 如图①，当点 P 在线段 BC 上时，求证：BP=MD；
(2) 如图②，当点 P 在线段 BC 的延长线上时，求证：BP=MD；
(3) 若点 P 在线段 BC 的延长线上，且 ∠BDM=30∘ 时，请直接写出线段 AP 的长度．
如图，在平面直角坐标系中，A1,1．
(1) 若 △ABC 和 △A1B1C1 关于原点 O 成中心对称图形，画出 △A1B1C1，并写出点 B1 的坐标；
(2) 点 C 绕 O 点逆时针方向旋转 90∘ 后所对应点 C2 的坐标为 ；
(3) 在 x 轴上存在一点 P，且满足点 P 到点 B1 和点 C1 距离之和最小，请直接写出 PB1 + PC1 的最小值 ．
如图，将等边 △ABC 向右平移得到 △DEF，其中点 E 与点 C 重合，连接 BD，若 AB=2，则线段 BD 的长为
A． 2 B． 4 C． 3 D． 23
已知 Rt△ABC 的面积为 3，斜边长为 7，两直角边长分别为 a，b．则代数式 a3b+ab3 的值为 ．
如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90∘，D 为 AC 边上任意一点，作 BD 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 F．连接 DE，DF，当 BC=1 时，△ADE 与 △CDF 的周长之和为 ．
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB 于点 D，若 BD=9，CD=12，求 AB 和 AC 的长．
如图，在 Rt△ABC 中，AC=4，∠BAC=90∘，∠B=30∘，D 是 BC 上一点，AE⊥AD，∠ADE=30∘，连接 CE．
(1) 求证：△ADE∽△ABC；
(2) 求证：△ACE∽△ABD；
(3) 设 CE=x，当 CD=2CE 时，求 x 的值．
如图，在 △ABC 中，∠B=∠ACB=45∘，AB=32，点 D 是 BC 上一点，作 DE⊥AD 交射线 AC 于 E，DF 平分 ∠ADE 交 AC 于 F．
(1) 求证：AB⋅CF=BD⋅CD；
(2) 如图 2，当 ∠AED=75∘ 时，求 CF 的长；
(3) 若 CD=2BD，求 AFEF．
如图，在等边 △ABC 中，BC=4，D，E 分别是 AB，AC 的中点，EF⊥BC 于点 F，连接 DF．则 DF 等于
A． 2 B． 3 C． 7 D． 22
在边长为 43 的正方形 ABCD 中，点 E,F 是 AD 上两点，且 AE=DF，∠BCE=60∘，CE 交对角线 BD 于 G，交 BF 于点 P，连接 AP，则四边形 ABGP 的面积为 ．
已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，CD⊥AB 于 D．
(1) 如图 1，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 CF，连接 AF 交 CD 于点 G．求证：AG=GF；
(2) 如图 2，点 E 是线段 CB 上一点（CE<12CB）．连接 ED，将线段 ED 绕点 E 顺时针旋转 90∘ 得到 EF，连接 AF 交 CD 于点 G．
①求证：AG=GF；
②若 AC=BC=7，CE=2，求 DG 的长．
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则 CD=
A． 2 B． 3 C． 4 D． 23
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠CAB，DE⊥AB 于点 E，若 AC=9，AB=15，则 DE= ．
如图，在 △ABC 中，∠A=60∘，BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，F 为 BC 边的中点，连接 EF，DF．
(1) 求证：EF=DF．
(2) 若 BC=6，求 △DEF 的周长．
(3) 在（2）的条件下，若 EC=2BF，求四边形 EFDA 的面积．
如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90∘，∠ABC=30∘，AC=4，N 是斜边 AB 上方一点，连接 BN，点 D 是 BC 的中点，DM 垂直平分 BN，交 AB 于点 E，连接 DN，交 AB 于点 F，当 △ANF 为直角三角形时，线段 AE 的长为 ．
答案
1. 【答案】 2+2
【解析】 ∵EF 垂直平分 BD，
∴EB=ED，FB=FD，
∵C△ADE=AD+AE+DE，
∴C△ADE=AD+AE+BE=AD+AB，
∵C△CDF=CD+CF+DF，
FB=FD，
∴C△CDF=CD+CF+BF=CD+BC，
∴C△ADE+C△CDF=AD+AB+CD+BC=AB+BC+AC，
∵BC=1，△ABC 是等腰直角三角形，
∵AC=1，AB=2，
∴C△ADE+C△CDF=1+1+2=2+2．
2. 【答案】
(1) 将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 所得到的 △A1B1C1 如图所示；
A1 点的坐标为 −3,2．
(2) △A1B1C1 关于原点成中心对称的 △A2B2C2 如图所示．
13．
【解析】
(2) ∵AA1=12+52=26，
AA2=12+52=26，
A1A2=42+62=52，
∴AA1=AA2=22A1A2，
∴△AA1A2 是等腰直角三角形，
∴S△AA1A2=12AA1⋅AA2=12×26×26=13．
3. 【答案】 2−3
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B=∠D=90∘，AB=AD，
∵△AEF 是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中 AE=AF,AB=AD,
∴Rt△ABE≌Rt△ADFHL，
∴BE=DF，
∴CE=CF，
设 BE=x，那么 DF=x，CE=CF=1−x，
在 Rt△ABE 中，AE2=AB2+BE2，
在 Rt△CEF 中，FE2=CF2+CE2，
∴AB2+BE2=CF2+CE2，
∴x2+1=21−x2，
∴x2−4x+1=0，
∴x=2±3，而 x<1，
∴x=2−3，
∴BE=2−3．
4. 【答案】 10+122
【解析】由题意得 AB=AC=8，
过 A 作 AH⊥BC 于 H，交 FG 于 M，
过 E 作 EN⊥AB 于 N，
△ABC 为等腰 Rt 三角形，
∴AB=2AH，
∴AH=42，
∵ 外框线与内框线距离为 2，
∴NE=MH=2，
又 △ANE 为等腰三角形，
∴AE=2NE=2，
∴ME=AH−AE−MH=32−2，
又 △EFM 为等腰 Rt△，
∴EF=2EM=EG=6−22，
∴EF=EG=6−22，
∴
S阴=S△ABC−S△EFG=12×82−12×6−222=10+122.
5. 【答案】 22
【解析】如图，连接 AC1，
由旋转知，△ABC≌△A1BC1，
∴AB=A1B=3，AC=A1C1=2，
∠CAB=∠C1A1B=45∘，
∴∠CAB=∠CA1B=45∘，
∴△ABA1 为等腰直角三角形，
∠AA1C1=∠CA1B+∠C1A1B=90∘，
在等腰直角三角形 ABA1 中，
AA1=2AB=32，
在 Rt△AA1C1 中，
AC1=AA12+A1C12=322+22=22．
6. 【答案】 32
【解析】 ∵△ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACPʹ 重合，
∴△ABP≌△ACPʹ，
即线段 AB 旋转后到 AC，
∴ 旋转了 90∘，
∴∠PAPʹ=∠BAC=90∘，AP=APʹ=3，
∴PPʹ=32．
7. 【答案】
(1) 如图①，连接 AD，
∵△AMB 是等边三角形，
∴AB=AM，∠BAM=60∘，
由旋转的性质可得：AP=DP，∠APD=60∘，
∴△APD 是等边三角形，
∴PA=PD=AD，∠PAD=60∘=∠BAM，
∴∠BAP=∠BAC−∠CAP，∠MAD=∠PAD−∠CAP，
∴∠BAP=∠MAD，
在 △BAP 与 △MAD 中，
BA=MA,∠BAP=∠MAD,AP=AD.
∴△BAP≌△MADSAS，
∴BP=MD．
(2) 如图②，连接 AD，
∵△AMB 是等边三角形，
∴AB=AM，∠BAM=60∘=∠AMB，
由旋转的性质可得：AP=DP，∠APD=60∘，
∴△APD 是等边三角形，
∴PA=PD=AD，∠PAD=60∘=∠BAM，
∴∠BAP=∠BAC+∠CAP，∠MAD=∠PAD+∠CAP，
∴∠BAP=∠MAD，
在 △BAP 与 △MAD 中，
BA=MA,∠BAP=∠MAD,AP=AD.
∴△BAP≌△MADSAS，
∴BP=MD．
(3) 52
【解析】
(3) ∵BC 为等边 △ABM 的高，
∴∠ABC=30∘，
∵△BAP≌△MAD，
∴∠ABP=∠AMD=30∘，
∴∠BMD=∠AMB+∠AMD=90∘，
∴∠BMD=90∘，
∵∠BDM=30∘，
∴∠DBM=60∘，
∴ 点 D 在 BA 的延长线上，
如图③，
∵∠BDM=30∘，∠BMD=90∘，
∴BD=2BM=102，
∴AD=BD−AB=52，
∵PA=PD=AD，
∴AP=AD=52．
8. 【答案】
(1) 如图，△A1B1C1 即为所求，
点 B1 的坐标为 −4,−4；
(2) −1,5；
(3) 26
【解析】
(2) 点 C2 的坐标为 −1,5，
故答案为：−1,5．
(3) 点 P 即为所求，
PB1+PC1 的最小值为 26，
故答案为：26．
9. 【答案】D
【解析】如图，过点 D 作 DH⊥CF 于 H，
∵ 将等边 △ABC 向右平移得到 △DEF，
∴△DEF 是等边三角形，
∴DF=CF=2，∠DFC=60∘，
∵DH⊥CF，
∴∠FDH=30∘，CH=HF=1，
∴DH=3HF=3，BH=BC+CH=3，
∴BD=BH2+DH2=3+9=23．
10. 【答案】 143
【解析】 ∵Rt△ABC 的面积为 3，
∴12ab=3，
解得 ab=23，
根据勾股定理得：a2+b2=72=7，
则代数式 a3b+ab3=aba2+b2=23×7=143．
11. 【答案】 2+2
【解析】 ∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AC=BC=1，AB=2BC=2，
∵EF 是 BD 的垂直平分线，
∴BE=DE，BF=DF，
∵△ADE 的周长 =AD+DE+AE=AD+BE+AE=AD+AB，
△CDF 的周长 =CD+CF+DF=CD+CF+BF=CD+BC，
∴△ADE 与 △CDF 的周长之和 =AD+AB+CD+BC=AC+AB+BC=2+2．
12. 【答案】 ∵ 在 Rt△ABC 中，CD⊥AB，
∴∠CDB=90∘，
∵BD=9，CD=12，
由勾股定理得：BC=CD2+BD2=122+92=15，
设 AC=x，AD=y，
则 12⋅15⋅x=12⋅129+y, ⋯⋯①152+x2=9+y2, ⋯⋯②
由①得：9+y=54x, ⋯⋯③
把③代入②得：152+x2=25x216，
解得：x=20 或 −20（舍），
∴AC=20，AB=16+9=25．
13. 【答案】
(1) ∵AE⊥AD，∠BAC=90∘，
∴∠EAD=∠CAB=90∘，
∵∠B=30∘，∠ADE=30∘，
∴∠B=∠ADE，
∴△ADE∽△ABC．
(2) ∵∠EAD=∠CAB=90∘，
∴∠EAC=∠DAB=90∘−∠CAD，
∵△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB，
∴EAAD=ACAB，
∴△ACE∽△ABD．
(3) 在 Rt△ABC 中，∠CAB=90∘，AC=4，∠B=30∘，
∴BC=2AC=8，AB=BC2−AC2=82−42=43，
∵CE=x，CD=2CE，
∴CD=2x，
∵△ACE∽△ABD，
∴CEBD=ACAB，
∴xBD=443，
∴BD=3x，
∴BC=CD+BD=2x+3x=8，解得：x=16−83．
14. 【答案】
(1) 如图 1 中，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90∘，
∵DF 平分 ∠ADE，
∴∠ADF=∠FDC=45∘，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADF+∠FDC，∠B=∠ADF=45∘，
∴∠BAD=∠FDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△CDF，
∴ABCD=BDCF，
∴AB⋅CF=BD⋅CD．
(2) 如图 2 中，过点 A 作 AH⊥BC 于 H．
∵∠B=∠C=45∘，
∴AB=AC=32，
∴BC=2AB=6，
∵AH⊥BC，
∴BH=CH=3，AH=BH=CH=3，
∵AD⊥DE，∠AED=75∘，
∴∠ADE=90∘，∠DAE=15∘，
∴∠ADH=∠DAE+∠C=60∘，
∴∠DAH=30∘，DH=AH⋅tan30∘=3，
∴BD=3+3，CD=3−3，
∵AB⋅CF=BD⋅CD，
∴32⋅CF=3+33−3，
∴CF=2．
(3) 如图 2−1 中，过点 A 作 AH⊥BC 于 H，过点 E 作 EG⊥CD 于 G．
设 BD=a，则 CD=2a，BC=3a．
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴AH=HB=HC=1.5a，DH=0.5a，∠C=∠B=45∘，
∵∠AHD=∠ADE=∠DGE=90∘，
∴∠ADH+∠EDG=90∘，∠EDG+∠DEG=90∘，
∴∠ADH=∠DEG，
∴△ADH∽△DEG，设 EG=CG=y，则 DG=a−y，
∴AHDG=DHEG，
∴1.5a2a+y=0.5ay，解得 y=a，
∴CG=EG=a，EC=2a，
∵CF=BD⋅CDAB=a×2a322=223a，
∴AF=AC−CF=322a−223a=526a，EF=CF+CE=223a+2a=523a，
∴AFEF=526a523a=12．
15. 【答案】C
【解析】 ∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=12BC=2，DE∥BC，
∵EF⊥BC，
∴DE⊥EF，
∵∠EFC=90∘，EC=2，∠C=60∘，
∴EF=EC⋅sin60∘=3，
在 Rt△DEF 中，
∵∠DEF=90∘，
∴DF=DE2+EF2=22+32=7．
16. 【答案】 243−24
【解析】解：如图：过点 P 作 PH⊥A 于 H，过点 G 作 GM⊥CD 于 M，过点 B 作 BN⊥EC 于 N．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=43，∠BAF=∠CDE=90∘，
∵AE=DF，
∴AF=DE，
∴△BAF≌△CDESAS，
∴∠ABF=∠CDE，
∵∠ABC=∠DCB=90∘，
∴∠PCB=∠PBC=60∘，
∴△PBC 是等边三角形，
∴PB=BC=PC=43，
∵GM⊥CD，∠GDM=45∘，
∴DM=GM ,，设DM=GM=x，
在 Rt△GCM 中，∵∠GCM=30∘，
∴CM=3GM=3x，CG=2GM=2x，
∴x+3x=43，
∴x=6−23，
∴CG=12−43，PG=PC=CG=43−12−43=83−12，
在 Rt△BCN 中，BN=BC⋅sin60∘=43×32=6，
在 Rt△PBH 中，PH=PB⋅sin30∘=23，
∴S四边形ABGP=S△ABP+S△PBG=12⋅AB⋅PH+12⋅PG⋅BN=12×43×23+12×83−12×6=243−24．
故答案为 243−24．
17. 【答案】
(1) ∵ 将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 CF，
∴∠FCD=90∘，CF=CD，
∵∠ACB=90∘，AC=BC，CD⊥AB 于 D，
∴AD=BD，CF∥AD，
∴CD=AD=BD，
∴CF=AD，
又 ∵∠AGD=∠CGF，
∴△ADG≌△FCGAAS，
∴AG=GF．
(2) ①过点 E 作 EM⊥CB 交 CD 于点 M，连接 MF，
由（1）知 D 为 AB 的中点，
∴∠DCB=45∘，CD=AD，
∴△CEM 为等腰直角三角形，
∴CE=ME，
又 ∵∠CEM=∠DEF=90∘，DE=EF，
∴∠CED=∠MEF，
∴△CED≌△MEFSAS，
∴CD=MF，∠MEF=∠ECD=45∘，
∴AD=MF，∠CMF=90∘，
又 ∵∠ADG=90∘，
∴∠ADG=∠FMG，
∵∠MGF=∠AGD，
∴△ADG≌△FMGAAS，
∴AG=GF．
② ∵∠ACB=90∘，AC=BC=7，
∴AB=AC2+BC2=72，
∴CD=12AB=722，
∵CE=2，CE=ME，
∴CM=CE2+ME2=22+22=22，
∴DM=CD−CM=722−22=322，
又 ∵△ADG≌△FMG，
∴DG=MG=12DM=342．
18. 【答案】C
【解析】 ∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CE 为 AB 边上的中线，CE=5，
∴AE=CE=5，
∵AD=2，
∴DE=3，
∵CD 为 AB 边上的高，
∴ 在 Rt△CDE 中，CD=CE2−DE2=52−32=4．
19. 【答案】 92
【解析】 ∵AD 平分 ∠CAB，
∴∠DAC=∠DAE，
∵∠C=90∘，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90∘，
在 △ADC 和 △ADE 中，
∵∠C=∠AED=90∘,∠DAC=∠DAE,AD=AD,
∴△ADC≌△ADEAAS，
∴DC=DE，AC=AE，
∵AC=9，
∴AE=9，
∵AB=15，
∴BE=AB−AE=15−9=6，
在 △ABC 中，
∵∠C=90∘，AC=9，AB=15，
∴BC=AB2−AC2=152−92=12，
设 CD=DE=x，则 BD=12−x，
在 Rt△BDE 中，
∴DE2+BE2=DB2，
∴x2+62=12−x2，x=92，
∴DE=92．
20. 【答案】
(1) ∵BD⊥AC 且点 F 为 BC 中点，
∴DF=12BC，
∵CE⊥AB 点 F 为 BC 中点，
∴EF=12BC，
∴EF=DF．
(2) ∵BD⊥AC 且 ∠A=60∘，
∴∠ABD=90∘−60∘=30∘，
∵CE⊥AB 且 ∠A=60∘，
∴∠ACE=90∘−60∘=30∘，
在 △ABC 中，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180∘，
∴∠DBC+∠ECB=180∘−∠A−∠ABD−∠ACE=180∘−60∘−30∘−30∘=60∘,
由（1）得：EF=DF=12BC=BF=CF，
∴∠BFE=2∠ECB，
∠DFC=2∠DBC，
∴∠BFE+∠DFC=2∠ECB+2∠DBC=2∠ECB+∠DBC=2×60∘=120∘,
∴∠EFD=180∘−120∘=60∘，
由（1）得：EF=DF，
∴△DEF 是等边三角形，
∵BC=6，
∴EF=12BC=12×6=3，
∴C△DEF=3×3=9．
(3) ∵BC=6 且 F 为 BC 中点，
∴BF=12BC=12×6=3，
∵EC=2BF，
∴EC=2×3=32，
∵CE⊥AB，
∴BE=BC2−CE2=62−322=32，
∵∠A=60∘，
∴AE=CE3=323=6，
AC=2AE=26，
∵AE=6，BE=32，
∴AB=AE+BE=6+32,
∵∠A=60∘，
∴AD=12AB=12×6+32=6+322,
BD=3AD=3×6+322=32+362，
∴DC=AC−AD=26−6+322=36−322,
∴S△ABC=12AB⋅EC=12×6+32×32=33+9.
∴S△BEF=12S△BEC=12×12×BE×EC=12×12×32×32=92.
∴S△CDF=12S△BCD=12×12×CD×BD=12×12×36−322×32+362=92.
∴S四边形EFDA=S△ABC−S△BEF−S△CDF=33+9−92−92=33.
21. 【答案】 6 或 285
【解析】①当 ∠AFN=90∘ 时，如图 1 所示，连接 AD，
∵∠C=90∘−∠ABC=30∘ 且 AC=4，
∴BC=3AC=3×4=43，
∵D 为 BC 中点，
∴CD=BD=12BC=12×43=23，
∵DM 垂直平分 BN，
∴DN=DB=23，
∵∠AFN=90∘，
∴∠DFB=90∘，
∵∠ABC=30∘，
∴DF=12BD=12×23=3，
∴FN=DN−DF=23−3=3，
∴ 点 F 为 DN 中点，
∵∠DFB=90∘，
∴DB=NB，
∴DB=NB=DN，
∴△BDN 是等边三角形，
∵EF⊥DN，EM⊥BN，
∴ 点 E 为 △DBN 的内心，
∴∠FDE=12∠BDN=12×60∘=30∘，
∴EF=DF3=33=1，
在 Rt△ACD 中，
∵AC=4，CD=23，
∴AD2=AC2+CD2=42+232=28，
在 Rt△ADF 中，
AF=AD2−DF2=28−32=5，
∴AE=AF+EF=5+1=6.
②当 ∠ANF=90∘ 时，如图 2 所示，
连接 AD，过点 E 作 BC 的垂线交于点 H，
在 △ADC 和 △ADN 中，
∵∠C=∠AND=90∘,CD=DN,AD=AD,
∴△ADC≌△ADNHL，
∴∠ADC=∠ADN，
∵DM 垂直平分 BN，
∴∠NDM=∠BDM，
∴∠ADN+∠NDM=∠ADC+∠BDM=12×180∘=90∘,
∴∠ADE=90∘，
∵∠C=∠ADE=∠DHE=90∘，
∴△ACD∽△DHE，
∵ACDH=CDHE，
∵∠ABC=30∘ 且 EH⊥BC，
∴ 设 EH=x，则 BH=3x，BE=2x，
∵BD=23，
∴DH=BD−BH=23−3x，
∵AC=4，DC=23，
∴423−3x=23x，
x=65，
∴EH=65，BE=2×65=125，
∵∠ABC=30∘，∠C=90∘ 且 AC=4，
∴AB=2AC=2×4=8，
∴AE=AB−BE=8−125=285.
③当 ∠FAN=90∘ 时，不符合题意（舍），
综上所述当 △ANF 为直角三角形时，AE=6 或 AE=285．
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