数学必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念教学设计

这是一份数学必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念教学设计，共7页。教案主要包含了预习课本，引入新课，新知探究，典例分析，课堂小结，板书设计，作业等内容，欢迎下载使用。

本节作为复数一章的开篇，主要包括数系概念的发展简介，数系的扩充，复数的相关概念、分类、相等条件，代数表示和几何意义.
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.
课程目标
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．
2.理解复数的概念、表示法及相关概念．
3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．
数学学科素养
1.数学抽象：复数及相关概念；
2.逻辑推理：复数的分类；
3.数学运算：复数相等求参.
重点：复数的分类及复数相等的充要条件．
难点：复数的概念.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
提问：1、N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？
2．若给方程 SKIPIF 1 < 0 一个解 SKIPIF 1 < 0 ，则这个解 SKIPIF 1 < 0 要满足什么条件？ SKIPIF 1 < 0 是否在实数集中？实数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相乘、相加的结果应如何？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本68-69页，思考并完成以下问题
1、实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？
2、复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．
2．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.
3．复数的分类
z＝a＋bi(a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(非纯虚数a≠0,纯虚数a＝0))))
思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？
[提示]
四、典例分析、举一反三
题型一 复数的概念
例1下列命题中，正确命题的个数是 ( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
⑤－1没有平方根；
⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．
②由于两个虚数不能比较大小，所以②错．
③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，所以③错．
④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④错．
⑤－1的平方根为±i，所以⑤错．
⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，所以⑥错．故选A.
解题技巧（复数概念的理解）
(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．
(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上．
(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
跟踪训练一
1．下列命题正确的是________．
①复数－i＋1的虚部为－1.
②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.
③任意两个复数都不能比较大小．
【答案】①．
【解析】①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．
题型二 复数的分类
例2实数x分别取什么值时，复数z＝eq \f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【答案】(1) x＝5时，z是实数．(2) x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
【解析】(1)当x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－15＝0，,x＋3≠0，))即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0，,x2－2x－15≠0，))即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
解题技巧： (复数分类的注意事项)
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．
跟踪训练二
1．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【答案】(1)m＝－2时，z为实数．(2)m≠－2且m≠－1时，z为虚数．(3)m＝0时，z为纯虚数．
【解析】 (1)若z为实数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m＋1>0，,m2＋3m＋2＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≠－1，,m＝－2或m＝－1，))
解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实数．
(2)若z是虚数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m＋1>0，,m2＋3m＋2≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≠－1，,m≠－2且m≠－1，))
解得m≠－2且m≠－1. ∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．
(3)若z为纯虚数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgm2＋2m＋1＝0，,m2＋3m＋2≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m＋1＝1，,m2＋3m＋2≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝0或m＝－2，,m≠－1且m≠－2.))
解得m＝0.∴当m＝0时，z为纯虚数．
题型三 复数相等的充要条件
例3 根据下列条件，分别求实数x，y的值．
(1)x2－y2＋2xyi＝2i；
(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.
【答案】 (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1.))(2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))
【解析】(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1.))
(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1＝y，,1＝－3－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))
解题技巧（复数相等问题的解题步骤）
复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．
跟踪训练三
1．已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．
【答案】1或2.
【解析】因为M∪N＝N，所以M⊆N，
所以m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.
由复数相等的充要条件得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m＝0，,m2＋m－2＝4，))
解得m＝1或m＝2.
所以实数m的值是1或2.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
1.复数及其相关概念 例1 例2 例3
2.复数相等的充要条件

3.复数分类
七、作业
课本70页练习，73页习题7.1的1-3题.
本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.通过使学生体会数系的扩充是生产实践的需要，是数学学科自身发展的需要，从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类等.进而对本节课的知识掌握的更加牢固.